2.8~2.9

2.md

@@ -262,7 +262,7 @@ def reachable_nodes(G, start):
 +   如果节点已在`seen`中，我们返回到步骤 1。
 +   否则，我们将节点添加到`seen`，并将其邻居添加到栈。
 
-当堆栈为空时，我们无法再到达任何节点，所以我们终止了循环并返回。
+当栈为空时，我们无法再到达任何节点，所以我们终止了循环并返回。
 
 例如，我们可以找到从节点`0`可到达的，完全图中的所有节点：
 
@@ -276,7 +276,7 @@ def reachable_nodes(G, start):
 
 下一次循环中，`pop`返回栈中的最后一个元素，即节点`9.`因此，节点`9`被添加到`seen`，并且其邻居被添加到栈。
 
-请注意，同一个节点在堆栈中可能会出现多次；实际上，具有`k`个邻居的节点将添加到堆栈`k`次。稍后我们将寻找方法，来使此算法更有效率。
+请注意，同一个节点在栈中可能会出现多次；实际上，具有`k`个邻居的节点将添加到栈`k`次。稍后我们将寻找方法，来使此算法更有效率。
 
 我们可以使用`reachable_nodes`来编写`is_connected`：
 
@@ -405,3 +405,82 @@ ys = [prob_connected(n, p) for p in ps]
 对于较大的`n`值，图（？）展示了类似的结果。随着`n`的增加，临界值越来越小，转变越来越突然。
 
 这些实验与 Erdős 和 Rényi 在其论文中证明的结果一致。
+
+## 2.8 图的算法分析
+
+这一章中，我提出了一个检查图是否连通的算法；在接下来的几章中，我们将再次看到更多的图的算法。并且我们要分析这些算法的性能，了解它们的运行时间如何随着图大小的增加而增长。
+
+如果你还不熟悉算法分析，在你继续之前，你应该阅读附录一。
+
+图算法的增长级别通常表示为顶点数量`n`，以及边数量`m`的函数。
+
+作为一个例子，我们分析从前面的`reachable_nodes`：
+
+```py
+
+def reachable_nodes(G, start):
+    seen = set()
+    stack = [start]
+    while stack:
+        node = stack.pop()
+        if node not in seen:
+            seen.add(node)
+            stack.extend(G.neighbors(node))
+    return seen
+```
+
+每次循环，我们从栈中弹出一个节点；默认情况下，`pop`删除并返回列表的最后一个元素，这是一个常数时间的操作。
+
+接下来我们检查节点是否被已访问，这是一个集合，所以检查成员是常数时间。
+
+如果节点还没有访问，我们添加它是常量时间，然后将邻居添加到栈中，这相对于邻居数量是线性的。
+
+为了使用`n`和`m`表达运行时间，我们可以将每个节点添加到`seen`和`stack`的总次数加起来。
+
+每个节点只添加一次，所以添加的总数为`n`。
+
+但是节点可能多次被添加到栈，具体取决于它们有多少邻居。如果节点具有`k`个邻居，则它会被添加到栈`k`次。当然，如果它有`k`个邻居，那意味着它拥有`k`个边。
+
+所以添加到栈的总数是边的数量`m`的两倍，由于我们考虑每个边两次。
+
+因此，这个函数的增长级别为`O(n + m)`，我们可以说，即运行时间与`n`或`m`成正比，以较大者为准。
+
+如果我们知道`n`和`m`之间的关系，我们可以简化这个表达式。例如，在完全图中，边数是`n(n-1)/ 2`，它属于`O(n^2)`。所以对于一个完全图，`reachable_nodes`是二次于`n`的。
+
+## 2.9 练习
+
+本章的代码在`chap02.ipynb`中，它是本书的仓库中的 Jupyter 笔记本。使用此代码的更多信息，请参阅第（？）节。
+
+练习 1：启动`chap02.ipynb`并运行代码。笔记本中嵌入了一些简单的练习，你可能想尝试一下。
+
+练习 2：我们分析了`reachable_nodes`的性能，并将其分类为`O(n + m)`，其中`n`是节点数，`m`是边数。继续分析，`is_connected`的增长级别是什么？
+
+```py
+
+def is_connected(G):
+    start = next(G.nodes_iter())
+    reachable = reachable_nodes(G, start)
+    return len(reachable) == len(G)
+```
+
+练习 3 ：在我实现`reachable_nodes`时，你可能很困惑，因为向栈中添加所有邻居而不检查它们是否已访问，明显是低效的。编写一个该函数的版本，在将邻居添加到栈之前检查它们。这个“优化”是否改变了增长级别？它是否使函数更快？
+
+> 译者注：在弹出节点时将其添加到`seen`，在遍历邻居时检查它们是否已访问。
+
+练习 4：
+
+实际上有两种 ER 图。我们在本章中生成的一种，`G(n，p)`的特征是两个参数，节点数量和节点之间的边的概率。
+
+一种替代定义表示为`G(n，m)`，也以两个参数为特征：节点数`n`和边数`m`。在这个定义中，边数是固定的，但它们的位置是随机的。
+
+使用这个替代定义，重复这一章的实验。这里是几个如何处理它的建议：
+
+1.  编写一个名为`m_pairs`的函数，该函数接受节点列表和边数`m`，并返回随机选择的`m`个边。一个简单的方法是，生成所有可能的边的列表，并使用`random.sample`。
+
+2.  编写一个名为`make_m_graph`的函数，接受`n`和`m`，并返回`n`个节点和`m`个边的随机图。
+
+3.  创建一个`prob_connected`的版本，使用`make_m_graph`而不是`make_random_graph`。
+
+4.  计算一系列`m`值的连通概率。
+
+与第一类 ER 图的结果相比，该实验的结果如何？