最长回文子串.md

# 如何寻找最长回文子串

回文串是面试常常遇到的问题（虽然问题本身没啥意义），本文就告诉你回文串问题的核心思想是什么。

首先，明确一下什：**回文串就是正着读和反着读都一样的字符串**。

比如说字符串 `aba` 和 `abba` 都是回文串，因为它们对称，反过来还是和本身一样。反之，字符串 `abac` 就不是回文串。

可以看到回文串的的长度可能是奇数，也可能是偶数，这就添加了回文串问题的难度，解决该类问题的核心是**双指针**。下面就通过一道最长回文子串的问题来具体理解一下回文串问题：

![](../pictures/回文/title.png)

```cpp
string longestPalindrome(string s) {}
```

### 一、思考

对于这个问题，我们首先应该思考的是，给一个字符串 `s`，如何在 `s` 中找到一个回文子串？

有一个很有趣的思路：既然回文串是一个正着反着读都一样的字符串，那么如果我们把 `s` 反转，称为 `s'`，然后在 `s` 和 `s'` 中寻找**最长公共子串**，这样应该就能找到最长回文子串。

比如说字符串 `abacd`，反过来是 `dcaba`，它的最长公共子串是 `aba`，也就是最长回文子串。

但是这个思路是错误的，比如说字符串 `aacxycaa`，反转之后是 `aacyxcaa`，最长公共子串是 `aac`，但是最长回文子串应该是 `aa`。

虽然这个思路不正确，但是**这种把问题转化为其他形式的思考方式是非常值得提倡的**。

下面，就来说一下正确的思路，如何使用双指针。

**寻找回文串的问题核心思想是：从中间开始向两边扩散来判断回文串**。对于最长回文子串，就是这个意思：

```python
for 0 <= i < len(s):
    找到以 s[i] 为中心的回文串
    更新答案
```

但是呢，我们刚才也说了，回文串的长度可能是奇数也可能是偶数，如果是 `abba`这种情况，没有一个中心字符，上面的算法就没辙了。所以我们可以修改一下：

```python
for 0 <= i < len(s):
    找到以 s[i] 为中心的回文串
    找到以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的回文串
    更新答案
```

PS：读者可能发现这里的索引会越界，等会会处理。

### 二、代码实现

按照上面的思路，先要实现一个函数来寻找最长回文串，这个函数是有点技巧的：

```cpp
string palindrome(string& s, int l, int r) {
    // 防止索引越界
    while (l >= 0 && r < s.size()
            && s[l] == s[r]) {
        // 向两边展开
        l--; r++;
    }
    // 返回以 s[l] 和 s[r] 为中心的最长回文串
    return s.substr(l + 1, r - l - 1);
}
```

为什么要传入两个指针 `l` 和 `r` 呢？**因为这样实现可以同时处理回文串长度为奇数和偶数的情况**：

```python
for 0 <= i < len(s):
    # 找到以 s[i] 为中心的回文串
    palindrome(s, i, i)
    # 找到以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的回文串
    palindrome(s, i, i + 1)
    更新答案
```

下面看下 `longestPalindrome` 的完整代码：

```cpp
string longestPalindrome(string s) {
    string res;
    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        // 以 s[i] 为中心的最长回文子串
        string s1 = palindrome(s, i, i);
        // 以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的最长回文子串
        string s2 = palindrome(s, i, i + 1);
        // res = longest(res, s1, s2)
        res = res.size() > s1.size() ? res : s1;
        res = res.size() > s2.size() ? res : s2;
    }
    return res;
}
```

至此，这道最长回文子串的问题就解决了，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。

值得一提的是，这个问题可以用动态规划方法解决，时间复杂度一样，但是空间复杂度至少要 O(N^2) 来存储 DP table。这道题是少有的动态规划非最优解法的问题。

另外，这个问题还有一个巧妙的解法，时间复杂度只需要 O(N)，不过该解法比较复杂，我个人认为没必要掌握。该算法的名字叫 Manacher's Algorithm（马拉车算法），有兴趣的读者可以自行搜索一下。

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![labuladong](../pictures/labuladong.png)