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chapter_natural-language-processing/word2vec.md

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 顾名思义，词向量是用来表示词的向量，通常也被认为是词的特征向量。近年来，词向量已逐渐成为自然语言处理的基础知识。
 
 
-## 为何不采用One-hot向量
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+## 为何不采用one-hot向量
 
 我们在[循环神经网络](../chapter_recurrent-neural-networks/rnn-scratch.md)中介绍过one-hot向量来表示词。假设词典中不同词的数量为$N$，每个词可以和从0到$N-1$的连续整数一一对应。假设一个词的相应整数表示为$i$，为了得到该词的one-hot向量表示，我们创建一个全0的长为$N$的向量，并将其第$i$位设成1。
 
 然而，使用one-hot词向量并不是一个好选择。一个主要的原因是，one-hot词向量无法表达不同词之间的相似度。例如，任何一对词的one-hot向量的余弦相似度都为0。
 
 
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 ## word2vec
 
 2013年，Google团队发表了[word2vec](https://code.google.com/archive/p/word2vec/)工具。word2vec工具主要包含两个模型：跳字模型（skip-gram）和连续词袋模型（continuous bag of words，简称CBOW），以及两种高效训练的方法：负采样（negative sampling）和层序softmax（hierarchical softmax）。值得一提的是，word2vec词向量可以较好地表达不同词之间的相似和类比关系。
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 word2vec自提出后被广泛应用在自然语言处理任务中。它的模型和训练方法也启发了很多后续的词向量模型。本节将重点介绍word2vec的模型和训练方法。
 
 
+## 模型
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+### 跳字模型
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+在跳字模型中，我们用一个词来预测它在文本序列周围的词。例如，给定文本序列"the", "man", "hit", "his", 和"son"，跳字模型所关心的是，给定"hit"，生成它邻近词“the”, "man", "his", 和"son"的概率。在这个例子中，"hit"叫中心词，“the”, "man", "his", 和"son"叫背景词。由于"hit"只生成与它距离不超过2的背景词，该时间窗口的大小为2。
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+我们来描述一下跳字模型。
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+假设词典大小为$|\mathcal{V}|$，我们将词典中的每个词与从0到$|\mathcal{V}|-1$的整数一一对应：词典索引集$\mathcal{V} = \{0, 1, \ldots, |\mathcal{V}|-1\}$。一个词在该词典中所对应的整数称为词的索引。给定一个长度为$T$的文本序列中，$t$时刻的词为$w^{(t)}$。当时间窗口大小为$m$时，跳字模型需要最大化给定任一中心词生成背景词的概率：
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+$$ \prod_{t=1}^T \prod_{-m \leq j \leq m, j \neq 0} \mathbb{P}(w^{(t+j)} \mid w^{(t)})$$
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+上式的最大似然估计与最小化以下损失函数等价
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+$$ -\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \sum_{-m \leq j \leq m, j \neq 0} \text{log} \mathbb{P}(w^{(t+j)} \mid w^{(t)})$$
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+我们可以用$\mathbf{v}$和$\mathbf{u}$分别代表中心词和背景词的向量。换言之，对于词典中一个索引为$i$的词，它在作为中心词和背景词时的向量表示分别是$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{u}_i$。而词典中所有词的这两种向量正是跳字模型所要学习的模型参数。为了将模型参数植入损失函数，我们需要使用模型参数表达损失函数中的中心词生成背景词的概率。假设中心词生成各个背景词的概率是相互独立的。给定中心词$w_c$在词典中索引为$c$，背景词$w_o$在词典中索引为$o$，损失函数中的中心词生成背景词的概率可以使用softmax函数定义为
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+$$\mathbb{P}(w_o \mid w_c) = \frac{\text{exp}(\mathbf{u}_o^\top \mathbf{v}_c)}{ \sum_{i \in \mathcal{V}} \text{exp}(\mathbf{u}_i^\top \mathbf{v}_c)}$$
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+当序列长度$T$较大时，我们通常随机采样一个较小的子序列来计算损失函数并使用[随机梯度下降](../chapter_optimization/gd-sgd-scratch.md)优化该损失函数。通过微分，我们可以计算出上式生成概率的对数关于中心词向量$\mathbf{v}_c$的梯度为：
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+$$\frac{\partial \text{log} \mathbb{P}(w_o \mid w_c)}{\partial \mathbf{v}_c} = \mathbf{u}_o - \sum_{j \in \mathcal{V}} \frac{\text{exp}(\mathbf{u}_j^\top \mathbf{v}_c)}{ \sum_{i \in \mathcal{V}} \text{exp}(\mathbf{u}_i^\top \mathbf{v}_c)} \mathbf{u}_j$$
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+而上式与下式等价：
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+$$\frac{\partial \text{log} \mathbb{P}(w_o \mid w_c)}{\partial \mathbf{v}_c} = \mathbf{u}_o - \sum_{j \in \mathcal{V}} \mathbb{P}(w_j \mid w_c) \mathbf{u}_j$$
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+通过上面计算得到梯度后，我们可以使用[随机梯度下降](../chapter_optimization/gd-sgd-scratch.md)来不断迭代模型参数$\mathbf{v}_c$。其他模型参数$\mathbf{u}_o$的迭代方式同理可得。最终，对于词典中的任一索引为$i$的词，我们均得到该词作为中心词和背景词的两组词向量$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{u}_i$。
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+### 连续词袋模型
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+连续词袋模型与跳字模型类似。与跳字模型最大的不同是，连续词袋模型中用一个中心词在文本序列周围的词来预测该中心词。例如，给定文本序列"the", "man", "hit", "his", 和"son"，连续词袋模型所关心的是，邻近词“the”, "man", "his", 和"son"一起生成中心词"hit"的概率。
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+假设词典大小为$|\mathcal{V}|$，我们将词典中的每个词与从0到$|\mathcal{V}|-1$的整数一一对应：词典索引集$\mathcal{V} = \{0, 1, \ldots, |\mathcal{V}|-1\}$。一个词在该词典中所对应的整数称为词的索引。给定一个长度为$T$的文本序列中，$t$时刻的词为$w^{(t)}$。当时间窗口大小为$m$时，连续词袋模型需要最大化由背景词生成任一中心词的概率：
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+$$ \prod_{t=1}^T  \mathbb{P}(w^{(t)} \mid  w^{(t-m)}, \ldots,  w^{(t-1)},  w^{(t+1)}, \ldots,  w^{(t+m)})$$
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+上式的最大似然估计与最小化以下损失函数等价
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+$$  -\sum_{t=1}^T  \text{log} \mathbb{P}(w^{(t)} \mid  w^{(t-m)}, \ldots,  w^{(t-1)},  w^{(t+1)}, \ldots,  w^{(t+m)})$$
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+我们可以用$\mathbf{v}$和$\mathbf{u}$分别代表背景词和中心词的向量（注意符号和跳字模型中的不同）。换言之，对于词典中一个索引为$i$的词，它在作为背景词和中心词时的向量表示分别是$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{u}_i$。而词典中所有词的这两种向量正是跳字模型所要学习的模型参数。为了将模型参数植入损失函数，我们需要使用模型参数表达损失函数中的中心词生成背景词的概率。给定中心词$w_c$在词典中索引为$c$，背景词$w_{o_1}, \ldots, w_{o_{2m}}$在词典中索引为$o_1, \ldots, o_{2m}$，损失函数中的背景词生成中心词的概率可以使用softmax函数定义为
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+$$\mathbb{P}(w_c \mid w_{o_1}, \ldots, w_{o_{2m}}) = \frac{\text{exp}[\mathbf{u}_c^\top (\mathbf{v}_{o_1} + \ldots + \mathbf{v}_{o_{2m}}) /(2m) ]}{ \sum_{i \in \mathcal{V}} \text{exp}[\mathbf{u}_i^\top (\mathbf{v}_{o_1} + \ldots + \mathbf{v}_{o_{2m}}) /(2m)]}$$
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+当序列长度$T$较大时，我们通常随机采样一个较小的子序列来计算损失函数并使用[随机梯度下降](../chapter_optimization/gd-sgd-scratch.md)优化该损失函数。通过微分，我们可以计算出上式生成概率的对数关于任一背景词向量$\mathbf{v}_{o_i}$($i = 1, \ldots, 2m$)的梯度为：
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+$$\frac{\partial \text{log} \mathbb{P}(w_c \mid w_{o_1}, \ldots, w_{o_{2m}})}{\partial \mathbf{v}_{o_i}} = \frac{1}{2m}(\mathbf{u}_c - \sum_{j \in \mathcal{V}} \frac{\text{exp}(\mathbf{u}_j^\top \mathbf{v}_c)}{ \sum_{i \in \mathcal{V}} \text{exp}(\mathbf{u}_i^\top \mathbf{v}_c)} \mathbf{u}_j)$$
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+而上式与下式等价：
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+$$\frac{\partial \text{log} \mathbb{P}(w_c \mid w_{o_1}, \ldots, w_{o_{2m}})}{\partial \mathbf{v}_{o_i}} = \frac{1}{2m}(\mathbf{u}_c - \sum_{j \in \mathcal{V}} \mathbb{P}(w_j \mid w_c) \mathbf{u}_j)$$
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+
+通过上面计算得到梯度后，我们可以使用[随机梯度下降](../chapter_optimization/gd-sgd-scratch.md)来不断迭代各个模型参数$\mathbf{v}_{o_i}$($i = 1, \ldots, 2m$)。其他模型参数$\mathbf{u}_c$的迭代方式同理可得。最终，对于词典中的任一索引为$i$的词，我们均得到该词作为背景词和中心词的两组词向量$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{u}_i$。
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+## 近似训练法
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+我们可以看到，无论是跳字模型还是连续词袋模型，每一步梯度计算的开销与词典$\mathcal{V}$的大小相关。显然，当词典较大时，例如几十万到上百万，这种训练方法的计算开销会较大。所以，使用上述训练方法在实践中是有难度的。
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+我们将使用近似的方法来计算这些梯度，从而减小计算开销。常用的近似训练法包括负采样和层序softmax。
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+### 负采样
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+我们以跳字模型为例讨论负采样。
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+词典$\mathcal{V}$大小之所以会在目标函数中出现，是因为中心词$w_c$生成背景词$w_o$的概率$\mathbb{P}(w_o \mid w_c)$使用了softmax，而softmax正是考虑了背景词可能是词典中的任一词，并体现在softmax的分母上。
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+我们不妨换个角度，假设中心词$w_c$生成背景词$w_o$由以下两个相互独立事件联合组成来近似
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+* 中心词$w_c$和背景词$w_o$同时出现在该训练数据窗口
+* 中心词$w_c$和第1个噪声词$w_1$不同时出现在该训练数据窗口（噪声词$w_1$按噪声词分布$\mathbb{P}(w)$随机生成）
+* ...
+* 中心词$w_c$和第$K$个噪声词$w_K$不同时出现在该训练数据窗口（噪声词$w_K$按噪声词分布$\mathbb{P}(w)$随机生成）
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+我们可以使用$\sigma(x) = 1/(1+\text{exp}(-x))$函数来表达中心词$w_c$和背景词$w_o$同时出现在该训练数据窗口的概率：
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+$$\mathbb{P}(D = 1 \mid w_o, w_c) = \sigma(\mathbf{u}_o^\top \mathbf{v}_c)$$
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+那么，中心词$w_c$生成背景词$w_o$的对数概率可以近似为
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+$$ \text{log} \mathbb{P} (w_o \mid w_c) = \text{log} [\mathbb{P}(D = 1 \mid w_o, w_c) \prod_{k=1, w_k \sim \mathbb{P}(w)}^K \mathbb{P}(D = 0 \mid w_k, w_c) ]$$
 
-## 跳字模型
+假设噪声词$w_k$在词典中的索引为$i_k$，上式可改写为
 
-TODO(@astonz)
+$$ \text{log} \mathbb{P} (w_o \mid w_c) = \text{log} \frac{1}{1+\text{exp}(-\mathbf{u}_o^\top \mathbf{v}_c)}  + \sum_{k=1, w_k \sim \mathbb{P}(w)}^K \text{log} [1-\frac{1}{1+\text{exp}(-\mathbf{u}_{i_k}^\top \mathbf{v}_c)}] $$
 
+因此，有关中心词$w_c$生成背景词$w_o$的损失函数是
 
-## 连续词袋模型
+$$ - \text{log} \mathbb{P} (w_o \mid w_c) = -\text{log} \frac{1}{1+\text{exp}(-\mathbf{u}_o^\top \mathbf{v}_c)}  - \sum_{k=1, w_k \sim \mathbb{P}(w)}^K \text{log} \frac{1}{1+\text{exp}(\mathbf{u}_{i_k}^\top \mathbf{v}_c)} $$
 
-TODO(@astonz)
 
-## 负采样
+当我们把$K$取较小值时，每次随机梯度下降的梯度计算开销将较小。
 
-TODO(@astonz)
 
-## 层序softmax
 
-TODO(@astonz)
 
 ## 结论
 
@@ -45,8 +140,9 @@ word2vec工具主要包含两个模型：跳字模型和连续词袋模型，以
 
 ## 练习
 
-* 高频词问题，可参考[论文第2.3节](https://papers.nips.cc/paper/5021-distributed-representations-of-words-and-phrases-and-their-compositionality.pdf)
-* 词组问题，可参考[论文第4节](https://papers.nips.cc/paper/5021-distributed-representations-of-words-and-phrases-and-their-compositionality.pdf)。
+* 噪声词$\mathbb{P}(w)$在实际中被建议设为$w$的单字概率的3/4次方。为什么？（想想0.99^(3/4)和0.01^(3/4)的大小）
+* 一些"the"和"a"之类的英文高频词会对结果产生什么影响？该如何处理？（可参考[word2vec论文](https://papers.nips.cc/paper/5021-distributed-representations-of-words-and-phrases-and-their-compositionality.pdf)第2.3节）
+* 如何训练包括例如"new york"在内的词组向量？（可参考[word2vec论文](https://papers.nips.cc/paper/5021-distributed-representations-of-words-and-phrases-and-their-compositionality.pdf)第4节）。
 
 
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