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 让我们从经典的线性回归（Linear Regression \[[1](#参考文献)\]）模型开始这份教程。在这一章里，你将使用真实的数据集建立起一个房价预测模型，并且了解到机器学习中的若干重要概念。
 
 ## 背景介绍
-给定一个大小为$n$的数据集  ${\{y_{i}, x_{i1}, ..., x_{id}\}}_{i=1}^{n}$，其中$x_{i1}, \ldots, x_{id}$是$d$个属性上的取值，$y_i$是待预测的目标。线性回归模型假设目标$y_i$可以被属性间的线性组合描述，即
+给定一个大小为$n$的数据集  ${\{y_{i}, x_{i1}, ..., x_{id}\}}_{i=1}^{n}$，其中$x_{i1}, \ldots, x_{id}$是第$i$个样本$d$个属性上的取值，$y_i$是该样本待预测的目标。线性回归模型假设目标$y_i$可以被属性间的线性组合描述，即
 
 $$y_i = \omega_1x_{i1} + \omega_2x_{i2} + \ldots + \omega_dx_{id} + b,  i=1,\ldots,n$$
 
@@ -11,14 +11,17 @@ $$y_i = \omega_1x_{i1} + \omega_2x_{i2} + \ldots + \omega_dx_{id} + b,  i=1,\ldo
 初看起来，这个假设实在过于简单了，变量间的真实关系很难是线性的。但由于线性回归模型有形式简单和易于建模分析的优点，它在实际问题中得到了大量的应用。很多经典的统计学习、机器学习书籍\[[2,3,4](#参考文献)\]也选择对线性模型独立成章重点讲解。
 
 ## 效果展示
-我们使用从[UCI Housing Data Set](https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Housing)获得的波士顿房价数据集进行模型的训练和预测。下面的散点图展示了使用模型对部分房屋价格进行的预测。其中，横轴展示了该类房屋价格的中位数，纵轴为模型的预测结果，当二者值完全相等的时候就会落在虚线上。所以模型预测得越准确，则点离虚线越近。
+我们使用从[UCI Housing Data Set](https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Housing)获得的波士顿房价数据集进行模型的训练和预测。下面的散点图展示了使用模型对部分房屋价格进行的预测。其中，每个点的横坐标表示同一类房屋真实价格的中位数，纵坐标表示线性回归模型根据特征预测的结果，当二者值完全相等的时候就会落在虚线上。所以模型预测得越准确，则点离虚线越近。
 <p align="center">
 	<img src = "image/predictions.png"><br/>
 	图1. 预测值 V.S. 真实值
 </p>
 
 ## 模型概览
-在波士顿房价数据集中，和房屋相关的值共有14个：前13个用来描述房屋相关的各种信息，即模型中的 $x_i$；最后一个值为我们要预测的房屋价格的中位数，即模型中的 $y_i$。因此，我们的模型就可以表示成：
+
+### 模型定义
+
+在波士顿房价数据集中，和房屋相关的值共有14个：前13个用来描述房屋相关的各种信息，即模型中的 $x_i$；最后一个值为我们要预测的该类房屋价格的中位数，即模型中的 $y_i$。因此，我们的模型就可以表示成：
 
 $$\hat{Y} = \omega_1X_{1} + \omega_2X_{2} + \ldots + \omega_{13}X_{13} + b$$
 
@@ -32,6 +35,15 @@ $$MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(\hat{Y_i}-Y_i)}^2$$
 
 即对于一个大小为$n$的测试集，$MSE$是$n$个数据预测结果误差平方的均值。
 
+### 训练过程
+
+定义好模型结构之后，我们要通过以下几个步骤进行模型训练
+ 1. 初始化参数，其中包括权重$\omega_i$和偏置$b$，对其进行初始化（如0均值，1方差）。
+ 2. 网络正向传播计算网络输出和损失函数。
+ 3. 根据损失函数进行反向误差传播 （[backpropagation](https://en.wikipedia.org/wiki/Backpropagation)），将网络误差从输出层依次向前传递, 并更新网络中的参数。
+ 4. 重复2~3步骤，直至网络训练误差达到规定的程度或训练轮次达到设定值。
+
+
 ## 数据准备
 执行以下命令来准备数据:
 ```bash
@@ -39,7 +51,7 @@ cd data && python prepare_data.py
 ```
 这段代码将从[UCI Housing Data Set](https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Housing)下载数据并进行[预处理](#数据预处理)，最后数据将被分为训练集和测试集。
 
-这份数据集共506行，每行包含了波士顿郊区的一类房屋的相关信息及价格的中位数。其各维属性的意义如下：
+这份数据集共506行，每行包含了波士顿郊区的一类房屋的相关信息及该类房屋价格的中位数。其各维属性的意义如下：
 
 | 属性名 | 解释 | 类型 |
 | ------| ------ | ------ |
@@ -56,11 +68,11 @@ cd data && python prepare_data.py
 | PTRATIO | 学生与教师的比例 | 连续值 |
 | B | 1000(BK - 0.63)^2，其中BK为黑人占比 | 连续值 |
 | LSTAT | 低收入人群占比 | 连续值 |
-| MEDV | 房屋价格的中位数 | 连续值 |
+| MEDV | 同类房屋价格的中位数 | 连续值 |
 
 ### 数据预处理
 #### 连续值与离散值
-观察一下数据，我们的第一个发现是：所有的13维属性中，有12维的连续值和1维的离散值（CHAS）。离散值虽然也常使用类似0、1、2这样的数字表示，但是其含义与连续值是不同的，因为这里的差值没有实际意义。例如，我们用0、1、2来分别表示红色、绿色和蓝色的话，我们并不能因此说“蓝色和红色”比“绿色和红色”的距离更远。所以通常对一个有$d$个可能取值的离散属性，我们会将它们转为$d$个取值为0或1的二值属性。不过就这里而言，因为CHAS本身就是一个二值属性，就省去了这个麻烦。
+观察一下数据，我们的第一个发现是：所有的13维属性中，有12维的连续值和1维的离散值（CHAS）。离散值虽然也常使用类似0、1、2这样的数字表示，但是其含义与连续值是不同的，因为这里的差值没有实际意义。例如，我们用0、1、2来分别表示红色、绿色和蓝色的话，我们并不能因此说“蓝色和红色”比“绿色和红色”的距离更远。所以通常对一个有$d$个可能取值的离散属性，我们会将它们转为$d$个取值为0或1的二值属性或者将每个可能取值映射为一个多维向量。不过就这里而言，因为CHAS本身就是一个二值属性，就省去了这个麻烦。
 
 #### 属性的归一化
 另外一个稍加观察即可发现的事实是，各维属性的取值范围差别很大（如图2所示）。例如，属性B的取值范围是[0.32, 396.90]，而属性NOX的取值范围是[0.3850, 0.8170]。这里就要用到一个常见的操作-归一化（normalization）了。归一化的目标是把各位属性的取值范围放缩到差不多的区间，例如[-0.5,0.5]。这里我们使用一种很常见的操作方法：减掉均值，然后除以原取值范围。