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   * [二叉树（递归）专题课](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=tree课程简介)
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-  * [Java 语言基础](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=网站Java基础)
+  * [学习本站所需的 Java 基础](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=网站Java基础)
 
 ### [第零章、核心框架汇总](https://labuladong.github.io/algo/)
   * [学习算法和刷题的框架思维](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=学习数据结构和算法的高效方法)

动态规划系列/LCS.md

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动态规划系列/动态规划之KMP字符匹配算法.md

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动态规划系列/动态规划之博弈问题.md

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动态规划系列/动态规划之四键键盘.md

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动态规划系列/动态规划之正则表达.md

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动态规划系列/动态规划设计：最长递增子序列.md

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动态规划系列/动态规划详解进阶.md

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动态规划系列/单词拼接.md

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动态规划系列/团灭股票问题.md

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动态规划系列/子序列问题模板.md

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动态规划系列/抢房子.md

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动态规划系列/最优子结构.md

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动态规划系列/状态压缩技巧.md

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动态规划系列/编辑距离.md

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动态规划系列/背包问题.md

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动态规划系列/贪心算法之区间调度问题.md

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动态规划系列/高楼扔鸡蛋问题.md

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动态规划系列/魔塔.md

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技术/linuxshell.md

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技术/linux进程.md

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技术/redis入侵.md

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技术/session和cookie.md

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技术/刷题技巧.md

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技术/在线练习平台.md

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技术/密码技术.md

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数据结构系列/BST1.md

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数据结构系列/BST2.md

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数据结构系列/dijkstra算法.md

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数据结构系列/二叉堆详解实现优先级队列.md

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数据结构系列/二叉树总结.md

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数据结构系列/二叉树系列1.md

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数据结构系列/二叉树系列2.md

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数据结构系列/单调栈.md

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@@ -209,6 +209,7 @@ int[] nextGreaterElements(int[] nums) {
  - [单调栈代码模板的几种变体](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_628dc1ace4b09dda126cf793/1)
  - [单调队列的通用实现及经典习题](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_62a692efe4b01a48520b9b9b/1)
  - [单调队列结构解决滑动窗口问题](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=单调队列)
+ - [常用的位操作](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=常用的位操作)
  - [数据结构设计：最大栈](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最大栈)
 
 </details><hr>

数据结构系列/单调队列.md

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数据结构系列/图.md

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数据结构系列/实现计算器.md

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数据结构系列/拓扑排序.md

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数据结构系列/设计Twitter.md

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数据结构系列/递归反转链表的一部分.md

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数据结构系列/队列实现栈栈实现队列.md

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算法思维系列/BFS框架.md

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算法思维系列/BFS解决滑动拼图.md

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算法思维系列/UnionFind算法详解.md

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算法思维系列/二分查找详解.md

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算法思维系列/几个反直觉的概率问题.md

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算法思维系列/前缀和技巧.md

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算法思维系列/双指针技巧.md

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算法思维系列/回溯算法详解修订版.md

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算法思维系列/字符串乘法.md

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算法思维系列/学习数据结构和算法的高效方法.md

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算法思维系列/差分技巧.md

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算法思维系列/常用的位操作.md

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+**通知：[数据结构精品课](https://aep.h5.xeknow.com/s/1XJHEO) 已更新到 V2.1，[手把手刷二叉树系列课程](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3) 上线。另外，建议你在我的 [网站](https://labuladong.github.io/algo/) 学习文章，体验更好。**
 
 
 
@@ -25,9 +25,13 @@
 
 **-----------**
 
-本文分两部分，第一部分列举几个有趣的位操作，第二部分讲解算法题中常用的位运算操作。因为位操作很简单，所以假设读者已经了解与、或、异或这三种基本操作。
+位操作（Bit Manipulation）可以有很多技巧，有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法，网址如下：
 
-位操作（Bit Manipulation）可以玩出很多奇技淫巧，但是这些技巧大部分都过于晦涩，没必要深究，读者只要记住一些有用的操作即可。
+http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#ReverseParallel
+
+但是这些技巧大部分都过于晦涩，我觉得可以作为字典查阅，没必要逐条深究。但我认为那些有趣的、有用的位运算技巧，是我们每个人需要掌握的。​
+
+所以本文由浅入深，先展示几个有趣（但没卵用）的位运算技巧，然后再汇总一些在算法题以及工程开发中常用的位运算技巧。
 
 ### 一、几个有趣的位操作
 
@@ -52,21 +56,9 @@
 ('D' ^ ' ') = 'd'
 ```
 
-以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字，恰巧这些字符对应的数字通过位运算就能得到正确的结果，有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算，本文就不展开讲了。
-
-4. **判断两个数是否异号**
-
-```java
-int x = -1, y = 2;
-boolean f = ((x ^ y) < 0); // true
-
-int x = 3, y = 2;
-boolean f = ((x ^ y) < 0); // false
-```
-
-这个技巧还是很实用的，利用的是补码编码的符号位。如果不用位运算来判断是否异号，需要使用 if else 分支，还挺麻烦的。读者可能想利用乘积或者商来判断两个数是否异号，但是这种处理方式可能造成溢出，从而出现错误。
+以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字，恰巧空格和下划线对应的数字通过位运算就能改变大小写。有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算，本文就不展开讲了。
 
-5. **不用临时变量交换两个数**
+4. **不用临时变量交换两个数**
 
 ```java
 int a = 1, b = 2;
@@ -76,7 +68,7 @@ a ^= b;
 // 现在 a = 2, b = 1
 ```
 
-6. **加一**
+5. **加一**
 
 ```java
 int n = 1;
@@ -84,7 +76,7 @@ n = -~n;
 // 现在 n = 2
 ```
 
-7. **减一**
+6. **减一**
 
 ```java
 int n = 2;
@@ -92,11 +84,70 @@ n = ~-n;
 // 现在 n = 1
 ```
 
-> PS：上面这三个操作就纯属装逼用的，没啥实际用处，大家了解了解乐呵一下就行。
+7. **判断两个数是否异号**
+
+```java
+int x = -1, y = 2;
+boolean f = ((x ^ y) < 0); // true
+
+int x = 3, y = 2;
+boolean f = ((x ^ y) < 0); // false
+```
+
+如果说前 6 个技巧的用处不大，这第 7 个技巧还是比较实用的，利用的是**补码编码**的符号位。整数编码最高位是符号位，负数的符号位是 1，非负数的符号位是 0，再借助异或的特性，可以判断出两个数字是否异号。
+
+当然，如果不用位运算来判断是否异号，需要使用 if else 分支，还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号，但是这种处理方式容易造成整型溢出，从而出现错误。
+
+### `index & (arr.length - 1)` 的运用
+
+我在 [单调栈解题套路](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=单调栈) 中介绍过环形数组，其实就是利用求模（余数）的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形，永远都走不完：
+
+```java
+int[] arr = {1,2,3,4};
+int index = 0;
+while (true) {
+    // 在环形数组中转圈
+    print(arr[index % arr.length]);
+    index++;
+}
+// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
+```
+
+但模运算 `%` 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作，所以我们可以用 `&` 运算来求余数：
+
+```java
+int[] arr = {1,2,3,4};
+int index = 0;
+while (true) {
+    // 在环形数组中转圈
+    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
+    index++;
+}
+// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
+```
+
+简单说，`& (arr.length - 1)` 这个位运算能够替代 `% arr.length` 的模运算，性能会更好一些。
+
+那问题来了，现在是不断地 `index++`，你做到了循环遍历。但如果不断地 `index--`，还能做到环形数组的效果吗？
+
+答案是，如果你使用 `%` 求模的方式，那么当 `index` 小于 0 之后求模的结果也会出现负数，你需要特殊处理。但通过 `&` 与运算的方式，`index` 不会出现负数，依然可以正常工作：
+
+```java
+int[] arr = {1,2,3,4};
+int index = 0;
+while (true) {
+    // 在环形数组中转圈
+    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
+    index--;
+}
+// 输出：1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...
+```
+
+我们自己写代码一般用不到这个技巧，但在学习一些其他代码库时可能会经常看到，这里留个印象，到时候就不会懵逼了。
 
 ### 二、`n & (n-1)` 的运用
 
-**`n & (n-1)` 这个操作是算法中常见的，作用是消除数字 `n` 的二进制表示中的最后一个 1**。
+**`n & (n-1)` 这个操作在算法中比较常见，作用是消除数字 `n` 的二进制表示中的最后一个 1**。
 
 看个图就很容易理解了：
 
@@ -239,9 +290,7 @@ int missingNumber(int[] nums) {
 
 由于异或运算满足交换律和结合律，所以总是能把成对儿的数字消去，留下缺失的那个元素。
 
-以上便是一些有趣/常用的位操作。其实位操作的技巧很多，有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的外国网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法，感兴趣的读者可以查看：
-
-http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#ReverseParallel
+到这里，常见的位运算差不多都讲完了。这些技巧就是会者不难难者不会，也不需要死记硬背，只要有个印象就完全够用了。
 
 
 

算法思维系列/洗牌算法.md

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算法思维系列/滑动窗口技巧进阶.md

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算法思维系列/烧饼排序.md

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算法思维系列/花式遍历.md

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算法思维系列/集合划分.md

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高频面试系列/LRU算法.md

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高频面试系列/k个一组反转链表.md

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高频面试系列/一行代码解决的智力题.md

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高频面试系列/二分查找判定子序列.md

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高频面试系列/二分运用.md

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高频面试系列/判断回文链表.md

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高频面试系列/名人问题.md

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高频面试系列/子集排列组合.md

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高频面试系列/安排会议室.md

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高频面试系列/岛屿题目.md

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高频面试系列/座位调度.md

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高频面试系列/打印素数.md

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高频面试系列/接雨水.md

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高频面试系列/水塘抽样.md

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高频面试系列/缺失和重复的元素.md

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高频面试系列/随机权重.md

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@@ -180,7 +180,8 @@ class Solution {
     
     public int pickIndex() {
         int n = preSum.length;
-        // 在闭区间 [1, preSum[n - 1]] 中随机选择一个数字
+        // Java 的 nextInt(n) 方法在 [0, n) 中生成一个随机整数
+        // 再加一就是在闭区间 [1, preSum[n - 1]] 中随机选择一个数字
         int target = rand.nextInt(preSum[n - 1]) + 1;
         // 获取 target 在前缀和数组 preSum 中的索引
         // 别忘了前缀和数组 preSum 和原始数组 w 有一位索引偏移
@@ -200,8 +201,6 @@ class Solution {
 
 但我想说的是，很多题目思路一说就懂，但是深入一些的话很多细节都可能有坑，本文讲的这道题就是一个例子，所以还是建议多实践，多总结。
 
-后续我准备在核心读者群开展每天刷题打卡的活动，帮大家走出第一步，培养每天刷题 + 总结的习惯，有兴趣的读者在公众号后台回复关键词「核心群」加我微信。
-
 > 最后打个广告，我亲自制作了一门 [数据结构精品课](https://aep.h5.xeknow.com/s/1XJHEO)，以视频课为主，手把手带你实现常用的数据结构及相关算法，旨在帮助算法基础较为薄弱的读者深入理解常用数据结构的底层原理，在算法学习中少走弯路。