932.beautiful-array.md

## 题目地址(932. 漂亮数组)

https://leetcode-cn.com/problems/beautiful-array/

## 题目描述

```
对于某些固定的 N，如果数组 A 是整数 1, 2, ..., N 组成的排列，使得：

对于每个 i < j，都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]。

那么数组 A 是漂亮数组。

 

给定 N，返回任意漂亮数组 A（保证存在一个）。

 

示例 1：

输入：4
输出：[2,1,4,3]


示例 2：

输入：5
输出：[3,1,2,5,4]

 

提示：

1 <= N <= 1000

 
```

## 前置知识

- 分治

## 公司

- 暂无

## 思路

由数字的奇偶特性，可知：**奇数 + 偶数 = 奇数** 。

因此如果要使得：**对于每个  i < j，都不存在  k 满足  i < k < j  使得  A[k] \* 2 = A[i] + A[j] ** 成立，我们可以令 A[i] 和 A[j] 一个为奇数，另一个为偶数即可。

另外还有两个非常重要的性质，也是本题的突破口。那就是：

性质 1： 如果数组 A 是 漂亮数组，那么将 A 中的每一个数 x 进行 kx + b 的映射，其仍然为漂亮数组。其中 k 为不等于 0 的整数， b 为整数。
性质 2：如果数组 A 和 B 分别是不同奇偶性的漂亮数组，那么将 A 和 B 拼接起来仍为漂亮数组。

举个例子。我们要求长度为 N 的漂亮数组。那么一定是有 N / 2 个偶数 和 N - N / 2 个奇数。

> 这里的除法为地板除。

假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了。那么我们只需要对长度为 N/2 的漂亮数组通过性质 1 变换成全部为偶数的漂亮数组，并将长度为 N - N/2 的漂亮数组也通过性质 1 变换成全部为奇数的漂亮数组。接下来利用性质 2 将其进行拼接即可得到一个漂亮数组。

刚才我们**假设长度为 N / 2 和 N - N/2 的漂亮数组被计算出来了**，实际上我们并没有计算出来，那么其实可以用同样的方法来计算。其实就是分治，将问题规模缩小了，问题本质不变。递归的终点自然是 N == 1，此时可直接返回 [1]。

## 关键点

- 利用性质**奇数 + 偶数 = 奇数**
- 对问题进行分解

## 代码

- 语言支持：Python3

Python3 Code:

```python

class Solution:
    def beautifulArray(self, N: int) -> List[int]:
        @lru_cache(None)
        def dp(n):
            if n == 1:
                return [1]
            ans = []
            # [1,n] 中奇数比偶数多1或一样
            for a in dp(n - n // 2):
                ans += [a * 2 - 1]
            for b in dp(n // 2):
                ans += [b * 2]
            return ans

        return dp(N)

```

**复杂度分析**

令 n 为数组长度。

- 时间复杂度：$O(nlogn)$
- 空间复杂度：$O(n + logn)$

> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。

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