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# 前缀和技巧

今天来聊一道简单却十分巧妙的算法问题：算出一共有几个和为 k 的子数组。

![](../pictures/%E5%89%8D%E7%BC%80%E5%92%8C/title.png)

那我把所有子数组都穷举出来，算它们的和，看看谁的和等于 k 不就行了。

关键是，**如何快速得到某个子数组的和呢**，比如说给你一个数组 `nums`，让你实现一个接口 `sum(i, j)`，这个接口要返回 `nums[i..j]` 的和，而且会被多次调用，你怎么实现这个接口呢？

因为接口要被多次调用，显然不能每次都去遍历 `nums[i..j]`，有没有一种快速的方法在 O(1) 时间内算出 `nums[i..j]` 呢？这就需要**前缀和**技巧了。

### 一、什么是前缀和

前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组 `nums`，我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理：

```java
int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
    preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];
```

![](../pictures/%E5%89%8D%E7%BC%80%E5%92%8C/1.jpg)

这个前缀和数组 `preSum` 的含义也很好理解，`preSum[i]` 就是 `nums[0..i-1]` 的和。那么如果我们想求 `nums[i..j]` 的和，只需要一步操作 `preSum[j+1]-preSum[i]` 即可，而不需要重新去遍历数组了。

回到这个子数组问题，我们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：

```java
int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // 构造前缀和
    int[] sum = new int[n + 1];
    sum[0] = 0; 
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];
    
    int ans = 0;
    // 穷举所有子数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            // sum of nums[j..i-1]
            if (sum[i] - sum[j] == k)
                ans++;

    return ans;
}
```

这个解法的时间复杂度 $O(N^2)$ 空间复杂度 $O(N)$，并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后，可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。

### 二、优化解法

前面的解法有嵌套的 for 循环：

```java
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        if (sum[i] - sum[j] == k)
            ans++;
```

第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，**在计算，有几个 `j` 能够使得 `sum[i]` 和 `sum[j]` 的差为 k。**毎找到一个这样的 `j`，就把结果加一。

我们可以把 if 语句里的条件判断移项，这样写：

```java
if (sum[j] == sum[i] - k)
    ans++;
```

优化的思路是：**我直接记录下有几个 `sum[j]` 和 `sum[i] - k` 相等，直接更新结果，就避免了内层的 for 循环**。我们可以用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。

```java
int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // map：前缀和 -> 该前缀和出现的次数
    HashMap<Integer, Integer> 
        preSum = new HashMap<>();
    // base case
    preSum.put(0, 1);

    int ans = 0, sum0_i = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum0_i += nums[i];
        // 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
        int sum0_j = sum0_i - k;
        // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
        if (preSum.containsKey(sum0_j))
            ans += preSum.get(sum0_j);
        // 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
        preSum.put(sum0_i, 
            preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
    }
    return ans;
}
```

比如说下面这个情况，需要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了，之前的暴力解法需要遍历数组去数有几个 8，而优化解法借助哈希表可以直接得知有几个前缀和为 8。

![](../pictures/%E5%89%8D%E7%BC%80%E5%92%8C/2.jpg)

这样，就把时间复杂度降到了 $O(N)$，是最优解法了。

### 三、总结

前缀和不难，却很有用，主要用于处理数组区间的问题。

比如说，让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比，也可以利用前缀和技巧：

```java
int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 150 分
int[] count = new int[150 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
    count[score]++
// 构造前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
    count[i] = count[i] + count[i-1];
```

这样，给你任何一个分数段，你都能通过前缀和相减快速计算出这个分数段的人数，百分比也就很容易计算了。

但是，稍微复杂一些的算法问题，不止考察简单的前缀和技巧。比如本文探讨的这道题目，就需要借助前缀和的思路做进一步的优化，借助哈希表去除不必要的嵌套循环。可见对题目的理解和细节的分析能力对于算法的优化是至关重要的。

希望本文对你有帮助。

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![labuladong](../pictures/labuladong.jpg)

[labuladong](https://github.com/labuladong) 提供JAVA解法代码：

```JAVA
int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // map：前缀和 -> 该前缀和出现的次数
    HashMap<Integer, Integer> 
        preSum = new HashMap<>();
    // base case
    preSum.put(0, 1);

    int ans = 0, sum0_i = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum0_i += nums[i];
        // 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
        int sum0_j = sum0_i - k;
        // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
        if (preSum.containsKey(sum0_j))
            ans += preSum.get(sum0_j);
        // 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
        preSum.put(sum0_i, 
            preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
    }
    return ans;
}
```

[Jinglun Zhou](https://github.com/Jasper-Joe) 提供C++解法代码：

```CPP
class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int n=nums.size();
        unordered_map<int,int> preSum;
        // map: 前缀和 -> 该前缀和出现的次数
        preSum[0]=1; // base case: 例如当数组中只有一个元素， 而k恰好等于这个元素
        int ans=0, sum0_i=0; // sum0_i 表示前缀和 nums[0...i]
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum0_i +=nums[i];
            // 这是我们想找的前缀和 nums[0...j]
            int sum0_j=sum0_i-k;
            // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
            if(preSum.count(sum0_j))
                ans+=preSum[sum0_j];
            //把前缀和 nums[0...i] 加入并记录出现次数
            preSum[sum0_i]++; // 把当前的前缀和加入到map中
        }
        return ans;
    }
};
```

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