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# 数学模型

##  1. 近似

N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 ~ N<sup>3</sup>/6。使用 ~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数。

##  2. 增长数量级

N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。增长数量级将算法与它的实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>) 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。

##  3. 内循环

执行最频繁的指令决定了程序执行的总时间，把这些指令称为程序的内循环。

##  4. 成本模型

使用成本模型来评估算法，例如数组的访问次数就是一种成本模型。

# 注意事项

##  1. 大常数

在求近似时，如果低级项的常数系数很大，那么近似的结果就是错误的。

##  2. 缓存

计算机系统会使用缓存技术来组织内存，访问数组相邻的元素会比访问不相邻的元素快很多。

##  3. 对最坏情况下的性能的保证

在核反应堆、心脏起搏器或者刹车控制器中的软件，最坏情况下的性能是十分重要的。

##  4. 随机化算法

通过打乱输入，去除算法对输入的依赖。

##  5. 均摊分析

将所有操作的总成本除于操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的次数为 N+4+8+16+...+2N=5N-4（N 是向数组写入元素的操作次数，其余的都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组次数），均摊后访问数组的平均次数为常数。

# ThreeSum

ThreeSum 用于统计一个数组中和为 0 的三元组数量。

```java
public interface ThreeSum {
    int count(int[] nums);
}
```

##  1. ThreeSumSlow

该算法的内循环为 `if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0)` 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3，因此它的近似执行次数为 ~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。

```java
public class ThreeSumSlow implements ThreeSum {
    @Override
    public int count(int[] nums) {
        int N = nums.length;
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = i + 1; j < N; j++) {
                for (int k = j + 1; k < N; k++) {
                    if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {
                        cnt++;
                    }
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
}
```

##  2. ThreeSumBinarySearch

通过将数组先排序，对两个元素求和，并用二分查找方法查找是否存在该和的相反数，如果存在，就说明存在三元组的和为 0。

应该注意的是，只有数组不含有相同元素才能使用这种解法，否则二分查找的结果会出错。

该方法可以将 ThreeSum 算法增长数量级降低为 O(N<sup>2</sup>logN)。

```java
public class ThreeSumBinarySearch implements ThreeSum {

    @Override
    public int count(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int N = nums.length;
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = i + 1; j < N; j++) {
                int target = -nums[i] - nums[j];
                int index = BinarySearch.search(nums, target);
                // 应该注意这里的下标必须大于 j，否则会重复统计。
                if (index > j) {
                    cnt++;
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
}
```

```java
public class BinarySearch {

    public static int search(int[] nums, int target) {
        int l = 0, h = nums.length - 1;
        while (l <= h) {
            int m = l + (h - l) / 2;
            if (target == nums[m]) {
                return m;
            } else if (target > nums[m]) {
                l = m + 1;
            } else {
                h = m - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}
```

##  3. ThreeSumTwoPointer

更有效的方法是先将数组排序，然后使用双指针进行查找，时间复杂度为 O(N<sup>2</sup>)。

```java
public class ThreeSumTwoPointer implements ThreeSum {

    @Override
    public int count(int[] nums) {
        int N = nums.length;
        int cnt = 0;
        Arrays.sort(nums);
        for (int i = 0; i < N - 2; i++) {
            int l = i + 1, h = N - 1, target = -nums[i];
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) continue;
            while (l < h) {
                int sum = nums[l] + nums[h];
                if (sum == target) {
                    cnt++;
                    while (l < h && nums[l] == nums[l + 1]) l++;
                    while (l < h && nums[h] == nums[h - 1]) h--;
                    l++;
                    h--;
                } else if (sum < target) {
                    l++;
                } else {
                    h--;
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
}
```

# 倍率实验

如果 T(N) ~ aN<sup>b</sup>logN，那么 T(2N)/T(N) ~ 2<sup>b</sup>。

例如对于暴力的 ThreeSum 算法，近似时间为 ~N<sup>3</sup>/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：

| N | Time(ms) | Ratio |
| :---: | :---: | :---: |
| 500 | 48 | / |
| 1000 | 320 | 6.7 |
| 2000 | 555 | 1.7 |
| 4000 | 4105 | 7.4 |
| 8000 | 33575 | 8.2 |
| 16000 | 268909 | 8.0 |

可以看到，T(2N)/T(N) ~ 2<sup>3</sup>，因此可以确定 T(N) ~ aN<sup>3</sup>logN。

```java
public class RatioTest {

    public static void main(String[] args) {
        int N = 500;
        int loopTimes = 7;
        double preTime = -1;
        while (loopTimes-- > 0) {
            int[] nums = new int[N];
            StopWatch.start();
            ThreeSum threeSum = new ThreeSumSlow();
            int cnt = threeSum.count(nums);
            System.out.println(cnt);
            double elapsedTime = StopWatch.elapsedTime();
            double ratio = preTime == -1 ? 0 : elapsedTime / preTime;
            System.out.println(N + "  " + elapsedTime + "  " + ratio);
            preTime = elapsedTime;
            N *= 2;
        }
    }
}
```

```java
public class StopWatch {

    private static long start;


    public static void start() {
        start = System.currentTimeMillis();
    }


    public static double elapsedTime() {
        long now = System.currentTimeMillis();
        return (now - start) / 1000.0;
    }
}
```