2.6~2.7

2.md

@@ -168,7 +168,7 @@ Erdős-Rényi 图（ER 图）的特征在于两个参数：`n`是节点的数量
 
 Erdős 和 Rényi 研究了这些随机图的属性；其令人惊奇的结果之一就是，随着随机的边被添加，随机图的属性会突然变化。
 
-展示这类转换的一个属性是连通性。如果每个节点到每个其他节点都存在路径，那么无向图是连通的。
+展示这类转变的一个属性是连通性。如果每个节点到每个其他节点都存在路径，那么无向图是连通的。
 
 在 ER 图中，当`p`较小时，图是连通图的概率非常低，而`p`较大时接近`1`。在这两种状态之间，在`p`的特定值处存在快速转变，表示为`p*`。
 
@@ -180,7 +180,7 @@ Erdős 和 Rényi 表明，这个临界值是`p* = lnn / n`，其中`n`是节点
 
 ![](img/2-3.png)
 
-我将首先生成一个完整的图，这是一个图，其中每个节点都彼此连接。
+我将首先生成一个完全图，这是一个图，其中每个节点都彼此连接。
 
 这是一个生成器函数，它接收节点列表并枚举所有不同的偶对。如果你不熟悉生成器函数，你可能需要阅读附录？，然后回来。
 
@@ -301,4 +301,107 @@ True
 
 下一节中，我们会生成 ER 图，并检查它们是否是连通的。
 
+## 2.6 生成 ER图
 
+![](img/2-4.png)
+
+> 图 2.4：ER 图，`n=10`，`p=0.3`
+
+ER 图`G(n, p) `包含`n`个节点，每对节点以概率为`p`的边连接。生成 ER 图类似于生成完全图。
+
+以下生成器函数枚举所有可能的边，并使用辅助函数`flip`，来选择哪些应添加到图中：
+
+```py
+
+def random_pairs(nodes, p):
+    for i, u in enumerate(nodes):
+        for j, v in enumerate(nodes):
+            if i>j and flip(p):
+                yield u, v
+```
+
+`flip`以给定概率`p`返回`True`，以互补的概率`1-p`返回`False`。
+
+```py
+
+from numpy.random import random
+
+def flip(p):
+    return random() < p
+```
+
+最后，`make_random_graph`生成并返回 ER 图`G(n, p)`。
+
+```py
+
+def make_random_graph(n, p):
+    G = nx.Graph()
+    nodes = range(n)
+    G.add_nodes_from(nodes)
+    G.add_edges_from(random_pairs(nodes, p))
+    return G
+```
+
+`make_random_graph`几乎和`make_complete_graph`，唯一的不同是它使用`random_pairs`而不是`all_pairs`。
+
+这里是`p=0.3`的例子：
+
+```py
+random_graph = make_random_graph(10, 0.3)
+```
+
+图（？）展示了结果。这个图是连通图；事实上，大多数`p=10`并且`p=3`的 ER 图都是连通图。在下一节中，我们将看看有多少。
+
+## 2.7 连通性的概率
+
+![](img/2-5.png)
+
+> 图 2.5：连通性的概率，`n=10`，`p`是一个范围。竖直的线展示了预测的临界值。
+
+![](img/2-6.png)
+
+>图 2.6：连通性的概率，`n`是多个值，`p`是一个范围。
+
+对于`n`和`p`的给定值，我们想知道`G(n, p)`连通的概率。我们可以通过生成大量随机图，来计算有多少个来估计它。就是这样：
+
+```py
+
+def prob_connected(n, p, iters=100):
+    count = 0
+    for i in range(iters):
+        random_graph = make_random_graph(n, p)
+        if is_connected(random_graph):
+            count += 1
+    return count/iters
+```
+
+`iters`是我们生成的随机图的数量。随着我们增加`iter`，估计的概率就会更加准确。
+
+```py
+
+>>> prob_connected(10, 0.3, iters=10000)
+0.6454
+```
+
+在具有这些参数的 10000 个 ER 图中，6498 个是连通的，因此我们估计其中65％是连通的。所以 0.3 接近临界值，在这里连通概率从接近 0 变为接近 1。根据 Erdős 和 Rényi，`p* = lnn / n = 0.23`。
+
+我们可以通过估计一系列`p`值的连通概率，来更清楚地了解转变：
+
+```py
+
+import numpy as np
+
+n = 10
+ps = np.logspace(-2.5, 0, 11)
+ys = [prob_connected(n, p) for p in ps]
+```
+
+这是我们看到的使用 NumPy 的第一个例子。按照惯例，我将 NumPy 导入为`np`。函数`logspace`返回从`10 ** -2.5`到`10 ** 0 = 1`的 11 个元素的数组，在对数刻度上等间隔。
+
+为了计算`y`，我使用列表推导来迭代`ps`的元素，并计算出每个值为`p`的随机图的连通概率。
+
+图（？）展示了结果，竖直的线为`p*`。从 0 到 1 的转变发生在预测的临界值附近。在对数刻度上，这个转变大致对称。
+
+对于较大的`n`值，图（？）展示了类似的结果。随着`n`的增加，临界值越来越小，转变越来越突然。
+
+这些实验与 Erdős 和 Rényi 在其论文中证明的结果一致。