init

f41c7b31 · wizardforcel · f41c7b31 · f41c7b31 · f41c7b31 · f41c7b31
1000 changed file
--- a/.gitignore
+++ b/.gitignore
+# Byte-compiled / optimized / DLL files
+__pycache__/
+*.py[cod]
+*$py.class
+
+# C extensions
+*.so
+
+# Distribution / packaging
+.Python
+env/
+build/
+develop-eggs/
+dist/
+downloads/
+eggs/
+.eggs/
+lib/
+lib64/
+parts/
+sdist/
+var/
+wheels/
+*.egg-info/
+.installed.cfg
+*.egg
+
+# PyInstaller
+#  Usually these files are written by a python script from a template
+#  before PyInstaller builds the exe, so as to inject date/other infos into it.
+*.manifest
+*.spec
+
+# Installer logs
+pip-log.txt
+pip-delete-this-directory.txt
+
+# Unit test / coverage reports
+htmlcov/
+.tox/
+.coverage
+.coverage.*
+.cache
+nosetests.xml
+coverage.xml
+*.cover
+.hypothesis/
+
+# Translations
+*.mo
+*.pot
+
+# Django stuff:
+*.log
+local_settings.py
+
+# Flask stuff:
+instance/
+.webassets-cache
+
+# Scrapy stuff:
+.scrapy
+
+# Sphinx documentation
+docs/_build/
+
+# PyBuilder
+target/
+
+# Jupyter Notebook
+.ipynb_checkpoints
+
+# pyenv
+.python-version
+
+# celery beat schedule file
+celerybeat-schedule
+
+# SageMath parsed files
+*.sage.py
+
+# dotenv
+.env
+
+# virtualenv
+.venv
+venv/
+ENV/
+
+# Spyder project settings
+.spyderproject
+.spyproject
+
+# Rope project settings
+.ropeproject
+
+# mkdocs documentation
+/site
+
+# mypy
+.mypy_cache/
+.DS_Store
+
+# gitbook
+_book
+
+# node.js
+node_modules
+
+# windows
+Thumbs.db
+
+# word
+~$*.docx
+~$*.doc
--- a/.nojekyll
+++ b/.nojekyll
--- a/404.html
+++ b/404.html
+---
+permalink: /404.html
+---
+<script>window.location.href = '/';</script>
--- a/CNAME
+++ b/CNAME
+calc4b.apachecn.org
\ No newline at end of file
--- a/CONTRIBUTING.md
+++ b/CONTRIBUTING.md
+# 贡献指南
+
+> 请您勇敢地去翻译和改进翻译。虽然我们追求卓越，但我们并不要求您做到十全十美，因此请不要担心因为翻译上犯错——在大部分情况下，我们的服务器已经记录所有的翻译，因此您不必担心会因为您的失误遭到无法挽回的破坏。（改编自维基百科）
+
+负责人：
+
+   飞龙：562826179
+
+## 章节列表
+
+   [第 0 章：为何学习微积分？](docs/2.md)
+    +   [0.1 你应该知道什么](docs/3.md)
+    +   [0.2 什么是微积分？我们为什么要研究它？](docs/4.md)
+   [第 1 章：数字](docs/5.md)
+    +   [1.1 什么是数字？有理数](docs/6.md)
+    +   [1.2 小数和实数](docs/7.md)
+    +   [1.3 复数](docs/8.md)
+    +   [复数运算](docs/9.md)
+    +   [1.4 可数集（消遣）](docs/10.md)
+   [第 2 章：使用电子表格](docs/11.md)
+    +   [2.1 什么是电子表格？](docs/12.md)
+    +   [2.2 斐波纳契数](docs/13.md)
+    +   [2.3 帕斯卡的三角形](docs/14.md)
+    +   [2.4 与电子表格集成](docs/15.md)
+   [第 3 章：线性函数](docs/16.md)
+    +   [3.1 什么是函数？](docs/17.md)
+    +   [3.2 线性函数](docs/18.md)
+    +   [3.3 线性](docs/19.md)
+   [第四章：函数的二次型和导数](docs/20.md)
+    +   [4.1 更复杂的函数](docs/21.md)
+    +   [4.2 二次函数的斜率](docs/22.md)
+   [第 5 章：有理函数和导数的计算](docs/23.md)
+    +   [5.1 有理函数的导数](docs/24.md)
+   [第 6 章：指数函数，替换和链规则](docs/25.md)
+    +   [6.1 最有用函数的导数](docs/26.md)
+   [第 7 章：三角函数及其导数](docs/27.md)
+    +   [7.1 二维数学](docs/28.md)
+    +   [7.2 三角学和导数以及加法定理](docs/30.md)
+   [第 8 章：反函数及其导函数](docs/72.md)
+    +   [8.1 反函数](docs/73.md)
+    +   [8.2 微分反函数](docs/74.md)
+    +   [8.3 更多规则](docs/75.md)
+   [第 9 章：数值微分和不可微函数](docs/31.md)
+    +   [9.1 数值微分](docs/32.md)
+    +   [9.2 绘制导数图](docs/33.md)
+    +   [9.3 不可微函数](docs/34.md)
+   [第 10 章：微分的回顾](docs/35.md)
+    +   [10.1 复习](docs/36.md)
+   [第 11 章：微分在求解方程中的应用](docs/37.md)
+    +   [11.1 求解方程](docs/38.md)
+   [第 12 章：反导数](docs/39.md)
+    +   [12.1 反导数](docs/40.md)
+   [第 13 章：曲线下面积;定积分](docs/41.md)
+    +   [13.1 区域：定义，名称和符号](docs/42.md)
+    +   [13.2 微积分和确定区域的基本定理](docs/43.md)
+    +   [13.3 积分的诀窍](docs/44.md)
+   [第 14 章：数值积分](docs/45.md)
+    +   [14.1 数值积分计划](docs/46.md)
+    +   [14.2 积分的“规则”](docs/47.md)
+    +   [14.3 为什么这些规则有效？](docs/48.md)
+   [第 15 章：平行数字的面积和体积;行列式](docs/49.md)
+    +   [15.1 有符号面积和体积](docs/50.md)
+    +   [15.2 表示平行边的图形](docs/51.md)
+    +   [15.3 行列式的属性](docs/52.md)
+    +   [15.4 求解行列式](docs/53.md)
+    +   [15.5 用于求解电子表格中的行列式的爱丽丝梦游仙境方法](docs/54.md)
+   [第 16 章一些纯数学](docs/55.md)
+    +   [16.1 极限和点集拓扑简介](docs/56.md)
+    +   [16.2 紧集](docs/57.md)
+    +   [16.3 杂注](docs/58.md)
+    +   [16.4 Lebesgue 积分](docs/59.md)
+   [第 17 章：物理的建模应用](docs/60.md)
+    +   [17.1 垂直运动建模](docs/61.md)
+    +   [17.2 弹簧建模（谐波振荡器）](docs/62.md)
+    +   [17.3 受迫振荡](docs/63.md)
+    +   [17.4 简单电路](docs/64.md)
+   [第 18 章捕食者猎物模型](docs/65.md)
+    +   [18.1 捕食者猎物模型](docs/66.md)
+   [第 19 章：求解微分方程](docs/67.md)
+    +   [19.1 计划](docs/68.md)
+    +   [19.2 一阶微分方程](docs/69.md)
+    +   [19.3 二阶微分方程](docs/70.md)
+    +   [19.4 行星运动](docs/71.md)
+
+## 流程
+
+### 一、认领
+
+首先查看[整体进度](https://github.com/apachecn/calc4b-zh/issues/1)，确认没有人认领了你想认领的章节。
+ 
+然后回复 ISSUE，注明“章节 + QQ 号”（一定要留 QQ）。
+
+### 二、校对
+
+需要校对：
+
+1.  语法
+2.  术语使用
+3.  文档格式
+
+如果觉得现有翻译不好，重新翻译也是可以的。
+
+### 三、提交
+
+   `fork` Github 项目
+   修改`docs`中的文档。
+   `push`
+   `pull request`
+
+请见 [Github 入门指南](https://github.com/apachecn/kaggle/blob/master/docs/GitHub)。
--- a/README.md
+++ b/README.md
+# 面向初学者的微积分
+
+> 原文：[Calculus for Beginners and Artists](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/index.html)
+> 
+> 协议：[CC BY-NC-SA 4.0](http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/)
+> 
+> 欢迎任何人参与和完善：一个人可以走的很快，但是一群人却可以走的更远。
+
+* [在线阅读](https://calc4b.apachecn.org)
+* [ApacheCN 面试求职交流群 724187166](https://jq.qq.com/?_wv=1027&k=54ujcL3)
+* [ApacheCN 学习资源](http://www.apachecn.org/)
+
+## 贡献指南
+
+项目当前处于校对阶段，请查看[贡献指南](CONTRIBUTING.md)，并在[整体进度](https://github.com/apachecn/calc4b-zh/issues/1)中领取任务。
+
+> 请您勇敢地去翻译和改进翻译。虽然我们追求卓越，但我们并不要求您做到十全十美，因此请不要担心因为翻译上犯错——在大部分情况下，我们的服务器已经记录所有的翻译，因此您不必担心会因为您的失误遭到无法挽回的破坏。（改编自维基百科）
+
+## 联系方式
+
+### 负责人
+
+* [飞龙](https://github.com/wizardforcel): 562826179
+
+### 其他
+
+*   认领翻译和项目进度-地址: <https://github.com/apachecn/calc4b-zh/issues/1>
+*   在我们的 [apachecn/calc4b-zh](https://github.com/apachecn/calc4b-zh) github 上提 issue.
+*   发邮件到 Email: `apachecn@163.com`.
+*   在我们的 [组织学习交流群](http://www.apachecn.org/organization/348.html) 中联系群主/管理员即可.
+
+## 赞助我们
+
+![](http://data.apachecn.org/img/about/donate.jpg)
--- a/SUMMARY.md
+++ b/SUMMARY.md
+   [第 0 章：为何学习微积分？](docs/2.md)
+    +   [0.1 你应该知道什么](docs/3.md)
+    +   [0.2 什么是微积分？我们为什么要研究它？](docs/4.md)
+   [第 1 章：数字](docs/5.md)
+    +   [1.1 什么是数字？有理数](docs/6.md)
+    +   [1.2 小数和实数](docs/7.md)
+    +   [1.3 复数](docs/8.md)
+    +   [复数运算](docs/9.md)
+    +   [1.4 可数集（消遣）](docs/10.md)
+   [第 2 章：使用电子表格](docs/11.md)
+    +   [2.1 什么是电子表格？](docs/12.md)
+    +   [2.2 斐波纳契数](docs/13.md)
+    +   [2.3 帕斯卡的三角形](docs/14.md)
+    +   [2.4 与电子表格集成](docs/15.md)
+   [第 3 章：线性函数](docs/16.md)
+    +   [3.1 什么是函数？](docs/17.md)
+    +   [3.2 线性函数](docs/18.md)
+    +   [3.3 线性](docs/19.md)
+   [第四章：函数的二次型和导数](docs/20.md)
+    +   [4.1 更复杂的函数](docs/21.md)
+    +   [4.2 二次函数的斜率](docs/22.md)
+   [第 5 章：有理函数和导数的计算](docs/23.md)
+    +   [5.1 有理函数的导数](docs/24.md)
+   [第 6 章：指数函数，替换和链规则](docs/25.md)
+    +   [6.1 最有用函数的导数](docs/26.md)
+   [第 7 章：三角函数及其导数](docs/27.md)
+    +   [7.1 二维数学](docs/28.md)
+    +   [7.2 三角学和导数以及加法定理](docs/30.md)
+   [第 8 章：反函数及其导函数](docs/72.md)
+    +   [8.1 反函数](docs/73.md)
+    +   [8.2 微分反函数](docs/74.md)
+    +   [8.3 更多规则](docs/75.md)
+   [第 9 章：数值微分和不可微函数](docs/31.md)
+    +   [9.1 数值微分](docs/32.md)
+    +   [9.2 绘制导数图](docs/33.md)
+    +   [9.3 不可微函数](docs/34.md)
+   [第 10 章：微分的回顾](docs/35.md)
+    +   [10.1 复习](docs/36.md)
+   [第 11 章：微分在求解方程中的应用](docs/37.md)
+    +   [11.1 求解方程](docs/38.md)
+   [第 12 章：反导数](docs/39.md)
+    +   [12.1 反导数](docs/40.md)
+   [第 13 章：曲线下面积;定积分](docs/41.md)
+    +   [13.1 区域：定义，名称和符号](docs/42.md)
+    +   [13.2 微积分和确定区域的基本定理](docs/43.md)
+    +   [13.3 积分的诀窍](docs/44.md)
+   [第 14 章：数值积分](docs/45.md)
+    +   [14.1 数值积分计划](docs/46.md)
+    +   [14.2 积分的“规则”](docs/47.md)
+    +   [14.3 为什么这些规则有效？](docs/48.md)
+   [第 15 章：平行数字的面积和体积;行列式](docs/49.md)
+    +   [15.1 有符号面积和体积](docs/50.md)
+    +   [15.2 表示平行边的图形](docs/51.md)
+    +   [15.3 行列式的属性](docs/52.md)
+    +   [15.4 求解行列式](docs/53.md)
+    +   [15.5 用于求解电子表格中的行列式的爱丽丝梦游仙境方法](docs/54.md)
+   [第 16 章一些纯数学](docs/55.md)
+    +   [16.1 极限和点集拓扑简介](docs/56.md)
+    +   [16.2 紧集](docs/57.md)
+    +   [16.3 杂注](docs/58.md)
+    +   [16.4 Lebesgue 积分](docs/59.md)
+   [第 17 章：物理的建模应用](docs/60.md)
+    +   [17.1 垂直运动建模](docs/61.md)
+    +   [17.2 弹簧建模（谐波振荡器）](docs/62.md)
+    +   [17.3 受迫振荡](docs/63.md)
+    +   [17.4 简单电路](docs/64.md)
+   [第 18 章捕食者猎物模型](docs/65.md)
+    +   [18.1 捕食者猎物模型](docs/66.md)
+   [第 19 章：求解微分方程](docs/67.md)
+    +   [19.1 计划](docs/68.md)
+    +   [19.2 一阶微分方程](docs/69.md)
+    +   [19.3 二阶微分方程](docs/70.md)
+    +   [19.4 行星运动](docs/71.md)
--- a/docs/10.md
+++ b/docs/10.md
+# 1.4 可数集（消遣）
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section04.html)
+
+**如果你可以列出其成员名单**，那么据说这是一个可数。通过**列表，我们的意思是你可以找到第一个成员，第二个成员，等等，并最终为每个成员分配一个自己的整数**，也许永远存在。
+
+**自然数本身是可数的 - 您可以将每个整数分配给自身。** 整数的集合![](img/tex-21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.gif)是可数的 - 使列表中的奇数项为正整数，其余为偶数项，偶数和奇数项从最小幅度向上排序。以下是这个特定数字序列的开始：
+
+![](img/tex-dfc58ea59e3d6e118647b523f8c32041.gif)
+
+（如果一个集是可数的，你可以用很多方式列出它。）
+
+**正的有理数，也是可数的**，这就是为什么。首先取所有分子和分母总和为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，然后![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)然后![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)，等等。当有几个这样做时，按尺寸排序。以下是此列表的开始方式。 \（\ frac {0} {1}，\ frac {1} {1}，\ frac {1} {2}，\ frac {2} {1}，\ frac {1} {3}，\ frac { 2} {2}，\ frac {3} {1}，\ frac {1} {4}，\ frac {2} {3}，\ frac {3} {2}，\ frac {4} {1} \）， 等等。每个正有理数都出现在这个列表的某个地方，实际上经常出现在它上面。 （这是因为![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)显示为![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)以及![](img/tex-34d8723e2efb88fcf2e6aac71b79bfa2.gif)和![](img/tex-5c6f63ef25d65837ed51b6120b543d77.gif)等等。）但所有分数最终都会出现，并且反复出现。
+
+**正有理数和负有理数的数量也是可数的，**我们可以通过从上面对每个单独的列表中单独列出整数来列出所有数据。
+
+![](img/tex-4967598dc3b3aa7d74da6a22a7ca70eb.gif)
+
+有理数由整数对描述，上面的参数概括为暗示可数集的任何成员对的任何集合都是可数的。这可以推广到可数集的可数集合是可数的声明。
+
+**接着是代数数**，它们都是具有整数系数的有限度多项式方程的解是可数的。有一定数量的有限度数，每个度数的可计数系数系数和每个方程的可数数量的解，因此可数集的可数集的可数集的代数数仍然是可数的。
+
+**另一方面，所有小数扩展的集合都是不可数的。**
+
+**怎么样？**
+
+好吧，如果我们有一个所有小数扩展的列表，我们可以轻松地构建一个不能在其上的数字。只是**使其条目![](img/tex-363b122c528f54df4a0446b6bab05515.gif)超出小数点，![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)与列表**中![](img/tex-d6c87401ed2f8589600d6db807438139.gif)的数字位置的条目不同。然后，我们创建的数字与列表中的每个数字不同，因此不能在其上。所有这些意味着我们无法列出所有实数或小数扩展！
+
+你和我都不能真正做出构造这样一个数字所必需的无限数量的行为，但我们可以想象它已经完成了。
+
+想象一下，想象一下你名单上的前三个数字是
+
+![](img/tex-b238b20c482aa9d8b9029e67817f5e4e.gif)
+
+![](img/tex-c217c84675e9ac9f96be99ec45b1bcad.gif)
+
+![](img/tex-18b73d02b8bb8d69cf138648d6e988f6.gif)
+
+给定结构不在列表中的数字将由![](img/tex-e4a86bd9b70ab25e048d7f59bac705df.gif)开始，因为该序列首先与![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的第一个数字不同，第二个地方的第二个数字与![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)不同，第二个数字与第三个数字不同成员由 2 位排在第 3 位。我们最终得到的数字肯定会与上面的三个数字不同。其余的数字类似地参考列表中的下一个数字来确定，我们可以推断出这个数字不能在列表中的任何地方，只要其数字的数量与列表的长度相同。
+
+这意味着无法列出所有小数扩展的集合。小数扩展是不可数的。
+
+**小数扩展是否与实数相同？**
+
+实际上，0 到 1 之间的每个实数都有一个十进制扩展，但有些，即以所有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)结尾的有理数，出现两倍的十进制扩展。原因是![](img/tex-63128b739980e3889a35c755b6eedb8e.gif)与![](img/tex-6049ba7a17fc648a2c43d480a2461ebb.gif)真的相同。由于这些是有理数的一个子集，因此这种差异并不特别重要。
+
+**练习：从![](img/tex-5718b758bcf97423004b5ff013633d9d.gif)中减去![](img/tex-0cf55c180b0d5a814972e35e94f15a7a.gif)。你得到了什么**？如果![](img/tex-45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.gif)在某个地方停了下来，你可以在下一个地方减去并获得![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)而在其他地方减去![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。但是当![](img/tex-45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.gif)从未停止时会发生什么？
\ No newline at end of file
--- a/docs/11.md
+++ b/docs/11.md
+# 第 2 章：使用电子表格
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/contents.html)
+
+## 介绍
+
+_ 本章的目的是让您熟悉数学中电子表格的使用。_ 第一部分描述了如何处理一个，后者描述了调查斐波纳契数，二项式系数和不规则数字区域的应用。
+
+## 话题
+
+[2.1 什么是电子表格？](section01.html)
+
+[2.2 斐波纳契数](section02.html)
+
+[2.3 Pascal 的三角形](section03.html)
+
+[2.4 与电子表格集成](section04.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/12.md
+++ b/docs/12.md
+# 2.1 什么是电子表格？
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section01.html)
+
+它是一个矩形排列的盒子，看起来像一个巨大的空填字游戏。
+
+为什么要打扰一个？
+
+你会发现你可以用很少的努力与他们做出惊人的事情。我们会做一些插图。你应该自己尝试一下。完成后，您将对电子表格有足够的了解，以便有效地使用它们来解决问题并检查工作。您可以在图形计算器上执行任何操作，但您可以随时查看所有结果和中间步骤并更正任何内容。
+
+你是怎么做的？
+
+你在盒子里输入东西。您可以将鼠标左键单击任何框，然后输入您的条目。 （在移动设备上有类似的方法。）顺便说一句，每个方框都有一个由列字母给出的名称（列从 A 到 Z，然后是 AA 到 AZ，然后是 BA 到 BZ 等;以及行号行数从 1 到数千。）
+
+你能进入什么？
+
+1.  **普通散文（或诗歌）：这样做只需输入。**
+
+2.  **数字：输入。**
+
+3.  **你听过的任何函数以及更多其他函数的内容：**
+
+例如，在 B2 中键入= sin（A2）会将数字的正弦值放入 A2（以弧度表示）到框 B2 中。
+
+您必须首先键入等号，然后输入您知道其名称的任何函数，或者可以从电子表格给出的函数列表中选择。在我的电子表格中，您可以点击页面顶部的“公式”，然后查看并选择所需的公式。有很多列出的内容，如果你试着查看列表，你可能会头晕，但你会恢复。
+
+当然，您也可以使用括号和许多函数来使用许多不同的函数来创建自己的复杂公式。例如= sqrt（sin（A2）* exp（A3）/（1 + atan（A5））将给出 A2 中的正弦和（e 对 A3 中的幂）的乘积的平方根全部除以（1 加上其切线在 A5 中的角度，以![](img/tex-7e9a721b26c315d5d015d7dd2fd27d1d.gif)和![](img/tex-fd47ae6194448a26f01fc381644dc0eb.gif)之间的弧度表示。
+
+好的，但你可以在计算器上完成所有这些。
+
+最好的函数来自于复制其他地方的一个框（或矩形框）中发生的事情。
+
+**当您在方框 B2 中的内容指的是其他一些方框时，例如 A2，当您将 B2 复制到其他位置时，引用框会随之移动。** 因此，如果在 B2 中你有 put = sin（A2），你将 B2 复制到说，D2。
+
+那么 D2 将包含= sin（C2）。将 B2 复制到 R7 会将= sin（Q7）放在那里。如果我正确地记住了我的字母，B 就在 A 之后，D 在 C 之后，R 在 J 之后。
+
+好的，我该如何复制？
+
+**单击要复制的框，同时按 Ctrl 和 c，输入将进入“剪贴板”。然后，您可以将光标移动到要复制的位置，然后同时按 Ctrl 和 v。** 试试看吧。 （顺便说一下，如果你做了一些你不想做的事情，那么**同时按下 Ctrl 和 z 会撤消它**。）
+
+假设我在复制内容时不希望引用发生变化？
+
+**你所要做的就是在你不想改变的索引（字母或数字或两者）前放一个美元符号（一个$）。** 因此，= sin（$ A2）不会改变将保留 A 的列索引。类似地= sin（A $ 2）任何地方都会将引用保留在第二行，并且将美元符号放在两者之前将保持参考框 A2 无论你在哪里复制它。
+
+更好的是，您可以复制整个矩形，或在矩形中的任何位置复制单个框。
+
+怎么样？
+
+假设您要将框 B2 的内容复制到角 C5 和 E100 的矩形中。
+
+**首先点击方框 B2，然后同时按下 Ctrl 和 c。**
+
+下一步是选择目标块的框。 **为此，您将光标移动到 C5 左键单击，并在将光标移动到 E100 时按住 Shift 键。然后左键单击。** 矩形中的块应显示它们已被“选中”。最后你按 Ctrl 和 v。这应该这样做。
+
+尝试这样做几次。
+
+有没有更简单的方法来复制？
+
+**是的。您可以向下或向右复制材料（并使用您可以向左或向上复制的菜单。）**
+
+**要执行此操作，请选择要复制的材料（一行中的所有内容）以及要将其复制到下面的位置。** （如上所述选择。）**然后同时按下 Ctrl 和 d。 （您可以按住 Ctrl 键并在按下时按 d 键。）**
+
+**要复制到右侧，您可以在一列中正确选择，然后同样按 Ctrl 和 r。**
+
+要向上或向左移动，主菜单右上角附近有一个图标，可以选择您想要复制的方向。
+
+今天的电子表格允许你做很多令他们害怕的事情。旧的 Excel（2007）有 7 列菜单页面，每个菜单页面允许在大约 20 个菜单中进行选择，您可以通过下拉菜单选择许多选项，但如果您知道如何输入函数并复制，则可以忽略它们。好吧，如果你想保存你在文件中所做的事情，你可以按 Ctrl 和 s 一起。然后，您必须说明要保存到的文件。
+
+好的我能用这些东西做什么？
+
+刚才讨论的复制属性允许快速生成函数的函数，导数，总和和积分，无论这些词是什么意思。
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+# 2.2 斐波纳契数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section02.html)
+
+举个例子，让我们看一下斐波那契数字。他们在中世纪时首先由斐波那契研究。它们由以下条件定义：
+
+**![](img/tex-b38225b99184159862ec0059605d1caa.gif)**
+
+对于所有整数参数，我们有
+
+**![](img/tex-530aefc60b7dd4ae9abf6a90db21d470.gif)**
+
+用语言来说，每个 Fibonacci 数是前两个的总和。
+
+这些数字有很多有趣的属性，我们将看看其中两个。
+
+首先在方框 A1 中输入 Fibonacci 数字。 （如果你想稍后看看你现在正在做什么，有标签有帮助。）
+
+添加以下标签：A9 中的 n，B9 中的 F（n），C9 中的黄金比例，D19 中的部分和，以及 E9 中的 F（-n）。
+
+然后在 A10 中输入![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，在 A11 中输入= A10 + 1。
+
+现在将此列 A 列复制到 A60。
+
+你看到了什么？不多;你看到从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c0c7c76d30bd3dcaefc96f40275bdc0a.gif)的整数。
+
+好。现在在 B10 中输入![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，在 B11 中输入![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。然后在 B12 中输入= B10 + B11。
+
+将 B12 向下复制到 B60。
+
+您将在该列中看到 Fibonacci 数字，从参数![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c0c7c76d30bd3dcaefc96f40275bdc0a.gif)。
+
+接下来让我们看一下斐波纳契数与其前辈的比率。
+
+通过在 C12 中输入 **= B12 / B11** 并将其复制到 C60 来执行此操作。
+
+你看到了什么？
+
+让我们弄清楚你看到的数字是多少。假设 B41 中的内容是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)倍于 B40 中的内容，并且 B42 中的内容类似地大约是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)乘以 B41 中的大约![](img/tex-32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.gif) B40。
+
+这意味着![](img/tex-32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.gif) B（40）= B（42）= F（42）= F（41）+ F（40）= xB（40）+ B（40）。除以 B（40），我们得到二次方程![](img/tex-c6d0748bfabd4501bbfebbec2062a3b2.gif)。因此，我们得到的比率![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是这个等式的解。你所看到的这个等式的更大解决方案被称为“黄金比率”。
+
+现在尝试以下操作：在 D10 输入![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，在 D11 输入 **= B11 + D10** 。将列 D 向下复制到 D60。
+
+您在 D 列中得到的是斐波那契数字与索引（在 A 列中）之间的总和。你对这笔钱怎么说？将 B 列中的条目与 D 列中的条目进行比较，并描述它们之间的关系。另请注意，D11 中的条目， **= B11 + D10** ，如此处所示复制到 D 列，产生 B 列中条目的部分和。这意味着 D50 中的条目，例如是总和第一个![](img/tex-2838023a778dfaecdc212708f721b788.gif)斐波纳契数。
+
+这是你可以做的其他事情。 Fibonacci 数的定义属性是
+
+![](img/tex-ae33fb78746c2085ddab8c6993c1b7d2.gif)。我们也可以把它写成![](img/tex-e09e442f6116ac85977391cb35ab9abc.gif)。这允许我们用负参数定义斐波纳契数。因此![](img/tex-cb1f6db960d45fa2480098ceef753f6a.gif)，![](img/tex-09e7bb442301c03304c7c06eea0d5ff1.gif)等。
+
+因此将![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)放入 E10，将![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)放入 E11，然后输入 **= E10-E11。** 然后将 E12 从 E 列复制到 E60。
+
+**E 栏中的条目将是负的 Fibonacci 数字，其中 A 列中有参数。**
+
+关于负面论证斐波纳契数，你能说些什么？
+
+顺便说一句，具有正参数的斐波那契数字计算![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif)网格中![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif)相同多米诺骨牌插入![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的不同方式的数量，因此每个多米诺骨牌覆盖两个相邻的盒子，并且没有盒子被覆盖两次。
+
+&lt;button aria-controls="fibonacci-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#fibonacci-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/fibonacci.xlsx)
+
+Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="10">10</button>[10](#) [25](#) [50](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+**练习：**
+
+**2.1 在您自己的机器上设置这一切。**
+
+**2.2 证明 Fibonacci 数字计算![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif)网格将![](img/tex-06b0387822782d6588fc828233ba5300.gif)多米诺骨牌插入![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的不同方式的数量，以便每个多米诺骨牌覆盖两个相邻的方框。** 
+
+**2.3 定义一个序列的收敛性，该序列反映斐波纳契数与其前辈的比率属性，你在[C]栏中看到**
+
+**2.4 该程序产生上述二次方程的解。给定任何具有整数系数的二次方，我们可以产生如上所述的递归，并将其替换为 B4 并将其复制下来，看看它发生了什么。尝试用一些样方法来做这个，并找到另一个我们得到像斐波那契数字那样的解决方案，而另一个我们没有。立方![](img/tex-36a4fbd5bff6189d10bdd1addf9e41b1.gif)会发生什么？**
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+++ b/docs/14.md
+# 2.3 帕斯卡的三角形
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section03.html)
+
+这次我们将整数放在左边，就像我们之前做的那样，但也是沿着顶部
+
+因此，我们将 A3 设置为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，将 A4 设置为= A3 + 1，将 A4 设置为 A13。我们将 C1 设置为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，将 D1 设置为= C1 + 1，将 D1 设置为右侧的 M1。
+
+现在，我们将 C3 设置为= B2 + C2。复制 C2（使用 Ctrl c）。从 C3 到 M13 中选择矩形。粘贴在矩形中（使用 Ctrl v）。 （顺便说一句，左上角附近有用于复制和粘贴的图标，您可以使用而不是使用 Ctrl c 或 Ctrl v。）
+
+你看到了什么？你应该看到所有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)了。
+
+现在将 C3 设置为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。您现在应该看到在所选区域中以![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)为边界的倾斜 Pascal 三角形。
+
+任何所选框的内容是二项式系数![](img/tex-526d96322b02d659ee296406c432dcb3.gif)或![](img/tex-b6663903b8b76cab879396575c264b09.gif)，其中![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)是框中 A 列中的数字，![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)是第一行中的数字。
+
+&lt;button aria-controls="pascals-triangle-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#pascals-triangle-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/pascals-triangle.xlsx)
+
+接下来我们将看到如何使用电子表格来计算区域。
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+++ b/docs/15.md
+# 2.4 与电子表格集成
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section04.html)
+
+**我们尚未定义函数，因此本节比我们先行一步。如果你在这里遇到困扰你的事情，请停下来，继续下一章，稍后再回到这里。如果您在下面看到的内容有意义，那就继续吧。**
+
+**积分具有几何意义。给定正函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)之间的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的定积分表示函数![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)与 x 轴的曲线图之间的区域，来自![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的固定起始值![](img/tex-30274650bacd74db68a23b21ee5adc3f.gif)，与![](img/tex-18eb4c8466f2ee02a1dc559302f83749.gif)的另一个值![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)。**
+
+如果函数是常数，那个区域只是![](img/tex-a0b35300ffcb7491a36007770068fd1f.gif)（间隔的长度）和![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的常数值的乘积，因为我们计算的数字是一个矩形，边是![](img/tex-c608725163bc8e1444fa62762d04bc24.gif)和![](img/tex-1de051ee2de4c3f78ce4dcb90e0ef591.gif)，![](img/tex-085f7f7646ef2f614dd2fa2a1b2ec606.gif)顶部，![](img/tex-596093e0539c4bb5b3d58f7dbabcf754.gif)底部。
+
+**否则，我们可以将![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)到![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)的间隔划分为长度为![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的条子，并通过每个条子中的面积之和计算面积。 （当函数为负时，我们将 x 轴下面的区域计为负值，当![](img/tex-9191cd06ca8af4b136d20c6b13fcd173.gif)正变为负时，反之亦然。）我们将选择所有长度![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的条子，并近似每条条子的面积。**
+
+这里有一个有趣的问题：**你做了什么来近似条子的区域？**
+
+**条子有宽度![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，我们选择了一个近似高度，所以这个问题应该成为我们应该分配到![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)和![](img/tex-1bb17677c979398e6e3ac6f87826f814.gif)之间区域的高度？**
+
+有三种非常简单的方法可以做到这一点。一种方法是使用![](img/tex-517921f924a219ec0ec90920a4a9b906.gif)，另一种方法是使用![](img/tex-98d49a9a9d18746b756a61894be90b6b.gif)，另一种方法是使用它们的平均值。
+
+这些估算方式有名字！它们是**左手规则，右手规则和梯形规则。** 每个条子对面积的贡献将是这个估计乘以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。
+
+令人高兴的是，你在这个问题的答案中唯一的区别来自贡献![](img/tex-912f97678d7a42f283e92bab7756093b.gif)和![](img/tex-3bd6f4ce823940421bdd938ca8e7d417.gif)。无论使用哪种“规则”，所有其他中间点贡献相同的量。
+
+发生这种情况是因为一条棉条的末端是下一条棉线的开始，无论使用哪种方法，从![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)点到总和的贡献都是![](img/tex-fcd3356dc40f697ab87624e59e01f7c8.gif)。如果你在间隔的左侧使用![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的值，那么从![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)开始的间隔得到![](img/tex-fcd3356dc40f697ab87624e59e01f7c8.gif);如果你使用![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的右侧值，你会从![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)结束的区间得到同样的东西;如果你使用他们的平均值，你可以从任一间隔获得一半。
+
+这意味着唯一的区别来自第一个和最后一个区间。使用“左规则”，你得到![](img/tex-912f97678d7a42f283e92bab7756093b.gif)而不是![](img/tex-3bd6f4ce823940421bdd938ca8e7d417.gif)反之为“正确规则”，而![](img/tex-887819725be68fbaaa837311d29084ee.gif)来自平均值或“梯形规则”。换句话说，在梯形规则中，每个内部条子除了最终的条子外都会得到![](img/tex-fcd3356dc40f697ab87624e59e01f7c8.gif)，而在端点![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)只有![](img/tex-675cebfa5c375aeb026cab0681ba8c75.gif)和![](img/tex-de7b9220ed6a2cdf87882293aec3fd2f.gif)。梯形规则证明是三者中最好的。
+
+因此，我们将使用![](img/tex-fcd3356dc40f697ab87624e59e01f7c8.gif)估算 A 和 B **（包括**之间的值 s）的总和，并从总数中减去![](img/tex-887819725be68fbaaa837311d29084ee.gif)，这将给出梯形规则提供的答案。稍后我们将看到这比其他任何一个好得多，因为它的误差与![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)成正比，而其他的每个都与实际面积的线性项![](img/tex-967e984b6c296ecf4ceb79c879539e63.gif)不同。
+
+计算列中连续框内容的总和是您在 D 列中使用 Fibonacci 数进行的。要在 C 列中输入 B 列中从 5 开始的总和，请输入= B5 + C4 到 C5 并将其复制到该列。
+
+这将计算 C 列区域的左手规则估计。通过在 D5 中放置= C5-（B $ 5 + B5）/ 2，我们将左手规则转换为梯形规则，该规则将在每个中间点显示为什么在列 D 中。-B $ 5/2 消除了![](img/tex-c608725163bc8e1444fa62762d04bc24.gif)的一半贡献，另一个减法消除了另一端的贡献。
+
+我们首先在 B2 中选择 d;将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的起始值设为 B3。
+
+我们这样做，所以我们可以在需要时轻松更改这些内容。
+
+A 列将包含 A 的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)值。
+
+条目 Bk 将包含![](img/tex-6839e5b66fc5ed0457badf21bc58152f.gif)的函数值。
+
+作为说明，我们将估计函数![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)的积分。
+
+您可以通过在 A5 中输入= B3 从第五行开始设置。然后将 A6 设置为= A5 + B $ 2，并将 A6 复制到 A 列。这将是您的变量的值。
+
+在 B5 put = B $ 2 * sin（A5）并将其复制到 B 列。
+
+在 C5 中输入= B5 + C4 并将其复制到 C 列下方。
+
+在 D5 put = C5-（B $ 5 + B5）/ 2 并复制 D 列。
+
+**如果你这样做，你可以通过在 B2 中插入不同的值来改变 d。您可以通过在 B3 中输入新的起点来更改起点。您可以通过用新 f（A5）替换 sin（A5）并在 B 列中复制= B $ 2 * f（A5）来更改要集成的函数。**
+
+使用左手规则从 A5 开始并在 x = A5 + kd 结束的区域的估计将出现在行 C 的行 C 中，其值为 **B5 +（k-1）d** 。 （此框将包含![](img/tex-81fd64ed81ae73dcc3777da22fea64b4.gif)形式的![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)条款的总和。）
+
+D 列中的条目将左手规则转换为 Trapezoid 规则。因此，在具有 A 值 B4 + kd 的行中出现的将是 x 轴，正弦曲线和线 x = B4 和 x = B4 + kd 之间的区域的梯形规则估计。
+
+这是对该地区的估计;我们可以做得更好，以后会。
+
+这是![](img/tex-8756516056a75e7493ef8f60ab5acff3.gif)和![](img/tex-07f046a9608ace07fb8896f3f528bf1f.gif)电子表格的样子。
+
+&lt;button aria-controls="integral-trapezoid-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#integral-trapezoid-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/integral-trapezoid.xlsx)
+
+Number of increments<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-inc-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+现在从 A5 到 B105 选择 A 列和 B 列，然后插入 xy 散点图。你看到了什么？
+
+**我们怎样才能做得更好？**
+
+如果添加一个类似于 C 的列 E，除了跳过![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，那么在 E5 中放置= 2 * B5 + E3 并向下复制，并通过输入 F5 = E5-将其更正为 F 列中的梯形规则（ B $ 5 + B5）并向下复制，最后在列 G 中放置=（4 * D5-F5）/ 3，您将在 G 列的奇数条目中得到 Simpson 对所讨论区域的规则估计（如行![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif) ]，![](img/tex-8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.gif)，![](img/tex-45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.gif)等）偶数条目将是无用的垃圾。
+
+**这是什么恶魔？**
+
+E 和 F 中的奇数条目重复先前的计算，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)替换为![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)。梯形规则中的误差表现为![](img/tex-7547488eb210dd19c7ed09c2dede877f.gif);如果你将 **![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)乘以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)计算并减去![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)一个**，那个行为为![](img/tex-7547488eb210dd19c7ed09c2dede877f.gif)的错误将被抵消。结果大致是![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)乘以实际结果。因此**将 4D5-F5 除以 3** 给出了误差实际上为![](img/tex-c4bf864f400738965e81bde260d2e351.gif)的区域的规则。它被称为**辛普森的规则**。
+
+这将在[第 14 章](../chapter14/contents.html)中详细讨论。
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--- a/docs/16.md
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+# 第 3 章：线性函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/contents.html)
+
+## 介绍
+
+描述了函数的抽象定义，以及线性函数的属性。
+
+## 话题
+
+[3.1 什么是函数？](section01.html)
+
+[3.2 线性函数](section02.html)
+
+[3.3 线性](section03.html)
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--- a/docs/17.md
+++ b/docs/17.md
+# 3.1 什么是函数？
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section01.html)
+
+函数是我们用来描述我们想要在数学上讨论的事情的东西。但是，我发现，当我尝试定义它们时，我会有点舌头。
+
+最简单的定义是：**一个函数是一堆有序的事物（在我们的例子中，事物将是数字，但它们可以是其他的），具有这样的属性：对的第一个成员都不同于一个另一个。**
+
+因此，这是一个函数的例子：
+
+![](img/tex-c2283a033352f4b3d9d75dbfa83e8dc7.gif)
+
+该函数由三对组成，其第一个成员是![](img/tex-92963defdbac8bd4a8b7a2cefacc9a9d.gif)和![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)。
+习惯上给出函数名称，如![](img/tex-67d841df00757a95c4cc48dd9b77fb47.gif)或![](img/tex-2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)，如果我们称这个函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，我们通常使用以下符号来描述它：
+
+![](img/tex-7598cf6233873f0c15ab6026d36da58a.gif)
+
+这对中的第一个成员称为**参数**，它们的整个集合称为函数的**域**。因此![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的论点是![](img/tex-92963defdbac8bd4a8b7a2cefacc9a9d.gif)和![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)，由这三个数字组成的集合是它的域。
+
+对的第二个成员称为函数的**值**，这些集合称为函数的**范围**。
+
+描述此函数 f 的标准术语是：
+
+参数![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)值为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，参数![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的值为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，参数![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)的值为![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，我们写为![](img/tex-7598cf6233873f0c15ab6026d36da58a.gif)。
+
+我们通常认为函数是一组值的赋值（我们对的第二个成员）到参数（它们的第一个成员）。
+
+对的第一个成员都不同的条件是![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)域中的每个参数在任何函数的范围内被赋予**唯一**值的条件。
+
+**练习 3.1 考虑由![](img/tex-b64bbe7c4bd65aad927c76a6fbd33ab7.gif)和![](img/tex-a36b49fbc28db6fad91897da562336ca.gif)对定义的函数![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)。它的域名是什么？参数![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)中![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的价值是多少？什么是![](img/tex-cbaa8f021b43b22c5795a54ac7135362.gif)？**
+
+如果您将温度计放在嘴里，可以在某个特定时间测量温度。您可以定义一个函数![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)或温度，它将您测量的温度指定为从口中取出温度计的时间。这是一个典型的函数。它的论点是测量时间，其值是温度。
+
+当然，即使你没有测量它，你的嘴也有温度，并且它在每个时刻都有一个，并且有无数个这样的瞬间。
+
+这意味着如果你想描述一个函数![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)，它的值在任何时候都是你当时口中的温度，你就不能真正列出它的所有对。有无数可能的参数![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)，你需要永远列出它们。
+
+相反，**我们使用技巧来描述函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)：**我们通常提供一个规则，允许读者在![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的域中选择你喜欢的任何参数，并且，通过使用规则，计算函数在该参数的值。该规则通常被称为函数的**公式**。符号![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)通常用于表示您将选择的参数，公式告诉您如何计算该参数的函数。
+
+所有的最简单的函数，有时称为**身份函数，**是指定参数本身的值。如果我们将此函数表示为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，则它遵循
+
+![](img/tex-5bdbc9ec39c200cf8107c4ecf9520a63.gif)
+
+对于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)我们选择的任何领域。换句话说，无论您选择哪个成员，它们的成员都是相同的。
+
+我们可以通过提供更复杂的规则来获得更复杂的函数（这些规则通常被称为公式，正如我们已经注意到的那样）。因此，我们可以通过在无限可能性中给出以下任何公式来定义函数：
+
+![](img/tex-88829844398162ddc10569584b35eef9.gif)
+
+这些分别代表![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)乘![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)平方，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)平方减去![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)除以![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)立方，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)除以总和![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的平方，依此类推。
+
+我们可以通过**构造函数，通过加法，减法，乘法和除法的运算，以我们认为适合的任何方式应用![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和数字的副本。**
+
+我们以这种方式构造的函数有两个非常好的特性，第一个适用于所有函数。
+
+我们可以在一张方格纸上，或在电子表格，图表或图形计算器上绘制一个函数的图片，称为**图，**。我们可以通过获取函数的参数 - 值对并通过平面中的点描述每个，_，参数给出的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)坐标和由其对的值给出的 y 坐标。_
+
+当然，绘制具有无限域的函数的所有对是不可能的，但是我们可以通过在我们感兴趣的任何间隔中取得大约 100 个均匀间隔的点来很好地了解其图形的样子。这听起来像是一件不可思议的单调乏味的事情，而且过去常常如此，但现在却不是这样。在电子表格中，主要工作是输入函数**一次**（其参数由其他位置的地址给出）。这就是你需要做的一些复制，通过练习可以在![](img/tex-34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.gif)秒内完成各种各样的函数。
+
+第二个不错的函数是**我们可以在电子表格**上非常容易地输入通过对某个地址**的内容进行加，减，乘，除和执行其他操作而形成的任何函数**或图形计算器。不仅如此，这些设备还具有其他一些我们可以使用的内置函数。
+
+这两个事实意味着我们实际上可以看到通过添加减去身份函数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和其他内置函数的复制或分割副本以及我们想要的任何数字而形成的任何函数，并查看它们的行为方式，非常有限努力。
+
+我们很快就会看到，我们可以使用与图形函数相同的程序来绘制它们的导数（我们还没有定义它们），但这已经超越了故事。你应该意识到，我们只需要少量努力就可以用数字计算大多数函数的导数。
+
+**练习 3.2 ![](img/tex-64cb7d1cc934629ce9d0d8d07536952b.gif)的函数![](img/tex-6521d96200a129b5f9a9d3298d96d83c.gif)的值是多少？争论![](img/tex-d3d9446802a44259755d38e6d163e820.gif)？**
+
+**你能举个例子吗？**
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--- a/docs/18.md
+++ b/docs/18.md
+# 3.2 线性函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section02.html)
+
+基本的基本函数，即微积分所基于的函数，是**线性函数。** 线性函数是一个函数，其图形由整个域中的一条直线段组成。
+
+你可能还记得，这条线是由任何两点决定的，比如![](img/tex-e08008cec1cf50f704efa36720e13cf9.gif)。因此，您可以在其域中选择任何![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和任何![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)，并从两个值![](img/tex-8a17929730159dd1440a93e485de0a45.gif)和![](img/tex-4895f8fcb3242a56118a273c423518a3.gif)中确定该行。
+
+**这种函数的公式是什么？**
+
+我们可以通过以下公式确定在![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)处取值![](img/tex-8a17929730159dd1440a93e485de0a45.gif)的线性函数：
+
+![](img/tex-415b2e74086374f9de36474eca1e17b0.gif)
+
+当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)时，第一项是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)时，第一项是![](img/tex-8a17929730159dd1440a93e485de0a45.gif)，而当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)并且是![](img/tex-4895f8fcb3242a56118a273c423518a3.gif)时，第二项是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)时。因此，当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)时，两者的总和为![](img/tex-8a17929730159dd1440a93e485de0a45.gif)，而![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)时为![](img/tex-4895f8fcb3242a56118a273c423518a3.gif)。它是一个线性函数。 **线性函数的项![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)乘以某个常数，也可以有一个常数项。**
+
+通过将 x 项放在一起，可以获得更方便和暗示的函数形式：
+
+![](img/tex-8281bcd3ce7dc34c78a0308c42ef4567.gif)
+
+此处出现的数字 **![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)** 称为该线的**斜率**。请注意，![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)由![](img/tex-ba7359f159cb8b2e460cb0400173545f.gif)和![](img/tex-118337530070f44bdf9c7cdeb8e35f9a.gif)之间![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的变化与这两个参数之间![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的变化之比给出：
+
+![](img/tex-3714add494980644706ba406b012211b.gif)
+
+如果![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)被绘制，![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)与![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)轴相交的地方就是我们所说的![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。它被称为该系的 **y-截距**，当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif) 时，**的值为![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)。**
+
+这里有一个 mathlet，它允许你改变斜率![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)和 y-截距 c，看看它对一条线做了什么。你应该掌握这个数学小手册，然后从中了解斜率![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)告诉你的关于这条线的信息。使用它，您可以构建自己的示例。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/slope-of-line.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
+
+您实际上可以构建一个可以与此 applet 执行相同操作的电子表格。你这样做是明智的。有关如何通过 [**点击此处确切了解的方向。**](complement01.html)
+
+**我知道这些东西。你为什么要浪费我的时间** **？**
+
+所有这些对你来说听起来都很简单，但是如果你理解了这一点，那么你就可以很好地理解微积分了。认识到微积分包括通过研究它们在任何给定参数附近的直线的斜率来研究函数。这里有一些练习可以帮助你适应这些事情。
+
+**练习：**
+
+**3.3 使用小程序进行游戏，直到您感觉到一条线的斜率的几何意义。然后拿一张纸，在上面画上 x 和 y 轴并在上面放上刻度，让朋友在纸上画一些直线。没有测量，猜测线的斜率。现在测量线条（y 改变![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的变化），看看你的猜测有多好。**
+
+**3.4 线的斜率何为负？什么时候![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)？什么时候![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)？什么时候![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)？如果你对![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)使用相同的比例，那么斜率 10 是什么样的？坡![](img/tex-be9a4c674cc9fffc6ce3be469a07bf1f.gif)怎么样？**
+
+**3.5 按照上面的说明构建一个可以作为 applet 使用的电子表格。尝试使用上一个问题的各种斜率。**
+
+**3.6 构造线性函数![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)，斜率 2 满足![](img/tex-422ea94f4fe57a3a943fd47c68f4d14f.gif);图吧。什么是![](img/tex-cbaa8f021b43b22c5795a54ac7135362.gif)？对于满足![](img/tex-3c1ee0b99bcfa1d7ac5b30594e13f04b.gif)，![](img/tex-4a696280004f05cdc29f32d56c488763.gif)的线性函数![](img/tex-2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)也一样。 ![](img/tex-2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)的斜率是多少？**
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+++ b/docs/19.md
+# 3.3 线性
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter03/section03.html)
+
+线性函数，我们已经看到一个函数，其图形位于一条直线上，可以通过给出该线的斜率和 y 截距来描述。
+
+有一种特殊的线性函数，它具有通常有用的美妙而重要的特性。这些是**线性函数，其![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)截距是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)** （例如![](img/tex-c68ebab7a1e74618506a0a1fabe54186.gif)或![](img/tex-97e2f596ffc9211fecfee155ad18d643.gif)的函数）。这意味着它们的图形正好穿过原点（坐标为![](img/tex-bb9fd77684530503f3765280b54c2413.gif)的点）。这些函数称为**齐次线性函数。** 他们的属性是 _ 他们在两个参数的任意组合中的值与这些参数的值相同。_ 在符号中，这句话是：
+
+![](img/tex-d75b66d7a247aca5855ff93f65590fab.gif)
+
+**普通线性函数有没有这样的属性？**
+
+他们有点做。 **当![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)为![](img/tex-fe6358115cc5f5164b8cfd2ae5f243c5.gif)时，任何线性函数都具有相同的属性。** 因此对于任何线性函数我们都有
+
+**![](img/tex-c22f71d1ad8b22c63db82b5280498281.gif)**
+
+但要注意，不均匀的**线性函数不遵守上面几行所述的一般线性特性。**
+
+**这些条件中的任何一个都允许您在![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)处计算任何![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)值。如果![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)是![](img/tex-816ff9b1c2296a5b60ca54c448315d2d.gif)那么![](img/tex-a2f04f05381d50c6b30a094fdae98b25.gif)是![](img/tex-ca783a61a9bbfdf451fd2a120c0321a4.gif)。**
+
+这些属性意味着一旦您知道两个参数的线性函数的值，您就可以轻松地在其定义的任何位置找到它的值。
+
+这里描述的属性通常被称为线性属性。这并不是一种明智的方式来描述它，因为具有![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)截距而非![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的完美良好的线性函数不服从该属性的更一般版本（上面的第一个）。
+
+无论如何，要意识到非线性函数 **DO** 具有这些属性中的任何一个。
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--- a/docs/2.md
+++ b/docs/2.md
+# 第 0 章：为何学习微积分？
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/contents.html)
+
+## 介绍
+
+本章的目的是诱使你学习一些微积分。
+
+## 话题
+
+[0.1 你应该知道什么](section01.html)
+
+[0.2 什么是微积分？我们为什么要研究它？](section02.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/20.md
+++ b/docs/20.md
+# 第四章：函数的二次型和导数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们描述了用于描述函数的公式的标准结构，回顾了二次函数的性质，并介绍了导数的概念。
+
+## 话题
+
+[4.1 更复杂的函数](section01.html)
+
+[4.2 二次函数的斜率](section02.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/21.md
+++ b/docs/21.md
+# 4.1 更复杂的函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/section01.html)
+
+微分学是通过线性函数近似更复杂的函数。我们现在解决这个问题，我们想要处理哪些更复杂的函数？
+
+我们将讨论的大多数函数都可以由**从三个基本函数开始形成，**和**应用加法，减法，乘法，除法，求逆的操作（比如从广场到平方根）并替换它们的副本。**
+
+我们可以通过使用微积分来定义更多函数，但现在不需要对它们进行研究。
+
+三个基本函数是**身份**函数，**正弦函数**和**指数**函数。目前我们将仅从第一个身份函数开始。
+
+如果我们将身份函数的副本相乘，我们得到它的权力，如![](img/tex-f1f548e5e6ea9417f5d04513af474985.gif)（![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)平方），或![](img/tex-79026e00ce2a068bc49838954e9f1560.gif)，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)立方，依此类推。由正幂乘以常数组成的任何函数称为**单项式。** 如果我们加上或减去有限数量的这些，我们得到所谓的**多项式。**
+
+最简单的多项式是我们已经提到的线性函数。接下来更复杂的是**二次函数;** 这些形式为![](img/tex-72c081edf05762fa949c245c43977439.gif)，其中![](img/tex-51718398f14c2c7248fa166b1c749400.gif)和![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)为数字。立方函数在四次函数中有一个立方项，如![](img/tex-deea7484e13ea51a44c05c4db9d7679a.gif)，如此。
+
+我们可以用比线性函数更多的努力来评估和绘制二次函数。唯一的区别是我们应该在 B6 中添加二次系数，并在 B10 中输入= B $ 6 * A10 * A10 + B $ 2 * A10 + B $ 3（然后将其复制到 B 列中）
+
+例如，试试这个，将![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)放入 B6。在 A10 中输入上述说明后，您必须将其复制到 B11 到 B500，现在您可以通过更改参数来绘制任何二次曲线。
+
+当你这样做时，你会发现一些不错的东西，**所有的二次方看起来或多或少相似，只不过有些是颠倒的。**
+
+也就是说，如果你绘制一个二次方并且不注意图形的比例或者哪个结束了，以及它的峰值或谷值在哪里，你就无法区分它们。除了高点和低点的比例和位置之外，具有给定二次系数符号的二次曲面都是相似的。
+关于正方形的第二个好处是，当![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)是二次方时，我们知道如何求解![](img/tex-05e0989e2e7df837747f2725d97856e1.gif)形式的某些方程。
+
+**那些方程式是什么？**
+
+好吧，我们知道如何解决方程式
+
+![](img/tex-42caf224c6b7b72bd92bc2462f9259b4.gif)意思相同：![](img/tex-8d7ff4c5dd36a8c9f5001554cf18d278.gif)
+
+当 A 是正数时。我们可以解决它们，因为根据定义，解决方案是 **A** 的平方根。
+
+实际上，当![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)为正时，我们将![](img/tex-de9bccc7e5558f84e16f30401ee1bffe.gif)（也写为![](img/tex-fa0e9c1d03906fd29a1039e0a78fd34c.gif)）定义为正方数为![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的正数，该方程的两个解是![](img/tex-de9bccc7e5558f84e16f30401ee1bffe.gif)和![](img/tex-6a08b72ac84d8b7091ec34fbbd207b03.gif)。
+
+通过算术运算，您可以将任何二次方法减少到这种可解决的形式，并解决它，您将获得着名的二次方程式解决方案。
+
+**那是怎么回事？**
+
+可以重写等式![](img/tex-618f4c7b176d64ef0212e65e368f08b2.gif)（当![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)不是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)时，除以![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)）
+
+![](img/tex-3692a7b58d51c44fa7bcb1bf8c7e8e21.gif)
+
+这是一样的
+
+![](img/tex-68bd26a63663697b9653a5981d43daf3.gif)
+
+因此，左手边的平方根在这里是正或负右手边的平方根。
+
+![](img/tex-db05888987d0a3a00a99fb4a42c127c4.gif)
+
+要么
+
+![](img/tex-8bee56406288156b1d33420b7832cbe2.gif)
+
+这是编写标准二次公式的一种特殊方法。
+
+**练习 4.1 找到以下每个方程的两个解：**
+
+**![](img/tex-cef0bbb507ad64d0aa0228ce00e75fcb.gif)**
+
+**![](img/tex-f32f564d86509986c31aa1aa74360482.gif)**
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+++ b/docs/22.md
+# 4.2 二次函数的斜率
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter04/section02.html)
+
+如果您绘制二次曲线图，您会注意到没有直线。另一方面，如果你在显微镜下观察你的图形，你可能会认为它是一条直线。从同样的意义上说，虽然地球是圆的，但当我们走在街上时，它看起来对我们这些可怜的微小生物来说非常平坦。
+
+如果你看某个特定参数的二次函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，称之为![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，并且非常接近![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，那么![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)将看起来像一条直线。 **在参数![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)处类似于![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的[fGG]切线在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)处被称为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)** ，而**这条切线的斜率为 **at ![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)中被称为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数。** 这个斜率通常写成**
+
+![](img/tex-f10ae2e0d96d6922198c9ecd867a859a.gif)
+
+特定参数处函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的切线是线性函数的图形。该函数**在参数![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)中称为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的线性近似。请注意，它与![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的函数不同，并且仅在![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)附近的参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)进行评估时通常接近![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。**
+
+**_ 相同的确切词可以用来定义任何函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数，它看起来像是参数![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)附近的一条直线。 _ ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在论证![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)中的导数，我们写为![](img/tex-4eb8297ca9ae588ac1c730c0794cc6ef.gif)或![](img/tex-0dfe05a63b7aab616196e94e6b4db7fe.gif)，将是该直线的斜率。**
+
+导数和切线 mathlet 允许您输入可以构造到其中的任何函数，并查看其值的图形及其斜率，即它在您选择的任何间隔上的导数。
+
+接下来我们将看到如何找到二次函数的导数，或者给出其公式的任何多项式函数。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/derivative-tangent-line.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
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+++ b/docs/23.md
+# 第 5 章：有理函数和导数的计算
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们描述了导数的第一个巨大属性，并展示它如何允许我们计算任何有理函数的导数。我们还强调需要检查任何此类计算，并通过在电子表格上以数字方式区分来描述如何执行此操作。
+
+## 话题
+
+[5.1 有理函数的导数](section01.html)
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--- a/docs/24.md
+++ b/docs/24.md
+# 5.1 有理函数的导数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter05/section01.html)
+
+以下是有关导数的一些事实。
+
+1.导数有两个**伟大的属性**，如果我们有我们想要区分的函数的公式，它们允许我们找到它们的公式。
+
+2.我们可以计算和绘制各种函数的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)和![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)本身的导数，并且在电子表格上没有太多工作（事实上，找到导数和函数需要做些什么工作只需要完成一次，你可以几乎完全切换函数，就像你只绘制函数一样，并得到两者的图。我们很快就会明确看到这一点。）
+
+**什么是“伟大的财产”？**
+
+我们已经知道**线性函数的导数。** 它的**斜率。** 线性函数是它自己的线性近似。因此![](img/tex-d2f1803b117322e7db18930babfd034c.gif)的导数是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif); ![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的导数是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。导数会杀死常数项，并在任何线性项中将 x 替换为 1。
+
+第一个伟大的属性是：**如果一个参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的公式中出现不止一次**，那么**你可以找到它的导数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)通过分别查看每次事件引起的导数，将其他事件视为仅仅是常数;然后添加所有这些。我们称之为“多重发生规则”。**
+
+例如，考虑二次方![](img/tex-152c1d195c182168e6797f698d5b0197.gif)。参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)在其中出现三次。取一个单一事件的导数，即单独的任何单个![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的导数，将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)改变为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。如果我们分别对每次出现这样做，忽略其他事件，我们会得到三个术语：![](img/tex-f3a01cb1eeb8b2c5954b6b6144e317ff.gif)或![](img/tex-6b24064be10466786542e742eefb4ce6.gif)，这个和是我们的二次方的导数。
+
+请注意，常数项![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)对导数没有影响。
+
+这个属性允许我们直接从多项式本身的公式计算任何多项式的导数的公式，我们很快就会看到。
+
+这个基本规则的一个特例是**取导数是一个线性运算。** 这意味着如果![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)由两个术语组成，您可以通过分别添加每个术语的派生词来找到![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的派生词，在两种情况下计算，就好像另一个术语不存在一样。
+
+该声明可写为：
+
+**![](img/tex-42d4c28393491544ee48fc674b12c37e.gif)**
+
+另一个特例是**两个因子乘积的导数公式。** 如果我们有![](img/tex-033aa06b60f4295072cb1dc9b33560cd.gif)，那么![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的变化和![](img/tex-2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)的变化将对![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的变化做出贡献，这些可以单独计算。结果是声明：
+
+**![](img/tex-5b51aeba504b6294b9ecb3ff211ecfa5.gif)**
+
+被称为**产品规则**用于分化。
+
+作为**产品规则的特殊情况，我们可以推导出** **的导数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的倒数**是什么。 **函数的倒数是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)除以该函数;** 通常写为![](img/tex-c2201dc3dd8a96dc92c75e711478303f.gif)或![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)。
+
+通过![](img/tex-b32d4b1a34b4ca8358cc33d923c8ebc4.gif)的倒数的定义，在![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的整个域中。 ![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的导数是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，它是一个数字，在这里是右手边。我们可以推断出左手边的导数也是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。
+
+根据产品规则，我们得到：![](img/tex-bd7e0af1aa1864b77d57b2e33dd2713a.gif)。
+
+我们可以除以![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)并重新排列告诉我们：
+
+![](img/tex-3f1d32af9b29f1cdac756834e7f0cb12.gif)
+
+我们的第一个伟大的属性实际告诉我们所有我们需要找到任何多项式的导数或任何**有理函数，**我们指的是两个多项式的比率。这些都是我们通过对身份函数应用加法，减法，乘法和除法运算得到的所有函数。
+
+任何正整数幂的导数，例如![](img/tex-b41952e9dfed8e1ed562fddafeca7c70.gif)，是通过注意到![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的每个 n 次出现的导数的贡献是通过用![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)替换该出现来获得的，或换句话说，获得通过这里除以![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)：因子![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的所有![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)的总结果，![](img/tex-b41952e9dfed8e1ed562fddafeca7c70.gif)的导数，然后是![](img/tex-70416e677c91080f26f5a469709c876b.gif)，或者如果您愿意，![](img/tex-778b829130b1fd49ab222c57e43aa511.gif)。 （这个陈述适用于负权力和正面权力，并且对于任何权力都是分数的，实际上是任何权力，我们很快就会看到。）
+
+这个以及用于区分给定导数的导数的和的规则，告诉您如何区分任何多项式。
+
+上面最后一个等式的倒数规则**告诉我们如何区分任何有理函数，**说![](img/tex-82cc0bc4c78050c388d2be3ea2c5905e.gif)其中![](img/tex-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)和![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)是多项式。我们应用产品规则和互惠规则来获得
+
+![](img/tex-b5ca2cd771a9173348f70f3601f588f0.gif)
+
+**练习：**
+
+**5.1 求以下多项式的导数：**
+
+**a。 ![](img/tex-7dbe8ef815c9d5f2b6fefa39ff1d8c89.gif)**
+
+**b。 ![](img/tex-0786382036c9c62dbd8f966190de6fbe.gif)**
+
+**c。 ![](img/tex-43a420fbe9819d9528c8fad3b7fd00c6.gif)**
+
+**d。 ![](img/tex-626516387d30d7e1a307c0b69eaf75ba.gif)**
+
+**e。 ![](img/tex-8508c067661b143e84096b010acde9ca.gif)**
+
+**5.2 找出以下有理函数的导数：**
+
+**a。 ![](img/tex-2792a6d4ba8c1e4ebc44a6a10ba56c02.gif)**
+
+**b。 ![](img/tex-290e491db682535a7c49cb25c1e14868.gif)**
+
+**c。 ![](img/tex-e7494e286aa8b7f0829d009ec63e3910.gif)**
+
+您应该使用这些规则练习找到多项式和有理函数的导数，直到您对它们感到满意为止。事实上，你应该练习，直到你可以区分任何理性函数与![](img/tex-f899139df5e1059396431415e770c6dd.gif)％的准确度。
+
+**但是没有人可以对![](img/tex-f899139df5e1059396431415e770c6dd.gif)％的准确度做任何事情，我当然不能。**
+
+在计算机时代，任何小小的错误都会搞砸一切。学习使用![](img/tex-f899139df5e1059396431415e770c6dd.gif)％准确度做的事情非常重要。这听起来毫无希望，但事实并非如此。并不是说你必须完美地完成所有事情;离得很远。你只需要学会发现你的错误并修复它们。如果您不厌其烦地解决所有问题，您可以通过十几个来制作它们。
+
+你用计算机犯的大多数错误都是如此严重，以至于你可以立即看到你做错了什么，找到并修复它是什么。一些错误是微妙的，你可能会想念他们。获得完美答案的关键是检查你做了什么，看它是否正确，直到它是正确的。
+
+顺便说一句，到目前为止最常见的细微错误包括使用不正确的输入，这意味着，试图解决错误的问题。检查是否已将输入信息正确复制到计算中是绝对必要的。
+
+假设您找到了导数的公式。不要停止使用公式，你应该检查它是否正确。计算机为您提供了一种简单的方法：您可以用数字计算导数，并查看是否得到相同的答案。如果你这样做，你知道你的答案是对的。
+
+如果你没有从公式中得到相同的答案，你必须找到出错的地方。第一次，甚至第七次，你不必是完美的。但最后，如果你正在处理机器，你必须是完美的。
+
+**如何轻松检查我的差异？**
+
+一种方法是将您计算的函数作为导数与 [**派生小程序**](../chapter04/section02.html#DerivativeTangentLine) 找到的导数进行比较，方法是输入您自己的函数。请记住，在这样做时，时间符号是*，指数前面是^所以![](img/tex-8c0fb3b076d9aea142467b34f0f794eb.gif)输入为 x ^ 3。
+
+您还可以使用电子表格检查衍生产品以设置自己的 applet。 [**第 3A 节**](../chapter03/section03.html#SubSection3A) 中描述的用于绘制函数的设置可以增强，不仅可以绘制函数，还可以绘制其数值导数和区分它的答案，没有你花费太多精力。
+
+完成此设置后，您只需在一个地方输入您的函数，在另一个地方输入导数的答案，适当地复制每个部分，然后您可以在图表上查看答案和数字。如果它们相同，那么你的答案是正确的。如果不是，您必须对您的区别和/或电子表格计算进行解决。成为一名专家意味着通过丰富的经验熟练掌握解决方案。
+
+**好的，我怎么设置它？**
+
+有关明确说明，请参阅 [**第 9 章**](../chapter09/contents.html) 。
\ No newline at end of file
--- a/docs/25.md
+++ b/docs/25.md
+# 第 6 章：指数函数，替换和链规则
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter06/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter06/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们介绍了通过替换构造复杂函数的概念，并展示了如何区分这些函数。这样做的方法称为链规则。我们还引入了指数函数，该函数被定义为它自己的导数。
+
+## 话题
+
+[6.1 最有用函数的导数](section01.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/26.md
+++ b/docs/26.md
+# 6.1 最有用函数的导数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter06/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter06/section01.html)
+
+Rational 函数是一个重要且有用的函数类，但还有其他函数。我们实际上通过从身份函数之外的两个附加函数开始获得最有用的函数，并且除了加法减法乘法和除法之外还允许两个以上的操作。
+
+**还有什么额外的启动函数？**
+
+这两个是**指数函数，**我们将暂时写为 **![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)，**和**正弦函数，**通常写为 **![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)。**
+
+**这些是什么？**
+
+我们将花费一些时间和精力来尽快介绍和描述这两个函数及其众多精彩属性。目前，我们关心的只是它们存在，你可以在电子表格和科学计算器上找到它们，我们可以对它们进行算术运算（加法，减法，乘法和除法）。如果你只需要一个提示，正弦函数是角度研究的基本函数，称为三角学。 **指数函数**根据导数定义。 **它是在参数 0 处的值为 1 的函数，它具有与其自身相同的导数。** 我们有
+
+![](img/tex-8e64a386d61c2475b1c264a46ce3edb4.gif)
+
+这个定义可能会使函数起初有点神秘，但你必须承认它可以很容易地区分这个函数。
+
+**这个指数函数有一个重要而有趣的特性：即**
+
+**![](img/tex-fedbd1346dfa0dd06be82845c17c0028.gif)**
+
+_**（证明的想法）作为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的函数，通过以下关于替换导数的陈述，我们可以推断出![](img/tex-9ff086fcf9e0bb6fe2b8b0647aff133a.gif)的导数本身。它在![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)的值是![](img/tex-e5dda012e576d7e9ba0ee36751aff0d8.gif)。该导数与![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)的区别仅在于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)时的值![](img/tex-e5dda012e576d7e9ba0ee36751aff0d8.gif)而不是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。这意味着![](img/tex-9ff086fcf9e0bb6fe2b8b0647aff133a.gif)的导数![](img/tex-9ff086fcf9e0bb6fe2b8b0647aff133a.gif)本身是![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)乘以![](img/tex-e5dda012e576d7e9ba0ee36751aff0d8.gif)。我们忽略了![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)对![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的任何可能依赖性。这样做只意味着我们正在计算所谓的“关于变量 x 的偏导数，保持变量 y 固定”。别担心;当有多个变量时，它是我们处理微积分的方法之一）**_
+
+**![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)的定义属性允许我们推导出它的幂级数表示。 ** ![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)具有常数项![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，并且作为其自身的导数必须具有线性项，其导数是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，即![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。同样，它必须有一个二次项，其导数为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，即![](img/tex-6991d435b13bcc8c68086198653cb2fb.gif)。继续这种演绎永远给了我们
+
+![](img/tex-fcfef47d74bc1152599ceddee19b7a07.gif)
+
+**还有哪些额外的操作？**
+
+我们想要使用的两个新操作是**替换，**和**反转。**
+
+**And what are these?**
+
+如果我们有两个函数，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)和![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)，参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值为![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)和![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)，我们可以构造一个新函数，我们写为![](img/tex-6007107601f6d9e157f0a57b7377ce7b.gif)，由**得到]在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中取![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的值，作为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的参数。**
+
+**![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)** 的值![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)，我们写为![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)，是![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的值![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的值![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的值![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif);它是 **![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)在![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)中的值![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)。** 我们称这个新函数**将![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)替换为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。** 我们将在第 8 章中进行反演。
+
+替换比听起来更简单。假设您在框 A5 中的电子表格中有![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值，并且您在框 B5 中放置= g（A5），在 C5 中放置= f（B5）。那么 C5 将包含![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)。
+
+如果将多项式替换为多项式，则只需得到多项式，如果将有理函数替换为有理函数，则仍然具有有理函数。但如果你把这些东西替换成指数和正弦，你会得到全新的东西（如![](img/tex-9ca412c112e2443f38820261433e96bf.gif)），这是概率论的基本函数。
+
+正如利用指数函数或正弦函数的复制品对电子表格或科学计算器没有任何问题一样，替换也没有真正的问题。我们已经看到你可以在 B10 中创建 g（A10），然后在 C（10）中创建 f（B10）并且在 C10 中创建了替换值 f（g（A10））。你可以通过重复这个过程，构建最可怕的替换组合和可想象的算术运算，甚至比你想象的还要糟糕，只有很少的难度，你也可以找到它们的数值导数。
+
+在我们继续上一次操作之前，我们注意到有一个与替换操作相关的很好的属性。正如我们已经找到上面的公式来找到总和或乘积的导数或者我们知道的导数的函数的比率，我们**根据其成分的导数得到了替代函数的导数的整齐公式。** 实际上它可以是一个简单的公式。
+
+结果通常称为**链规则：**
+
+某些自变量![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的导数![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)与任何其他导数一样，是在函数![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)处与该函数相切的直线的斜率。与所有斜率一样，该斜率是给定函数的变化与其参数变化的比率，在非常接近参数的任何区间![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)。因此，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数是![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的微小变化除以![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的变化。替换将分母改为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中的微小变化。
+
+假设，我们对变量![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)做了一个非常小的变化，非常接近![](img/tex-93bdbda8747c9071819c7039f63dd23f.gif)，这个变化足够小，以至于![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)和![](img/tex-6007107601f6d9e157f0a57b7377ce7b.gif)的线性近似在变化的区间内非常准确。让我们称之为改变![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)。这将引起![](img/tex-1db572dc65251ae33687193aa6eb9c24.gif)的![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)的变化，（因为![](img/tex-6e0ebc7fd61d7d454a12afc39e7447b0.gif)的定义是![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的变化与![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的变化![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)非常接近![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的比率。 ）
+
+如果![](img/tex-6e0ebc7fd61d7d454a12afc39e7447b0.gif)为 0，那么当![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)取决于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)时，g 不会改变，![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)也不会改变，因为它的参数![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)取决于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。 （如果 f 对![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)具有其他依赖性，那么从其他依赖性对其导数的贡献会增加来自![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)变化的贡献，并且在这里无关紧要。）
+
+如果![](img/tex-6e0ebc7fd61d7d454a12afc39e7447b0.gif)不是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，我们可以将![](img/tex-2f7e54fe9de9db73067f562bc22d6eae.gif)定义为![](img/tex-8d59e008cf64a02489320087a2a90c7a.gif)，并使用![](img/tex-17aa20a885a267996bffe03ac0f92a2e.gif)中的参数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的变化由![](img/tex-17aa20a885a267996bffe03ac0f92a2e.gif)给出的事实
+
+![](img/tex-db9b34458d156ade62426cd78916a2c2.gif)，其中![](img/tex-be29645cc0ac5de5330de75d4c148722.gif)在![](img/tex-17aa20a885a267996bffe03ac0f92a2e.gif)评估，![](img/tex-8d59e008cf64a02489320087a2a90c7a.gif)在![](img/tex-85a4558d67069da4510e91c67502e754.gif)评估。
+
+根据这一说法，链条规则可以读取
+
+**![](img/tex-590045a7dd80def1b0a4d88a9b7546e4.gif)**
+
+换句话说，这意味着取代函数的**导数值![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)，相对于变量![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是组成函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)和![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)的导数的乘积，取自相关论点：![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)本身为![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)，![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。**
+
+**一些例子怎么样？**
+
+我们将给出两个例子，但你应该为自己制定至少十几个例子。
+
+**例 1：假设我们将具有![](img/tex-fa3c72b7a8b9035a1fd336bf06598c8a.gif)给出的值的函数![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)替换为取值![](img/tex-48ae4b6205a0c1a1c16f409276f9054b.gif)的函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。**
+
+替代函数![](img/tex-6007107601f6d9e157f0a57b7377ce7b.gif)具有值![](img/tex-eebe8dcaf0384a3b89d0841f7147e407.gif)。
+让我们计算这个函数的导数。 ![](img/tex-517921f924a219ec0ec90920a4a9b906.gif)相对于![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)的导数是 **![](img/tex-80a33d0a95c835d75e30290cbd860280.gif)，**，![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)相对于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的导数是 **![](img/tex-2204c2b4d60ae2fd5279ec54cfaed2a4.gif)。** 
+如果我们设置![](img/tex-a954b745cec68fc9ef4316630ad09bf2.gif) ![](img/tex-aafd729edf0546e8240ba05621587e46.gif)，并取这两个产品，我们得到：
+
+![](img/tex-1055a9785658922d97da1d58bafce12b.gif)
+
+你可以在这里将多维数据集相乘，然后进行区分以获得相同的结果，但这样做会更加混乱，并且大多数人在执行此操作时至少会犯一个错误。如果按照连锁规则进行，那么即使是第一次，你也有可能把这些事情做好。 （不幸的是，如果你正确地执行它，你将无法从中进行任何练习调试。）
+
+**例 2：找到函数![](img/tex-5d2c1b6b7fe25b90b95c0f75474296b7.gif)的导数。**
+
+这是通过将函数![](img/tex-7a8f8b10b478e9afddcd5335bb1b9408.gif)代入指数函数而获得的函数。
+函数![](img/tex-7a8f8b10b478e9afddcd5335bb1b9408.gif)的导数是函数![](img/tex-d25c186e3f3096a9ff4a918f7b3141d4.gif);指数函数是它自己的导数。
+在应用链规则时，我们发现：![](img/tex-5d2c1b6b7fe25b90b95c0f75474296b7.gif)的导数是![](img/tex-1ba50a319c7558ea0e714e8b3c39e948.gif)，后一因子是在![](img/tex-7a8f8b10b478e9afddcd5335bb1b9408.gif)评估的指数函数的导数。
+
+**练习：**
+
+**6.1 写下![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)代入![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的结果的表达式，形成下列函数对的![](img/tex-6007107601f6d9e157f0a57b7377ce7b.gif)，并使用链规则找到它们的导数的表达式。**
+
+**a。由![](img/tex-b70e843ae40d4fcec8f4d46e852a7ea7.gif)定义的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，由![](img/tex-802c73acf82a6fc97a3ba428d21f1d58.gif)定义的![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)。**
+
+**b。 ![](img/tex-e5ca7a8a457846f1539568858f2bac4e.gif)由![](img/tex-e5ca7a8a457846f1539568858f2bac4e.gif)定义，![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)由![](img/tex-8474fe2d37bad9c412268e52b1eafecd.gif)定义。**
+
+**c。 ![](img/tex-d2befe341c356527cf3652272b061759.gif)由![](img/tex-d2befe341c356527cf3652272b061759.gif)定义，![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)由![](img/tex-ba7eb4feb4830e2a626e81c9ca72124e.gif)定义。**
+
+**6\. 2 使用[衍生小程序](../chapter04/section02.html#DerivativeTangentLine)检查每个结果。**
+
+**6.3**
+
+**a。考虑公式![](img/tex-08820ca96d4adb80a79f0d27c11d5b27.gif)定义的函数。使用小程序绘制它并查看其导数。它的最小值在哪里，它是什么？它在最小点的导数是什么？从 applet 估计这些东西。**
+
+**b。找到![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的最大点和该参数的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的值近似为![](img/tex-69cd0bb1724f3d601320ff7b9fb07fd6.gif)，**定义的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
+
+**c。如果函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在从![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的区间内是可微分的并且在![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)之间的![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)点处具有最小值，那么它在![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)处的导数是什么？**
+
+**6.4 使用链规则显示：![](img/tex-3d5e3ff528330b9aa833cd4d9ae6222b.gif)。**
+
+**好的，我现在在哪里？**
+
+此时，您可以使用规则来区分使用算术运算和以身份函数（![](img/tex-5bdbc9ec39c200cf8107c4ecf9520a63.gif)开头）或神秘指数函数![](img/tex-d2befe341c356527cf3652272b061759.gif)开头的替换所能完成的所有函数。
+**在下一节中，我们将扩展内容，以便您可以从正弦函数![](img/tex-a5157f8b42300b7c7825d49840783b71.gif)开始，并区分您可以创建的任何内容。最后，我们将扩展规则以区分反函数。**
+
+**这![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)是什么？**
+
+数字![](img/tex-fb7f819c1b61921ec9db896f041dfa53.gif)称为![](img/tex-e1671797c52e15f763380b45e841ec32.gif)。性质：![](img/tex-66578e411985800f5dcf61417f08d21b.gif)暗示![](img/tex-a48d214a97f68c23810a5bed61a21021.gif)是![](img/tex-83d06d7c4b3528b76096ddf391db9b35.gif)，因为![](img/tex-a48d214a97f68c23810a5bed61a21021.gif)是![](img/tex-fb7f819c1b61921ec9db896f041dfa53.gif) ![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)倍的产物。当![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)不是整数时，我们还没有定义![](img/tex-b38fd82fe554f9d0c0d826b84c6d23ae.gif)。当我们确定它时，我们会发现![](img/tex-129bc753f57cd83e62b01c65567d3da9.gif)对于所有实数或复数![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)都是![](img/tex-a6303e2ca49f70fa9e65808a0d2d5626.gif)。实际上，我们将明确定义![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的合理值，并显示它是![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)和**然后将![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)定义为无理值为![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)。**
+
+**什么是![](img/tex-e1671797c52e15f763380b45e841ec32.gif)？**
+
+回答这个问题的一个简单方法是将![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)写为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的幂和乘以适当的系数，然后设置![](img/tex-d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689.gif)。我们可以通过要求其导数是前一项来计算总和中每个幂的系数。
+
+因此，根据定义，我们知道![](img/tex-68bbf3427ce7b90c8fbfdadac19ae1df.gif)，总和中的常数项是 1.对于![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)是它自己的导数，它必须包含其导数是这个常数项的东西，![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。导数为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的术语是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif);导数为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的术语是![](img/tex-6991d435b13bcc8c68086198653cb2fb.gif);其导数为![](img/tex-6991d435b13bcc8c68086198653cb2fb.gif)的术语是![](img/tex-ace83d0a4358b630d352db558bb9905d.gif)，其中![](img/tex-388f554901ba5d77339eec8b26beebea.gif)是![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)乘以![](img/tex-e284a61c63332f2790cb83f8f11ec36a.gif)。而![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)总和中的一般术语是![](img/tex-4b6d309d2424830dce1d2db6054605f7.gif)。 （我们已经证明了这一点，但我非常喜欢它，我正在重复它。）
+
+这告诉我们![](img/tex-e1671797c52e15f763380b45e841ec32.gif)是![](img/tex-833723ef4528faeeb21273bc1796d5eb.gif)
+
+**练习 6.5 使用电子表格**对本系列的前 18 个术语求和。
+
+我得到![](img/tex-8374b96cd02641c2a2cdd087b005e641.gif)的数字![](img/tex-e1671797c52e15f763380b45e841ec32.gif)。事实证明，![](img/tex-e1671797c52e15f763380b45e841ec32.gif)不是理性的，甚至不是多项式方程的解。这些数字被称为**超验。**
+
+**当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)不是整数时，如何定义![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)？**
+
+**当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)合理时，说![](img/tex-d049603d2ecab82f77394e4fa3814b12.gif)，![](img/tex-ff2d26be6b0b506663911208302f91b3.gif)是![](img/tex-83d06d7c4b3528b76096ddf391db9b35.gif)的![](img/tex-bfcec5037b487046bd1c188eb244aaef.gif)根。否则它由上面证明的无穷大功率系列定义：**
+
+**![](img/tex-f7d4b808a6aaa93493e5e199ba7b9f61.gif)**
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--- a/docs/27.md
+++ b/docs/27.md
+# 第 7 章：三角函数及其导数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们首先简要回顾一下平面几何。然后我们介绍正弦函数，然后是线段矢量的概念和奇妙的事物向量告诉我们。最后，我们回顾三角函数找到三角函数的导数。
+本章回顾了平面几何三角学等所有您应该了解的内容。我相信你之前已经看过它的前半部分，所以你可以通过它。
+从 7.1b 开始，您可能会发现值得了解的新信息。与微积分有关的是关于三角函数导数的最后一节。
+
+## 话题
+
+[7.1 二维数学](section01.html)
+
+*   [平面几何回顾](section01.html)
+
+*   [正弦函数](section01.html#sine)
+
+*   [线段矢量，点和交叉积](section01.html#vectors)
+
+[7.2 三角学和导数以及加法定理](section02.html)
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--- a/docs/28.md
+++ b/docs/28.md
--- a/docs/3.md
+++ b/docs/3.md
+# 0.1 你应该知道什么
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/section01.html)
+
+要研究微积分，你必须能够呼吸。如果没有这种能力，你很快就会死，而且无法继续。
+除此之外，您还需要熟悉两个概念：数字的概念和函数的概念。
+
+**假设我忘记了所有关于数字和函数的知识？**
+别担心。我们将复习他们的财产。
+
+**如果我知道有关数字和函数的一切知识吗？**
+然后你已经理解了微积分，不需要继续。
+
+在提醒自己数字和函数之前，您可能会问以下问题。
+
+**什么是微积分？**
+**我为什么要了解它？**
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--- a/docs/30.md
+++ b/docs/30.md
+# 7.2 三角学和导数以及加法定理
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section02.html)
+
+**简介**
+
+在 7.1 中，我们引入了大量的三角函数而没有实际提及它。
+
+对于真正有趣的主题，三角函数是一个冗长而令人讨厌的名称。 **Trigon** 是三角形的奇特名称;类似于八角形或五边形，Metry 指的是测量。因此，三角学意味着要么测量三角形，要么使用三角形测量其他东西，我不确定哪个;也许两者。
+
+我们将描述剩余的重要三角函数结果。三角学的一个谜团是：为什么右三角形中六个边长比率中的每一个都有自己的特殊名称？为什么例如![](img/tex-00be57a1b0c6b690ec6e517043ea3151.gif)有自己的名字？当我在学校研究三角学时，（在史前时期），我们面对所有六个名字，并进行了测验，并期望记住哪个没有任何线索的意思。这让我们许多人失去了三角学。
+
+![](img/48bb7f3f03213d5c823dac4a8e3a22c2.jpg)
+
+假设我们的角度![](img/tex-61a74be60d291cc4678ab46cc1cdaf91.gif)，如图所示位于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴和线![](img/tex-0240f4008ea7945e578af97e36bce6ef.gif)之间。古人画了一条线段，它将**从点![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)切线到单位圆延伸到点![](img/tex-0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴。这段的长度称为角度![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)的正切**。 （当线具有正斜率时，切线被认为是负的。）切线是拉丁词，意思是“触摸”，这就是这条线对圆圈的作用，点![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)。
+
+**切线与![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴相交的点![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)坐标称为![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)** 的割线（我们假设原点位于单位的中心）正确的是一个拉丁词，意思是“切割”，这就是这条线对圆圈的作用。
+
+他们还将**定义为小于直角的角度的补码，使其成为直角与它之间的差值。** 这使得他们将**的余弦，余切和余割定义为原始角度的补数的正弦，正切和正割。**
+
+对我们来说幸运的是，所有这六个函数都很容易与正弦函数相关，这意味着我们只需要真正熟悉正弦函数，然后我们就可以弄清楚其他函数是什么。
+
+以下是这些函数之间的关系，所有这些函数都来自**相似三角形的相应角度相等的事实的定义。**
+
+根据定义， **![](img/tex-9ef5a4beedb5a8e632990a9dadccda30.gif)** 是 **![](img/tex-335c6a21a8752ac36eaf695588698ecc.gif)。**
+
+**从斜边是![](img/tex-ecc5a7389202334f21d7dfeb27956065.gif)的三角形![](img/tex-8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.gif)和![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)不相反的一侧是![](img/tex-4efb95c106bd083f57a6b473793b3f04.gif)，得到**
+
+**![](img/tex-4d463c552965608842016f0948b009c5.gif)**
+
+意思是
+
+**![](img/tex-0fabbbd84d402820060235650590763c.gif)**
+
+**补充版本是：**
+
+**![](img/tex-83874355a35e57fe892999d2ca87e280.gif)**
+
+从三角形![](img/tex-0aa1f1ad9b52df576d1f168ed93282f3.gif)
+
+我们同样得到
+
+**![](img/tex-496ff49af782dd3887b59b36671f9de7.gif)**
+
+which means
+
+**![](img/tex-ebef5d1f823f342f30d4b3f2a4261936.gif)**
+
+补充版本是
+
+**![](img/tex-efdc20b2b25c97ef6b0b7f64052ab3c9.gif)**
+
+所以这一切都解释了为什么右三角形的每个边长比例都有自己的名称。
+
+我非常喜欢这张照片，这里再次作为一个数学小说。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="760" src="../mathlets/trigonometric-functions.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
+
+**练习：**
+
+**7.21。自己画一张这张照片，而不是看这个，一个小于![](img/tex-4dac25bca00f0be7f027fca9a002d0ad.gif)的角度![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)显示所有这些实体。**
+
+**7.22。你看到多少个相似的三角形？请记住，除了直角三角形中的直角之外的两个角度是互补的。**
+
+**7.23。如果你在三角形![](img/tex-ebac57cbcc1da5ae9535b381304ac35c.gif)中使用正弦的定义，你会得到什么奇怪的关系？**
+
+在上一节中，我们已经讨论过你应该知道的三角函数的三个基本定理。还有三角函数的有用“加法定理”，它描述了参数和的正弦和余弦。我们还描述了正弦和余弦的导数，以及它们与指数的关系。
+
+**三角学的基本定理是什么？**
+
+**1.毕达哥拉斯定理**：这个着名的结果表明**直角三角形的斜边的平方是其他两边的平方和。** 翻译成我们的定义它说，无论任何角度，我们都有
+
+![](img/tex-5e14c1cdacef6146e43524fe2817e04b.gif)
+
+这意味着，我们有有符号
+
+![](img/tex-45c4abe71761d9489dc281169de60a67.gif)
+
+2\. **正弦定律**：这表明在任何三角形![](img/tex-902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.gif)中，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)处的角度与![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)处的角度之比是边长的比率与![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)相反的一侧![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)。如果我们将这些长度分别描述为![](img/tex-43d3f31fdb61fef6eb9693d8f2e2a4a0.gif)和![](img/tex-2c1185fa81d9de2395901f6a55ecc107.gif)，我们就有了
+
+![](img/tex-df2af41957e6a354ed73579197dda8a4.gif)
+
+我们在 7.1C 节证明了这一点
+
+3\. **余弦定律**：该陈述根据![](img/tex-b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.gif)和![](img/tex-4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.gif)的长度及其在![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)处的角度给出三角形边![](img/tex-f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.gif)的长度。
+
+**![](img/tex-e61aa918edfbd95d11620930cd060855.gif)**
+
+也在 7.1C 中得到证实
+
+**正弦和余弦的导数**
+
+考虑单位圆上的点![](img/tex-44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.gif)，该圆以点![](img/tex-0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)为中心。设![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)为从线段![](img/tex-b78cc6909042016daaa04d83bac97e90.gif)到![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴顺时针的角度。
+
+然后我们有![](img/tex-03e9d588acff06de769e9d810c61c133.gif)和![](img/tex-b55629494924ce4943367eb12cd3fb68.gif)。我们知道![](img/tex-ffcd5dcba905edb2a823941885cb24bc.gif)对于单位圆上的任何![](img/tex-44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.gif)都是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，因为这是![](img/tex-ae18f520703656d100ae9049e756abff.gif)对于![](img/tex-44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.gif)的![](img/tex-ae18f520703656d100ae9049e756abff.gif)是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的陈述，这是单位圆的定义。
+
+这意味着当我们在单位圆周围移动时，![](img/tex-ffcd5dcba905edb2a823941885cb24bc.gif)的导数是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。这告诉我们
+
+![](img/tex-449bfb24a51e0cd33d84cf124f507d72.gif)
+
+这意味着具有组分![](img/tex-9ef5a4beedb5a8e632990a9dadccda30.gif)和![](img/tex-a6c1c66d77faac81541d49d3bba6b93e.gif)的载体具有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)点积，其载体的成分是它们相应的导数。
+
+幸运的是，很容易找到具有给定的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)点积的二维中的所有向量：反转组件，改变其中一个符号，并乘以任何常数![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。因此![](img/tex-2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.gif)（写入![](img/tex-a2ce4da5726332d6f894194def59be45.gif)的较短方式）具有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)点积。
+
+这告诉我们![](img/tex-a95012d806be973346ebd8d4bdb4fc81.gif)和![](img/tex-629f14a586df7bc611abf495a8e6899c.gif)，对于某些常数![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。
+
+我们可以通过在![](img/tex-7bc661a80c761d3325a18363117f4657.gif)的点检查这些陈述来确定常数![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。
+
+如果我们的角度是以弧度为单位测量的，我们观察到在单位圆上，从角度![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)移动距离![](img/tex-04f2d0c9d8a349b628f6ca11b3fbf3f4.gif)会将正弦从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)变为几乎![](img/tex-4fc36a43689be4bac905a111742fbac4.gif)。因此，上面的常数![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)在角度![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)处是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，并且是常数，总是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+我们总结![](img/tex-6ec3ef8c129360cafb2553752210b451.gif)。 （后者的关系实际上来自前者，因为![](img/tex-9ef5a4beedb5a8e632990a9dadccda30.gif)是![](img/tex-0ce548ed6420835aee3edded67b718d6.gif)。
+
+**练习 7.25：从这些事实中推断割线的导数和切线。**
+
+**为什么不告诉我们答案？**
+
+**如果我们这样做，你将无法记住它们。如果你自己弄明白，你会忘记它们。**
+
+通过查看组合![](img/tex-87d37639e5405ab58200e423a5eec7da.gif)得到一个有趣的结果。 （![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)这里是![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)的平方根。）请注意，它的导数是![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)次。它在![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)的价值是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。我们知道这意味着什么。衍生自![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)倍的函数，其![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)的值为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，是![](img/tex-2c3896410f01b9b44d235763e72f39aa.gif)。
+
+因此我们找到：![](img/tex-23759a606b6aa6b3bfa400c60fb2f54d.gif)。
+
+通常我们可以将任何函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)分成奇数部分和偶数部分;偶数部分是![](img/tex-21247109ff97613873020a42db49cce0.gif)，奇数部分是![](img/tex-fb71d40883cd91c59c78d78dccf5d126.gif)。两部分的总和是![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)。
+
+由于![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)是偶数且![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)是奇数，我们可以将![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)识别为![](img/tex-e47e7f95fb832399707222053e5e23d8.gif)的偶数部分，并将![](img/tex-f251480c9fe4c8715cd98b949b6833c7.gif)识别为奇数部分。
+
+正式表达是
+
+**![](img/tex-a2c99125f358dacaecd8f8e765882be5.gif)**
+
+和
+
+**![](img/tex-1a7915ed1323679af340e9faf99bd1f0.gif)**
+
+**正弦和余弦的电源系列扩展**
+
+我们已经看到![](img/tex-5bbb3e1a8fe02d91c70aa7ce860cffbc.gif)是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。由于正弦的导数是余弦，![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)，当写为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的幂之和时，必须在该导数中有一个项，其导数为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。这必须是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，因此![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)的幂级数扩展的第一项是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。余弦具有导数![](img/tex-7abed5eafabc365c704e4189663f0867.gif)，因此它必须在其幂级数展开中有一个项，其导数为![](img/tex-d25c186e3f3096a9ff4a918f7b3141d4.gif)，该项必须为![](img/tex-9ac001dd74151f1683c749a8fc75ce6f.gif)。 ![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)同样必须有一个术语，其导数是![](img/tex-090ea2f6e90dc473211bfba3b16387e4.gif);这迫使余弦系列中的一个术语为![](img/tex-1fc943c77851ab30094f8dfcd392f799.gif)等。
+
+**那我们得到了什么？**
+
+正弦有所有奇数力量的贡献，它们的符号交替出现：
+
+**![](img/tex-f3f583f53d480551a4beb0d57ed06697.gif)**
+
+而余弦同样具有来自偶数幂的交替符号项：
+
+**![](img/tex-6b100081714be317af2638a62750cc17.gif)**
+
+顺便说一句，![](img/tex-459296b2f64630c96a76eac9a70343b7.gif)和![](img/tex-4ce329f2b1214adc7ee087f3fde40f46.gif)是![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)的偶数和奇数部分。它们的幂级数扩展类似于余弦和正弦的扩展，除了所有项都是正的。
+
+所有三角函数都有幂级数表达式，但如果你想这样做，你可以自己解决它们，从它们的关系到正弦和角度的余弦
+
+**加法定理**
+
+**什么是加法定理？**
+
+我们已经注意到，以度或弧度表示的角度的标准度量是相加的：这两个角度之和的度量是每个求和的相同度量的总和。这种说法不适用于正弦或余弦。两个角度之和的正弦值是**而不是**它们的正弦之和。加法定理告诉我们如何根据求和的两个角的正弦和余弦来计算两个角之和的正弦和余弦。
+
+找到或证明正弦和余弦的加法定理的最简单方法是使用它们与指数的关系。我们已经知道指数的加法定理：
+
+**![](img/tex-48c91b1977cd58c77142e8508e0adbea.gif)**
+
+由于![](img/tex-e47e7f95fb832399707222053e5e23d8.gif)是![](img/tex-f3a1c937fb7edbabe1d211f809a1c787.gif)，我们发现![](img/tex-86fe10a4cf81f959f1b80267c371fd22.gif)是
+
+![](img/tex-93e90429f765489a1567121e6e1b3b0b.gif)
+
+是的
+
+**![](img/tex-77e57ed9400d2dbafafdba9950b667a6.gif)**
+
+**最后一个表达式的实部是![](img/tex-9ad36817cfebf4adbe0ff9242f8de709.gif)，虚部是![](img/tex-2b193c21976478162e25107ff9d6d603.gif)，这些是我们的加法定理。**
+
+仓促：
+
+![](img/tex-8a6a9024731ec499fec471ba72af4644.gif)
+
+从 7.2 节顶部图片中的三角形![](img/tex-c5878c0c0199e57e3e999f7dc4add33f.gif)，我们发现最后一个是![](img/tex-16eb62d7b09f3e61d4148a22726a6e6d.gif)。
+
+![](img/tex-655db1245371180c1c75e26c9f47b503.gif)
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+# 第 9 章：数值微分和不可微函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们将讨论如何在不费力的情况下以高精度在数字上区分函数。一次设置可以允许你这样做任何你可以输入的函数，并进行一些复制。然后我们指出如何估计你的函数的导数，比如百分并在电子表格上绘制它，以及测试估算的准确性。
+
+## 话题
+
+[9.1 数值微分](section01.html)
+
+[9.2 绘制导数](section02.html)
+
+[9.3 不可微函数](section03.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/32.md
+++ b/docs/32.md
+# 9.1 数值微分
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section01.html)
+
+**我们怎样才能找到函数导数的良好近似值？**
+
+显而易见的方法是选择一个非常小的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)并计算![](img/tex-2bb0afd3b854e8352d822d54f33e7045.gif)，这看起来像导数的定义。实际上，这不是一个好主意。
+
+**为什么？**
+
+问题是你的计算方法不是无限准确的，特别是如果![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)或![](img/tex-726145810239dbe0ca04fafea544cdb5.gif)是无理数。这意味着您的评估中有时会出现小错误。当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)很小时，![](img/tex-726145810239dbe0ca04fafea544cdb5.gif)和![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)会因![](img/tex-72d211505e22e1a9531790f831d9ea07.gif)之类的不同而相互不同，但是你的计算误差将大致独立于![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。因此，当您使![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)变小时，您的错误与![](img/tex-72d211505e22e1a9531790f831d9ea07.gif)的比率会增加。将结果除以非常小的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)与将其乘以非常大的![](img/tex-b6356fb53de56db03a7a1a7170b8042a.gif)相同，并且放大了误差。当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)变得小于计算误差的大小时，你得到的导数估计将主要是计算错误，并且很少会告诉你![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)。以这种方式出现的错误通常称为舍入错误。
+
+这样做的结果是你真的想只使用相对较大的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)值来计算导数。
+
+**这可能吗？**
+
+答案是肯定的！这样做很有趣。
+
+**怎么样？**
+
+这是基本思想：假设你的函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)不仅是可微分的，而且它的导数在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中也是可微分的，它的导数也是如此。
+
+如果是这样，![](img/tex-726145810239dbe0ca04fafea544cdb5.gif)的值可以用幂级数来描述，
+
+![](img/tex-9002ef80f5795e5961ed3bce2b8054b1.gif)
+
+（此处![](img/tex-d0103fd50d0f096a7e81669c558d56fd.gif)表示在![](img/tex-321336154f04c722188745f47fc75075.gif)评估的![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的![](img/tex-d6c87401ed2f8589600d6db807438139.gif)导数。）为了证明这一点，计算![](img/tex-7508699004dbe407175c6b5a7fff4da2.gif) ![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)和二阶导数等两侧的导数。
+
+我们想要![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)，所以我们想摆脱![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)和右边的其他条款。
+
+如果我们形成![](img/tex-2bb0afd3b854e8352d822d54f33e7045.gif)，我们将获得![](img/tex-b37f3524738031026b59e30eb20730c6.gif)并且![](img/tex-6fc826f1b673ff7b3b4440def3bae846.gif)的误差项与![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)成比例。
+
+另一方面，如果我们改为形成 **![](img/tex-9009ade516175b08818764cf88093434.gif)** ，那么具有![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)偶数幂的上述系列中的所有项都会消失，我们得到![](img/tex-3a8e5c60a5013925aaf387026b37817c.gif)此表达式中的误差项与![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)。
+
+这已经比明显的估计有了很大的改进。这里误差减少为![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)而不是![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)减少![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。奇妙的是，我们可以做得更好，通过消除![](img/tex-68e66c8dc6112bf24c5e9b3a4dae44f2.gif)术语，然后![](img/tex-816984cd31bcf12c8c16b6de7355c51f.gif)术语，依此类推，就我们想要的而言。
+
+我们怎么做？
+
+那么，您可以将![](img/tex-9009ade516175b08818764cf88093434.gif)的评估与![](img/tex-fd0da61c20f96bbd39a2bca14ef584ae.gif)中的一个结合起来。其中第二个在功率系列中具有相同的![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)项，但![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)项![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)项更多。因此，如果我们形成![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)乘以其中的第一个并减去第二个，我们将最终得到三次![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)，根本没有![](img/tex-826493fbe319671d8dd2aa6711227414.gif)术语，并且只有![](img/tex-c4bf864f400738965e81bde260d2e351.gif)和更高阶的修正项。
+
+因此，如果我们将![](img/tex-c8f366ff6eada783e505a13b53b5464b.gif)定义为 **![](img/tex-9009ade516175b08818764cf88093434.gif)，**，组合![](img/tex-0f755a1b29aa9b32c85b2f3ddde7138b.gif)将产生![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)加上来自原始扩展中的第五个导数项而不是第三个的错误，并且该错误在我们的计算中，术语与 d &lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; 成正比（加上与![](img/tex-53a4ecd66b180cb26b926f4aed0aea50.gif)，![](img/tex-e4a5ec6c55c842507493a8bcd8b8bdca.gif)等成比例的术语）。
+
+调用此组合![](img/tex-6212af4cba59bc06ba8d8f61108bd057.gif);那么类似地，![](img/tex-2b5d98aa049f36f52e43355bd8d6a277.gif)（称为![](img/tex-10b5acde7536404f30f8f32cb5bc1b8c.gif)）将产生![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)加上来自七阶导数的误差，并且与![](img/tex-53a4ecd66b180cb26b926f4aed0aea50.gif)成比例。并且你可以继续形成![](img/tex-f718499c1c8cef6730f9fd03c8125cab.gif)次![](img/tex-f718499c1c8cef6730f9fd03c8125cab.gif)减去它的两倍![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的值除以![](img/tex-fe131d7f5a6b38b23cc967316c13dae2.gif)得到一个表达式，其误差将与![](img/tex-e4a5ec6c55c842507493a8bcd8b8bdca.gif)成比例。
+
+这意味着将![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)除以![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)会将最后一次估计![](img/tex-10b5acde7536404f30f8f32cb5bc1b8c.gif)中的误差减少![](img/tex-b6e88755e42c2c1e895de7cb3bb09cf6.gif)因子![](img/tex-f718499c1c8cef6730f9fd03c8125cab.gif)。
+
+**这看起来像一团糟。**
+
+但事实并非如此。在电子表格上完成所有这些操作非常容易，你可以看到上面每个估计会发生什么，你可以连续减少![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)因子![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，你可以写下任何函数，以及任何参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。
+
+不仅如此，您可以通过仅更改一个条目来更改参数，并通过仅更改一个条目并进行一些复制来更改该函数。
+
+**好的，怎么样？**
+
+我们将使用函数![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)将其设置为特定的
+
+**预赛：**
+
+_1.在 A1_ 中计算![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)
+
+_2.将您的函数名称放在 A2_ 中
+
+_3.将 dstart 放入 A3 并将![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的起始值放入 B3（我将![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)放入 B3 中）_
+
+_4.将字母![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)放入 A4，将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值放入 B4（我也放![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)）_
+
+_5.在第 5 行标记列如下：在 A5 放![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，在 B5 ![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，在 C5 ![](img/tex-7d5cd259d1da475d6c237b605d136688.gif)，在 D5 ![](img/tex-e5b3d149f4f550ed10c2a114e4676aee.gif)，在 E5 ![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)，F5 ![](img/tex-726145810239dbe0ca04fafea544cdb5.gif)，G5 ![](img/tex-ff51648d9e37614c7d6c44672e466b8c.gif)，H5 ![](img/tex-c8f366ff6eada783e505a13b53b5464b.gif)，在 I5 ![](img/tex-6212af4cba59bc06ba8d8f61108bd057.gif)中，在 J5 ![](img/tex-10b5acde7536404f30f8f32cb5bc1b8c.gif)_ 中
+
+_**设置**_
+
+_ 现在在 A6 中输入= B3，在 B6 中输入= B $ 4，在 C5 中输入= A6 + B6，在 D6 = B6-A6 中，在 E6 中输入= f（B6）。例如= tan（B6）_
+
+_ 然后将 E6 复制到 F6 和 G6。在 H6 中输入=（A6-G6）/ 2 / A6_
+
+_ 将 B6 到 H6 从列中复制到第 50 行 _
+
+_ 现在输入 A7 = A6 / 2 并将 A7 复制到第 50 行。在 I7 中输入=（4 * H7-H6）/ 3 并将 I7 复制到第 50 行 _
+
+_ 最后在 J8 中输入=（16 * I8-I7）/ 15 并将 J8 复制到第 50 行。_
+
+_ 这是什么？_
+
+A 列将包含计算中使用的差异 d。它将从![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)除以从一行到下一行。 B 列包含![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值，您可以在其中找到导数，C 和 D 包含![](img/tex-7d5cd259d1da475d6c237b605d136688.gif)和![](img/tex-e5b3d149f4f550ed10c2a114e4676aee.gif)。 E 含有![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)，F 和 G 含有![](img/tex-726145810239dbe0ca04fafea544cdb5.gif)和![](img/tex-ff51648d9e37614c7d6c44672e466b8c.gif)。 H 包含估计值![](img/tex-9009ade516175b08818764cf88093434.gif)，第 I 列包含通过采用 H 估计值的四倍可得到的改善，减去![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)替换的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的相似估计值，并将该差值除以![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)。 J 包含通过类似地从![](img/tex-c74d97b01eae257e44aa9d5bade97baf.gif)乘以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)估计值中除去 I 中的![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)估计值并除以![](img/tex-9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.gif)而获得的改善。
+
+**以下是![](img/tex-d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689.gif)的![](img/tex-f6c74d0b6f32e372736f53c0f6d91cc1.gif)函数的结果。**
+
+&lt;button aria-controls="derivative-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#derivative-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/derivative.xlsx)
+
+Number of rows<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-rows-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+请注意，当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)在![](img/tex-d89d1f740e72bc0a3a4229674185552c.gif)附近时，E 列对![](img/tex-45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.gif)的位置是准确的。
+
+要更改![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，您只需要在 B4 中输入所需的值。要更改函数，请在 E6 中使用变量 B6 输入新函数，复制到 F6 和 G6，然后将 E，F 和 G 列复制到![](img/tex-d0db41fbdc4dc35ce0467702ee053f75.gif)行。其他列根本不需要更改。
+
+**练习。**
+
+9.1 自己设置。当 E 和 F 之差达到十位精度时，d 的值是多少？
+
+9.2 尝试使用![](img/tex-6cad59fa0eedd643c29e578eae389f29.gif)而不是如上所述找到![](img/tex-ba888766a9c4d5dda2b8791edc3e86f8.gif)。对于什么![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)值，您是否达到十位精度的正确答案？
+
+9.3 找到上面的 H 不能得到十位精度答案的函数和值。
\ No newline at end of file
--- a/docs/33.md
+++ b/docs/33.md
+# 9.2 绘制导数图
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section02.html)
+
+上面的电子表格结构使用户能够在一个特定参数中找到函数的导数。我们想在许多不同的参数上做同样的事情，这些参数可以变成导函数的图表或图形。
+
+这可以通过选择![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的单个值，将第 9.1 节中描述的结构全部放在一行上，并将该行复制下来来实现。现在每一行将对应一个参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，该参数![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)比前一行增加![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)。如果我们计算 D 和 E，我们可以比较它们。 D 和 E 之间的差异是 D 估计有多糟糕的度量。如果它太大了我们想要的东西，我们可以减少我们的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)直到我们喜欢结果。
+
+好吧怎么办？
+
+以下是如何执行此操作的概述。它由列列表和列入内容组成。
+
+假设您想要绘制函数的值和导数，例如从![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)到![](img/tex-64cb7d1cc934629ce9d0d8d07536952b.gif)的![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)。
+
+您可能想要输入信息：在 A1 中绘制![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)和![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)，在 A2 中绘制![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)。在 A3 中：起始论点;并在 B3 中输入![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，在 A4 中输入结束参数;在 B4 中输入![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)。在 A5 中输入参数数量;在 B5 中输入你最喜欢的号码，说![](img/tex-f899139df5e1059396431415e770c6dd.gif)。在 C5 中放=（B4-B3）/ B5;在 A6 中输入![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，在 B6 中输入![](img/tex-04817efd11c15364a6ec239780038862.gif)。还进行以下输入：A7 ![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，B7 ![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，C7 ![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，D7 ![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)，E7 ![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)，F7 ![](img/tex-5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129.gif)，G7 ![](img/tex-0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.gif)。
+
+我们的想法是将条目放在列中，如下所示：您真正需要输入的唯一条目是两列 A 列，以及每列中的一列，H，O，R，T，其余的是复制。更改参数只涉及更改上面段落中输入的数据。更改函数只涉及更改 H 列中的数据条目并将其复制到 I 至 N 列和![](img/tex-f899139df5e1059396431415e770c6dd.gif)行中。 （列 R，S 和 T 中![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)的因子来自 Q 和 R 列便于复制的事实，但是是近似导数的两倍和四倍。）
+
+在 A9 中，输入 x
+在 B9 中，x + d
+在 C9 中，x + 2d
+在 D9 中，x + 4d
+在 E9 中，xd
+在 F9 中，x-2d
+在 G9 中，x-4d
+在 H9 中，sin（x）
+在 I9 中，sin（x + d）
+在 J9 中，sin（x + 2d）
+在 K9 中，sin（x + 4d）
+在 L9 中，sin（xd）
+在 M9 中，sin（x-2d）
+在 N9 中，sin（x-4d）
+在 O9 中，（sin（x + d）） -sin（xd））/（2d）是![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)近似于导数
+In P9，（sin（x + 2d）-sin（x-2d）/ 2d，是![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)倍![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)近似
+在 Q9 中，（sin（x + 4d）-sin（x-4d）/ 2d 是![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)乘以![](img/tex-033ebfb9d4175dfd8a5f2b5219a13a9d.gif)近似
+在 R9 中，（4O-P / 2）/ 3，这是与![](img/tex-c4bf864f400738965e81bde260d2e351.gif)
+成比例的估计在 S9 中，（4P-Q / 2）/ 3 是![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)乘以估计误差与![](img/tex-c4bf864f400738965e81bde260d2e351.gif)
+在 T9 中的比较，（16R） -S / 2）/ 15 这是与误差成比例的估计至![](img/tex-53a4ecd66b180cb26b926f4aed0aea50.gif)
+在 U9 中，A x 数据
+在 V9 中，H f（x）数据
+在 W9 中，T f'（x）数据
+在 X9 中，TR 精度检查，如果这样数量小，误差小
+
+列 U，V，W 和 X 用于绘制我们的函数。如果 X 列中的最大值不可接受地大，则应减少![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。
+
+以下是需要输入的条目。假设我们从第 10 行开始（记住有 A7 = 0，B7 = 1，C7 = 2，D7 = 4，E7 = -1，F7 = -2，G7 = -4）。
+
+A10 = $ B $ 3 + A $ 7 * $ B $ 6
+
+A11 = A10 + $ C $ 5
+
+将 A11 复制到 A 列，直到获得 B4
+
+将 A10 复制到 B10，...... G10，以及 A11 到 B11，... G11
+
+只要复制了 A 列，就将 B11 复制到 G11
+
+H10 = sin（A10）复制到 I10，J10，K10，L10，M10 和 N10
+
+O10 =（I10-L10）/ $ B $ 6/2 复制到 P10 和 Q10
+
+R10 =（4 * O10-P10 / 2）/ 3 复制到 S10
+
+T10 =（16 * R10-S10 / 2）/ 15
+
+以下是为了制作散点图而重复之前定义的列：
+
+U10 = A10，即![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
+
+V10 = H10，即![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)
+
+W（10）= T10 是![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的导数估计值
+
+X（10）= T10-R10，这是使用 T 代替 R 的估计的改进
+
+现在将第 10 行从 H 列向下复制到 X 列，直到 A 列为止。
+
+从最后 4 列的插入图表菜单中创建![](img/tex-3e44107170a520582ade522fa73c1d15.gif)散点图。
+
+在 B3-B6 中输入的参数可以在那里更改。该函数可在 H10 中更改，并按上述方式复制到 I10 到 N10，然后按下这些列。
+
+如果您已经计算了![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数，您也可以为它创建一个列，并查看该图是否（或值）与数值导数有任何不同。
+
+**以下是从![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)到![](img/tex-64cb7d1cc934629ce9d0d8d07536952b.gif)的函数![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)的结果。**
+
+&lt;button aria-controls="graphing-derivative-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#graphing-derivative-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/graphing-derivative.xlsx)
+
+Number of increments<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-inc-btn" type="button" value="100">100</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#) [75](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="5">5</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+**练习：**
+
+设置此项并将其应用于![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)从![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)到![](img/tex-172b4b1cb8a23ead6deddd6b8be46d44.gif)的函数![](img/tex-400dfd88c178b120ea1abbe3101c5945.gif)，如果设置上限![](img/tex-4341447b6ad78bf4d7eb59ebb5a53d63.gif)会怎样？
\ No newline at end of file
--- a/docs/34.md
+++ b/docs/34.md
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section03.html)
+
+## 9.3 不可微函数
+
+**我们可以在任何地方区分任何函数吗？**
+
+微分只能应用于图形在您想要区分的点附近看起来像直线的函数。毕竟，区分是找到它看起来的线的斜率（我们正在考虑的函数的切线）没有切线意味着没有导数。
+当切线垂直时，导数也是无穷大，也不好。
+
+**[论证![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)]如何及何时发生不可分辨性？**
+
+以下是一些方法：
+
+1.函数跳转到![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，（不是连续的）就像在一段楼梯上发生的那样。
+
+![](img/290ff9a2b9c6092e6b18e8f693acf6e9.jpg)
+
+函数的图形有一个扭结，就像字母 V 一样。绝对值函数，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为正时为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为负时为![](img/tex-d25c186e3f3096a9ff4a918f7b3141d4.gif)，![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)为扭结。
+
+![](img/b5317a2014e83acbc48b343b55049242.jpg)
+
+这个函数是无限的，并且无限。函数![](img/tex-afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.gif)和![](img/tex-84e0d3f10bc51b8fd3f27a0afacf8faa.gif)在![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)执行此操作。请注意，在特定参数![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)中，您必须除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)以形成此函数，除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)不是可接受的操作，正如我们在某处所指出的那样。
+
+![](img/ea169d603d3e387ffde727c17393f069.jpg)
+
+4.这个函数非常奇怪：考虑一个函数，![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)表示无理数，![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)表示有理数。这很奇怪。
+
+5.无法在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中定义该函数。当我们讨论实函数时，不能为负![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)参数定义平方根。
+
+![](img/a564cdaa56ee8814335e9bbf067fd2a2.jpg)
+
+6.函数可以定义和有限，但其导数可以是无限的。一个例子是![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)的![](img/tex-e82ef48b5b4d6f8bc13453b7ae66f22f.gif)。
+
+![](img/cfe3728349e57301fb57a6e59ef5fca9.jpg)
+
+7.函数可以被定义并且很好，但它可以摆动到没有导数。尝试在![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)区分![](img/tex-cec7fc2078953f06f39bc923af466423.gif)。这种行为被称为 **![](img/tex-3dad28281778d5ef4b7a78c7bc7a6b09.gif)的基本奇点。**
+
+![](img/656c8044347f4933c18a40ab2505fd85.jpg)
+
+这些是您可以通过公式描述的函数遇到的唯一一种不可微分的行为，您可能不会遇到很多这些行为。
+
+现在你已经看到几乎所有关于区分一个变量函数的内容。还有一点点;也就是说，当您想要找到使用幂级数定义的函数的导数或使用逆运算进行区分时，会发生什么。我们稍后会找到他们。
+
+我们接下来想研究如何应用这个，然后如何反转微分的运作。
\ No newline at end of file
--- a/docs/35.md
+++ b/docs/35.md
+# 第 10 章：微分的回顾
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/contents.html)
+
+## 介绍
+
+本章包含一些随机评论和学生代数区分规则的摘要。
+
+## 话题
+
+[10.1 回顾](section01.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/36.md
+++ b/docs/36.md
+# 10.1 复习
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter10/section01.html)
+
+**10.11 我们在哪儿？**
+
+**数字是数字。再次阅读有关它们的部分。**
+
+**函数是一组（参数，值）数字对**。它们通常由公式描述，这些公式告诉我们如何从参数计算值。每个参数只允许一个值。您将经常遇到的公式以标识函数，指数函数和正弦函数开始，并通过以某种方式对它们应用算术运算，替换和反转来定义。
+
+**任何参数的函数的导数是它在该参数附近的直线的斜率，如果该斜率是有限的。** 它在该参数附近的直线称为**该参数**处函数的切线，描述该线的函数称为该参数函数的**线性逼近** ]。如果函数看起来不像参数附近的直线，（在那里有扭结或跳跃或疯狂行为），那么该参数就不可区分。
+
+存在用于计算同一性，正弦和指数函数的导数以及通过以某种方式对它们应用算术运算，替换和反转而获得的这些的组合的导数的直接规则。
+因此，我们有方法获得上述类型的所有函数的导数的公式。规则如下所示。如果您对它们感到不舒服，请练习！
+
+使用电子表格，您可以非常精确地绘制函数并在很大程度上精确地确定它们的导数。
+
+**此时我还应该知道什么？**
+
+首先，您应该对以数字方式计算或计算导数感到满意。
+
+到目前为止，我们所说的关于指数函数的所有语句都是它在参数![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)中的值是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的语句，并且它在各处都是它自己的导数。并且正弦函数在参数![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)处是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)并且具有导数，其是对其补充的参数的正弦。
+
+建议您查看正弦和其他三角函数以及指数的属性。这些在 T 部分中描述。
+
+**好的，我们能做些什么呢？**
+
+微分的两个主要应用是建模现象和求解方程。
+
+**我真的希望做这些事吗？**
+
+如果你不知道怎么做，你就不可能被要求去做这些事情。同样，如果你从未学过如何走路，你很少会被要求过马路。一旦你了解了这些事情，你就可以开始处理各种各样的可能性。
+
+一旦构建了一个现象模型，您就希望能够推断出该模型的后果。这涉及从涉及导数的导数或方程式返回到其导数的函数。
+
+从导数回归到函数的过程有时（很少）称为**反分化**，通常称为**积分**或**正交**（也是一个罕见的名称） ）。从涉及导数的方程到原始函数被称为**求解**（或积分）**微分方程。**
+
+在下一节中，我们将描述一种使用微分来解决涉及一个变量的非线性方程的方法，以及其他方法。然后我们将讨论集成，您将在可能的情况下，通过数字和公式学习如何进行集成。然后，我们将举例说明在实际情况建模中使用导数。最后，我们将研究如何以数字方式求解微分方程，从而发现这些模型的含义。
+
+**关于微积分，这是我必须要知道的吗？**
+
+答案取决于你的目标。
+
+如果你只是寻求关于什么是微积分的定性概念，你可以在你对自己的微积分感到满意时辞职。在这一点上，我们只讨论了微分。采用函数导数的逆运算具有相同的意义，尚未到来。
+
+如果你的目标是理解科学的语言，变化的模型随处可见，这是一个良好的开端，但在两个方向上还有更多。
+
+首先，我们生活在一个世界中，它用三个数字来描述一个空间点的位置;用六个数字来描述两点的位置，依此类推;人们常常想要在太空中模拟运动。因此，当我们一次处理几个或多个变量时，我们需要能够检查变化。因此，我们需要能够将区分的概念扩展到依赖于多个变量的函数的模拟。这样做意味着将导数的概念扩展为参数和/或值的数组，而参数和/或值是数字序列而不是单个数字。对这类事物的研究称为多变量微积分。
+
+幸运的是，可以通过一种方式进行所需的扩展，从而可以利用您在一个维度上进行区分以获得更高维度的结果。你必须学习一些新的概念，但区分的工作是一样的。该主题主要包括引入新的多维概念，以及如何通过一维微积分技术计算或计算它们的描述。
+
+其次，随着人们研究在现实世界应用中出现的方程，多年来已经形成了关于微分方程的大量知识。在过去，数值方法，如您现在可以应用的那些，是完全不切实际的，并且发现了特殊方法来解决许多类方程。这些方法对于让人们在不实际求解它们的情况下了解更复杂方程的解决方案也是有价值的。
+
+事实上，这些方法足以解决许多领域中非常重要的问题，并且它们提供了许多其他方程式的直觉，这意味着它们仍然是有趣的，值得研究。
+
+也许值得追求的第一个目标是获得理解科学文献的可能性。科学和工程学的论文不断使用导数和积分的概念和符号，如果这些水牛你，你可以无处阅读文献。一旦你对微积分及其符号的概念感到满意，这种困难就会消失。
+
+足够模糊的废话！
+
+**10.12 用于区分的代数规则。** （以及如何推断它们）
+
+**事实 0：**直线函数![](img/tex-9cea1e2473aaf49955fa34faac95b3e7.gif)的导数是它所代表的线的斜率，它是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)。常数函数具有导数![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。这意味着从原始公式中，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)被![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)取代，并且省略了任何常数项。根据定义，我们有![](img/tex-0457851b37cd7471ea8fe63f1866c428.gif)，我们有![](img/tex-f7b3aae6005556a80726d25b4c304491.gif)。
+
+**基本规则 1：**为了计算具有多次出现变量的函数的导数（让它为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)），分别取每次出现的导数贡献，将其他出现的贡献视为常数，并添加所有这些
+
+后果：
+
+**求和规则：** ![](img/tex-ce878e228dfae386712556e69d709df0.gif)
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+**产品规则：** ![](img/tex-dc16509ec883509c4edfe2bb84af464e.gif)
+
+**功率规则：** ![](img/tex-05a02757d88d7600d20d39301542adec.gif)（![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)不同![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)分别被![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)替换并求和）
+
+**商数规则：** ![](img/tex-07a7bfa35a00d7da15b0cd2f7fd49fb5.gif)。 （区分等式![](img/tex-e8b3873428e0b21d5930e579d472d8ab.gif)的两边。）
+
+**基本规则 2：**函数函数![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)的导数是![](img/tex-a54601fb5dc83822e0734bd394b5a1a5.gif)和![](img/tex-befa1b1238445275df0545b554aed141.gif)评估的![](img/tex-be29645cc0ac5de5330de75d4c148722.gif)的产物。这被称为**链规则**，它直接来自导数的定义，当表示为变化的比率时。
+
+Consequences:
+
+**反向规则。** 逆定义如下：如果![](img/tex-fd91c508f91c2c84498680bd337c1d7a.gif)则![](img/tex-d8ff1a67d66cf8a3eed56f2362cf28c3.gif)，
+
+由于![](img/tex-c5ea980d1c7e23bcdb3de21764987d03.gif)，![](img/tex-7c8d4e25cbfae2105ee0cc5118236bfd.gif)意味着（在切换变量名后）![](img/tex-cb8b70219d53b0f30cfd6130b106fa1f.gif)，因此在![](img/tex-ed9f27b1985462e6a73fb994ba1a1466.gif)进行评估。
+
+**基本定理：关于其上限的定积分的导数是在那里评估的被积函数。**
+
+如果你对这些事实感到满意，不要被数值计算所困扰，并努力研究你的错误，以便你有希望不再重复它们，你就是想要在一个维度上进行微分计算的地方。
+
+**练习：想象一下，你正在教授微积分课程。列出前 10 章中关于材料最难回答的 10 个问题。我认为，提出问题比回答问题更具挑战性。**
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+# 第 11 章：微分在求解方程中的应用
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/contents.html)
+
+## 介绍
+
+描述了牛顿求解方程的方法以及在电子表格上易于实现的指导。还有一个小程序，允许您输入方程式并从滑块确定的起点应用该方法。
+
+## 话题
+
+[11.1 求解方程](section01.html)
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+# 11.1 求解方程
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/section01.html)
+
+如果我们有一个线性方程，例如![](img/tex-f92d40d8d816826afa2ade5d29a21771.gif)，则有一个简单的解决方法。你应用“方程式的黄金法则”：向左边做你正确做的事情。你做到这一点，直到你左边的所有东西都是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。
+
+因此，在这个例子中，您可以向两侧添加![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)，除去左侧的![](img/tex-b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472.gif)，然后除以![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，结果为：![](img/tex-cf1a1691f0fe09eff21d3f5c4a956796.gif)。
+
+然而，假设我们有一个更复杂的等式，例如
+
+![](img/tex-03420b9712696f42d407d4d1fcfad9b8.gif)
+
+我们的任务是找到这样一个等式的解决方案或所有解决方案。 **我们假设我们方程中的函数在我们感兴趣的领域中是连续的和可微的。**
+
+首先要注意的是，在这里绘制左侧是一个好主意，并粗略地观察它改变符号的位置或非常接近![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。这将告诉你它的大致位置![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。
+
+在过去，这是一项非常繁琐的任务，总的来说，人们试图在没有绘图的情况下解决方程，这有点像飞行盲目。如果你能做到这没关系，但为什么不尝试呢？
+
+有一种解决这些方程式的标准技术显然可以追溯到牛顿。在这里。
+
+你开始猜测你寻求的解决方案，选择一个参数，称之为![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)。然后，您可以在参数![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)中找到函数的线性逼近![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，并求解表示此线性逼近为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的等式。调用线性逼近为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，![](img/tex-aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif)的参数。
+
+现在你做同样的事情，从![](img/tex-aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif)开始：你在![](img/tex-aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif)找到![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的线性近似，并求解这个线性近似是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)以确定![](img/tex-8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.gif)的等式。只要你需要，你就继续这样做。
+
+在过去，对于任何函数而言，这是一件非常繁琐的事情。从![](img/tex-1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.gif)中找到![](img/tex-8069e5dde88857b9c2ff06de7ec832a8.gif)非常简单，但一次又一次地执行它是一个真正的问题。
+
+现在有了电子表格，您可以在一分钟内完成设置，并通过练习找到解决方案。您只需执行一次每个步骤，然后复制。
+
+**怎么样？**
+
+首先让我们看看如何从![](img/tex-1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.gif)获得![](img/tex-8069e5dde88857b9c2ff06de7ec832a8.gif)。
+
+![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的线性近似由下式给出
+
+![](img/tex-4f2331baf97d95a93f8b887b5bfc36f8.gif)
+
+如果我们在参数![](img/tex-8069e5dde88857b9c2ff06de7ec832a8.gif)将其设置为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，我们得到
+
+![](img/tex-f45e20b2499257f3ea6ea8e5ff50f646.gif)
+
+具有通过适当地从两侧分开和减去而获得的解决方案
+
+![](img/tex-4a2b676cb27242ec168d52cce44094ab.gif)
+
+**那我该怎么做电子表格呢？**
+
+假设我们在框 A1 中进行了第一次猜测。我们将把它和随后的猜测放在 A 栏开头说，用 A3（只是留下标签的空间）。
+
+然后我们可以将![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)放在 B 列中，将![](img/tex-b87d262a34b7bea8f827486596f89de2.gif)放在 C 列中。
+
+为此，我们需要进行以下输入：
+
+在 A3 中，输入= A1（这将在 A3 中开始猜测![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)）
+在 B3中，= f（A3）（这计算![](img/tex-c58b04667bcf6700fa38285f33640500.gif)）
+在 C3 中，= f'（A3）（此计算） ![](img/tex-34434977661008d44e8ba5d44bc70de5.gif)）
+在 A4 中，= A3-B3 / C3（这适用于获得新猜测的算法）
+
+如果现在复制 A4（而不是 A3！）以及 A，B 和 C 列中的 B3 和 C3，则已实现该算法。
+
+您可以通过更改 A1 来更改起始猜测，并通过适当更改 B3 和 C3 来更改您的函数，并将结果复制下来。
+
+**这真的有用吗？**
+
+这种方法在大多数时间内收敛得非常快。如果你从![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)附近开始，并且处于“好的一面”，它将始终收敛。否则它很有可能这样做，但奇怪的事情可能会发生。
+
+**什么是“好的一面”？**
+
+假设您从解决方案开始，调用解决方案![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，因此![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)大于![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)。那么如果![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)和![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的二阶导数在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)之间都是正的，那么你就是好的一面。
+
+**为什么？**
+
+在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)之间![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的二阶导数是正的，意味着![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的一阶导数在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)之间增加，这意味着![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的斜率是最大的，在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)之间的范围内，正好在![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)。
+
+所有这些意味着![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif) ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的线性近似将比![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)更快地下降到![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，因为你靠近溶液![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，因此![](img/tex-aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif)将位于![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)之间。 ![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)。每个连续的![](img/tex-1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.gif)将位于 z 和前一个之间。随着我们接近![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)看起来会越来越像一条直线，这意味着它看起来会越来越像它的线性近似，所以你会越来越接近![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)越来越快。
+
+**假设我们想要求解方程![](img/tex-452de00e2c0715b9358f307dd7ce63b9.gif)，我们从![](img/tex-9315935cabdcd516fcb2b4027e8f3807.gif)开始作为猜测。** 左侧的导数是![](img/tex-44a05bef6abef7828ed579c0a242f77d.gif)。
+
+填写完成后，我们的电子表格说明应如下所示：
+
+在 A1 中，输入 0.3
+在 A2 中，输入 xj。在 B2 中，f（xj）。在 C2 中，f'（xj）。
+在 A3 中，= A1。在 B3 中，= sin（A3）-exp（A3）+2。在 C3 中，= cos（A3）-exp（A3）
+在 A4 中，= A3-B3 / C3。在 B4 中，= sin（A4）-exp（A4）+2。在 C4 中，= cos（A4）-exp（A4）
+向下复制列 A，B 和 C.
+
+&lt;button aria-controls="newtons-method-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#newtons-method-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/newtons-method.xlsx)
+
+Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+当你从![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)而不是![](img/tex-e85b79abfd76b7c13b1334d8d8c194a5.gif)开始时会发生什么？在![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)？在![](img/tex-d3d9446802a44259755d38e6d163e820.gif)？
+
+**练习：**
+
+**11.1 假设![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)为阴性且![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)大于![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)。 ![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)之间![](img/tex-0dc2aab0982bd14caf20dc08dec5d816.gif)的条件是什么意味着你有好的一面？ ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif) ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)为正，但![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)小于![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的条件是什么条件让你处于良好的一面？**
+
+**11\. 2 如果![](img/tex-0dc2aab0982bd14caf20dc08dec5d816.gif)的符号错误但你的猜测与![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)之间的符号相同，会发生什么？**
+
+尽管如此，这种方法可以做出奇怪的事情。如果![](img/tex-32e8243c5569e9fc162e207ae7730b3f.gif)在猜测时，迭代甚至没有意义，因为你将除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。如果![](img/tex-b87d262a34b7bea8f827486596f89de2.gif)非常靠近![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，那么新的猜测将与旧的猜测相距甚远，并且它可以奇怪地拉链。
+
+以下小程序允许您只需输入函数即可绘制和查看方法。 （这比使用电子表格从头开始稍微简单一些）。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/newtons-method.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
+
+**练习：**
+
+**11.3 如果您寻找![](img/tex-0568050ad07f9f53fe45c7bddea64337.gif)的解决方案，并尝试直接使用此方法，会发生什么？ ![](img/tex-f5d6ef7ba0b58f7394cd018d5207b544.gif)怎么样？**
+
+**11.4 查找![](img/tex-d3db6ebf7120f8a5dcec7ef60d71d6c6.gif)正![](img/tex-d3db6ebf7120f8a5dcec7ef60d71d6c6.gif)的所有解，精确到十位小数。**
+
+我是否必须区分![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)才能应用此算法？
+
+**不！您可以选择相对于函数比例非常小的 d 值，并将=（f（A3 + d）-f（A3-d））/（2 * d）放在 C3 而不是= f'（ A3）。**
+
+这几乎与常规的牛顿方法一样。
+
+**练习 11.5 在 C3 中重做练习 11.5，=（f（A3 + B $ 1）-f（A3-B $ 1）/（2 * B $ 1）。你的答案如何受到影响？**
+
+**可能出什么问题？**
+
+首先，我们的等式可能没有真正的解决方案。在那种情况下，这两种方法都找不到。针对![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)绘制![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)将确认这一点。
+
+当你的方程有多个解时，会出现另一个问题。那么你得到的取决于你从哪里开始。 Applet 说明了这一点。
+
+**一般来说，如果你到达![](img/tex-4920a16dc939b9f45c550c11495f44aa.gif)接近零的点![](img/tex-1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.gif)，而![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)不接近零，![](img/tex-8069e5dde88857b9c2ff06de7ec832a8.gif)将会很远，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的连续值可以即使您曾经接近您正在寻找的解决方案，也可以像疯了一样轻松缩放。**
+
+但是这种方法无论如何都很有趣，你可以很容易地判断它什么时候不起作用。
+
+**分而治之**
+
+还有另一种求解方程的方法，在每次迭代时通过![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子更接近解，**如果你能找到![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)参数，你的函数有相反的符号**。然后，您可以查看它们之间的中点，并用中点替换该函数与中点处具有相同符号的端点。
+
+**练习：弄清楚如何在电子表格上实现此方法。 （提示：您可以输入= if（D5 * F5&gt; 0，C5，A5），如果 D5 和 F5 具有相同的符号则给出 C5，否则输入 A5。）**
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+# 第 12 章：反导数
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter12/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter12/contents.html)
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+## 介绍
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+反导数是一种解除分化的运算，由于常数的导数为 0，反导数给出了一个对常数项没有任何说明的答案。区分规则各自产生了计算反导数的信息。
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+## 话题
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+[12.1 反导数](section01.html)
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+# 0.2 什么是微积分？我们为什么要研究它？
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter00/section02.html)
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+微积分是对事物变化的研究。它为有变化的系统建模提供了框架，并提供了推断这些模型预测的方法。
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+**我已经存在了一段时间，并且知道事情的变化，或多或少。微积分可以添加什么？**
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+我相信你对事情的变化了解很多。你有一个定性的微积分概念。例如，运动速度的概念是直接来自微积分的概念，尽管它在微积分之前确实存在很久并且你对它有很多了解。
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+**那么微积分为我增添了什么？**
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+它为我们提供了一种构建相对简单的变化定量模型并推断其后果的方法。
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+**到底是什么？**
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+通过这种方式，您可以在正在调查的系统中找到不断变化的条件的影响。通过研究这些，您可以学习如何控制系统，让它做你想做的事。微积分，通过为工程师和您提供建模和控制系统的能力，使他们（可能还有你）在物质世界中拥有非凡的力量。
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+微积分的发展及其在物理和工程中的应用可能是现代科学发展中最重要的因素，超越阿基米德时代。这是工业革命的主要原因，也是随之而来的一切，包括过去几个世纪几乎所有的重大进步。
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+**你是否试图声称我对微积分有足够的了解模型系统并推导出足以控制它们的程度？**
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+如果你在 1990 年问我这个问题，我会说不。现在，对于一些非平凡的系统，使用笔记本电脑或台式电脑是可能的。
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+**好的，但微积分模型如何变化？什么是微积分？**
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+微积分的基本思想是通过研究“瞬时”变化来研究变化，我们指的是在很短的时间间隔内的变化。
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+**这有什么用？**
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+事实证明，这种变化往往比有限时间间隔内的变化简单得多。这意味着它们更容易建模。实际上微积分是由牛顿发明的，他发现加速度，即物体速度的变化可以用他相对简单的运动定律来模拟。
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+**等等？**
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+这使我们面临的问题是从关于速度或加速度的信息中推导出关于物体运动的信息。微积分的细节涉及速度和加速度所代表的概念与位置所代表的概念之间的相互关系。
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+**那么学习微积分的研究是什么？**
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+首先，您必须有一个框架来描述位置速度和加速度等概念。
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+单变量微积分是我们开始的，它可以处理物体沿固定路径的运动。更常见的问题是，当运动可以在表面上或在空间中发生时，可以通过多变量微积分来处理。我们通过找到使用一维思想和方法来处理更一般问题的巧妙技巧来研究后一个主题。因此单变量微积分也是一般问题的关键。
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+当我们处理沿着路径移动的物体时，它的位置随时间变化我们可以随时用一个数字描述它的位置，这可以是某些单位距离该路径上某个固定点的距离，称为我们的原点。坐标系。 （我们在此距离上添加一个符号，如果对象位于原点后面，则为负数。）
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+然后，物体的运动由相关时间点处的数值位置的集合来表征。
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+我们用来描述运动的位置和时间集就是我们所说的**函数**。类似的函数用于描述应用微积分的所有系统中感兴趣的量。
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+这里的课程首先回顾数字和函数及其属性。毫无疑问，您对此非常熟悉，因此我们尝试添加不熟悉的材料以便在查看时保持您的注意力。
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+**如果我读到这些东西，我会陷入困境。我必须吗？**
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+我很乐意让你看看它，因为我写了它，但如果你不愿意，你可以毫无疑问地通过跳过它，并在你需要的时候或者如果你需要这样做的时候再回过头来。但是你会错过这些新信息，这样做可能会让你永远陷入困境。 （虽然我对此表示怀疑。）
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+**数字和函数之后会出现什么？**
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+微积分的典型课程包括以下主题：
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+1.如何找到各种函数的瞬时变化（称为“导数”）。 （这样做的过程称为**“分化”**。）
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+2.如何使用导数来解决各种问题。
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+3.如何从函数的导数返回到函数本身。 （此过程称为**“积分”**。）
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+4.研究积分某些函数的详细方法。
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+5.如何使用积分来解决各种几何问题，例如某些区域的面积和体积的计算。
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+在这样的课程中还有一些其他标准主题。这些包括功率系列函数的描述，以及无限级数何时“收敛”到数字的研究。
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+**那么这又能让我做什么呢？**
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+它并没有真正这样做。问题在于这些课程最初是在几个世纪前设计的，它们的目的不是赋予权力（当时完全不可能），而是让观众熟悉能够理解更高级工作的想法和概念以及符号。数学家，科学家和工程师在各种情境中使用微积分概念，并使用行话和符号，在没有学习微积分的情况下，对你来说是完全不可理解的。对微积分的研究通常旨在为您提供与这种更高级工作相关的“数学复杂性”。
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+**为什么这个关于赋权的废话呢？**
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+本课程将尝试与众不同，旨在赋予权力以及其他通常的目标。它可能不会成功，但至少会尝试。
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+**它将如何尝试执行这个奇迹？**
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+传统的微积分课程强调用于进行微分和积分的代数方法。我们将描述这些方法，但也展示了如何在计算机电子表格上进行微分和积分（以及常微分方程的解法），并且需要付出额外的努力。我们还将提供小程序自动执行相同操作的小程序。使用这些小程序或电子表格，您可以比以前更轻松，更灵活地应用微积分工具。
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+（还有更多高级程序，例如 MAPLE 和 Mathematica，它们可以让您以类似的方式轻松完成。通过它们，您可以在各种环境中推断出各种模型的后果。一旦理解了微积分可以使它的使用变得更加容易，但它们提供了输入的答案，而这些答案并不能理解它们是如何做到的。）
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+此外，我们将更加重视建模系统。通过建模和解决它们导致的微分方程的方法，您可以实现我们所宣称的赋权。
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+**我能用这个值得结束吗？**
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+好吧，可能不是。但你可能会。此外，您可能会被激怒以了解有关您想要学习的系统或数学的更多信息，以提高您这样做的机会。此外，您可能能够比现在更好地理解模型的可能后果。您也可以喜欢微积分的概念和想法。
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+**嗯，关于数字的介绍章节是什么？**
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+我们从自然数![](img/tex-671cbbf62917059a9cf9b24b99d7cbee.gif)开始，并注意减法，除法和取平方根的操作如何引导我们扩展我们的数字系统以包括负数，分数（称为有理数）和复数。我们还描述了十进制扩展（描述“实数”）并检查可数性的概念。我们也会对复数进行嘀咕。
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+**在关于函数的章节中？**
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+我们从函数的抽象定义（作为一组参数 - 值对）开始，然后描述标准函数。这些是通过以身份函数（value = argument）和指数函数开始并对它们使用各种操作而获得的那些。
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+**运营，什么运营？**
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+这些是加法，减法，乘法，除法，替换和反演。
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+**但是什么是指数函数，什么是替换和反转？**
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+这里有一句话答案：如果你想了解更多阅读本章！
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+指数函数是使用微积分神秘定义的：它是函数，它是自己的导数，定义为在参数 0 处具有值 1.然而，事实证明，这是你以前见过的东西。事实证明它与三角函数的正弦函数有着密切的关系。
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+**将一个函数 f 替换为另一个函数 f** 会产生一个新函数，该函数定义为在参数 x 处具有参数 f 的值 f，该参数是参数 x 处的 g 的值。这比听起来简单。假设，例如![](img/tex-feb38954971364ac01eaf10660813d07.gif)和![](img/tex-06ca7348561cf3f51627b4480886c03e.gif)，则![](img/tex-64e36888218a4154f6e1dcafe0c11bff.gif)是![](img/tex-327853dd6ab59b7d34450f20c7dbec2e.gif)。
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+**函数的反函数**是通过用其参数切换其值而获得的函数。例如，通常写为![](img/tex-05c8b0dcff5822fbde7e0398f05aea00.gif)的平方函数具有平方根函数作为反函数。
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+在威廉神父对他的侄子的不朽言论中，由数学家刘易斯卡罗尔写道：
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+我已回答了三个问题，这就够了，
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+圣人说，不要给自己吹气。
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+你觉得我可以整天听这些东西吗？
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+关闭或者我会把你踢到楼下！
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+# 12.1 反导数
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter12/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter12/section01.html)
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+antiderivative 是我们有时会（很少）给出从函数的导数向函数本身倒退的操作的名称。由于导数不能完全确定函数（您可以为函数添加任何常量，并且导数将是相同的），您必须添加其他信息以返回显式函数作为反导数。
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+因此，我们有时会说函数的反导数是一个函数加上一个任意常数。因此![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)的抗导数是![](img/tex-01183274ad2fa0a4b9e9f79cf3812de3.gif)。
+
+反导数更常见的名称是不定积分。这是相同的概念，只是一个不同的名称。
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+波浪线用作它的符号。因此，句子“![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)的反导数是![](img/tex-01183274ad2fa0a4b9e9f79cf3812de3.gif)”通常表示为：![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)的不定积分为![](img/tex-01183274ad2fa0a4b9e9f79cf3812de3.gif)，这通常写为
+
+![](img/tex-7d7176b645f65fa2e635d188e84db046.gif)
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+实际上这是不好的表示法。右边出现的变量![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是一个变量，表示正弦函数的自变量。左边的符号只是说我们正在寻找的反导数的函数是余弦函数。如果你使用一个完全不同的符号（比如说![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)）来表示这一点，你就会避免混淆。那么写这个的正确方法
+
+![](img/tex-917e2cf356a9d6c206bac4dc5baf1a98.gif)
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+**为什么要使用这种奇特而丑陋的符号？**
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+我们这样做是出于对传统的尊重。这是几个世纪以来人们使用的符号。我们将在下一节中看到他们为什么会这样做。
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+我们要解决的第一个问题是：如果你给我一个函数，说![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)，并让我找到它的无限积分，我该怎么做？
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+这个问题的基本答案是：没有新的噱头可以做到这一点。您可以从差异规则向后工作，并获得一些集成规则，这基本上就是您可以做的一切。但是，这允许您集成（找到反导数）许多有用的函数。
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+几个项之和的反导数是它们的反导数的总和。这是因为和的导数是项的导数之和。同样地，将函数乘以常数将其反导数乘以相同的常数。
+
+使用这些事实，我们可以找到任何多项式的反导数。
+
+**怎么样？**
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+![](img/tex-1f31f8c0da2e32b6acaa5b9a0e5154e9.gif)的导数是![](img/tex-5fcb7d6cecf51226bc4307c0eb35cf48.gif)的事实等同于![](img/tex-5fcb7d6cecf51226bc4307c0eb35cf48.gif)的抗导数是![](img/tex-310e3e3ad101b3e94e3cfbf3713d7b75.gif)的说法。这意味着![](img/tex-1f31f8c0da2e32b6acaa5b9a0e5154e9.gif)的抗导数是![](img/tex-edbab62a3b0f1f0c865107a75ff7c6df.gif)。
+
+**这个![](img/tex-1bd976cfe214b4d14d7d7f899dcb31bd.gif)的东西是什么？**
+
+需要注意的是，常数的导数是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，因此不能完全确定作为导数的逆运算的反导数。您可以向反导数添加任何常量并获得另一个常数。有些人认为它是由学生发明的，通过惩罚他们偶尔忽视这个无聊的事实来折磨学生。
+
+我们可以将它应用于多项式中的每个项，并找到它的反导数。
+
+因此，反导数
+
+![](img/tex-95b81fda1533e0fc4718a54640d270ab.gif)
+
+是
+
+![](img/tex-d63927c5aef59dc0f06364e75736aded.gif)
+
+学生们通常会发现这很容易，当他们被迫在考试中找到这样的反导数时，他们的思想往往已经集中在下一个问题上了，他们心不在焉地忘记和区分而不是反辨别一个或者所有术语。请避免此错误。
+
+**练习：**
+
+**查找以下各项函数的反导数：**
+
+**12.1 ![](img/tex-3de6d0425b935cf626d59ede30cd600c.gif)**
+
+**12.2 ![](img/tex-b07d3c916ae11bf75da5ef5c60e7ddd2.gif)**
+
+**12.3 ![](img/tex-6ef973ec9f4d95965343c356587a2049.gif)**
+
+**12.4 ![](img/tex-1dd1b16ac576f3a21d01662bc87a5e22.gif)**
+
+**12.5 ![](img/tex-1e4973c57037a8bbd2adf67288d7cd38.gif)**
+
+**（通过区分来检查你的答案。）**
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+# 第 13 章：曲线下面积;定积分
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们现在将研究非常不规则的数字区域。特别是，如果我们有一个由某个函数定义的曲线，我们将考虑该函数和 x 轴之间的（带符号）区域，在 x 的指定值之间。轴上方的区域计为正区域，轴下方的区域计为负区域。我们将关注这些领域的定义，术语和符号，并以完全和数字的方式对它们进行评估。我们还将这些领域与反导数联系起来，并描述评估积分的技巧，这就是所谓的积分。
+
+## 话题
+
+[13.1 区域：定义，名称和符号](section01.html)
+
+[13.2 微积分和确定区域的基本定理](section02.html)
+
+[13.3 积分技巧](section03.html)
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--- a/docs/42.md
+++ b/docs/42.md
+# 13.1 区域：定义，名称和符号
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section01.html)
+
+我们从边长为![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)的矩形区域开始。如您所知，这个区域是![](img/tex-b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.gif)。我们的首要任务是利用这一事实提供一种寻找不规则数字区域的方法。
+
+要做到这一点，我们必须首先准确定义我们要做的事情。
+
+假设我们有一些函数，例如正弦函数，并且在![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴上有一个间隔，例如从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。然后我们可以绘制定义的曲线
+
+![](img/tex-393fd0b64e4a559330f1a3009b7e4c7f.gif)
+
+并询问区域中边界为：线![](img/tex-314c2513b687b35f72af74ce19e77e7e.gif)和给定曲线的区域。
+
+该区域被称为**函数![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)的定积分，从下限![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到上限![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。** 单词确定有时被省略，然后该区域被称为从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的积分。
+
+它的标准符号是：
+
+![](img/tex-b5762e12650332be07b601f4b86d96c8.gif)
+
+**为什么这个丑陋的符号？为什么奇怪![](img/tex-05ac7a592ac15a18edc4cd1610e87ea8.gif)的事情？**
+
+我们使用这种表示法，因为其他人都这样。开心点！您将能够识别和阅读涉及这些符号的语句。它们不是威胁。想象一下，它是一个奇怪的 S，代表 Sum。积分是一种奇怪的总和。
+
+**什么是![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)？**
+
+它表明，如果我们将积分的端点之间的间隔划分为长度为![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)的微小条，则包含值![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的条子对区域的贡献几乎是一个矩形，该矩形的面积将是是它的两端之间的差异，即![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)乘以 s 差异，每个条子是![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif); ![](img/tex-f423ac64e5aa29e57330c1367690a3ce.gif)，因此是那个条子中的区域，其中所有条子的总和是我们寻找的区域。如果![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)是![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)，那么![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)的平均值乘以![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)就是我们在所有条子上求和得到指示的积分。
+
+在描述你的积分时，你经常可以在描述它的端点时忽略![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，把它写成
+
+![](img/tex-70b616ee44a5eda5e8fd9f7dd0174347.gif)
+
+有时你想通过给出除![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)值以外的值来描述端点，
+
+（有时您可能希望通过某些其他函数![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)的值来描述![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)区间的下端点和上端点，您可以通过![](img/tex-901cb39a485de724e1842927ffcc8d27.gif)和![](img/tex-d8ab69fec79dcfa1e68e6574c06f0278.gif)指示端点来实现。例如，这里的积分可以和![](img/tex-433104f290d7401cd3ad52af9177315f.gif)到![](img/tex-cf612f0a0c79cff32ecc9ea441473dd2.gif)的积分一样描述。）
+
+我们将其称为正弦函数的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的积分。
+
+**是四个边界![](img/tex-97dbae6f18e7078823216a90f10b8e4a.gif)和![](img/tex-ce488dd18079d1c329b2751e646fd695.gif)之间的区域，计算![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴下方的任何区域为负。**
+
+一般来说，[被子] ![](img/tex-f21214213a3af87f231571a140a61c7d.gif)乘以![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)的![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的面积或积分是由![](img/tex-232c3db6a5009ae67a0c34bae3178e62.gif)和![](img/tex-596093e0539c4bb5b3d58f7dbabcf754.gif)界定的区域。 ![](img/tex-596093e0539c4bb5b3d58f7dbabcf754.gif)以下的区域被计算为负值。
+
+**如果“下限”![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)大于“上限”![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)会怎样？**
+
+**![](img/tex-118337530070f44bdf9c7cdeb8e35f9a.gif)和![](img/tex-ba7359f159cb8b2e460cb0400173545f.gif)之间的区域加上![](img/tex-ba7359f159cb8b2e460cb0400173545f.gif)和![](img/tex-875ed3c165e7458bec983de2912d60c1.gif)之间的区域，当![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)小于![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)且![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)小于![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)时，仅为两者之间的区域![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。**
+
+这是一个非常好的属性，我们在你提到的情况下定义积分，使其适用于所有![](img/tex-51718398f14c2c7248fa166b1c749400.gif)和![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)。这意味着从![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的区域加上![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)回到![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)的区域必须是从![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)的区域，这一点都没有。为了实现这一点，我们将面积从大到小定义为减小从小到大的面积。根据这个定义，![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的积分加上从![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)到![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)的积分是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)的积分，无论数字![](img/tex-51718398f14c2c7248fa166b1c749400.gif)和![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)的数字顺序如何。
+
+**这一切有什么好处？**
+
+我们的关键任务是弄清楚如何确定这些领域是什么。我们有一个强大的工具来做到这一点。
+
+**嗯？**
+
+**首先注意这里积分的概念为我们提供了一种定义函数**的新方法。我们可以使我们的积分上限变化，称之为![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)，并将得到的积分视为![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)的函数。
+
+例如，我们可以写
+
+![](img/tex-2ec47ca02afe16c4f7ae2165e23f085d.gif)
+
+现在我们可以问，作为![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)的函数，函数![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)以这种方式定义的导数是什么？
\ No newline at end of file
--- a/docs/43.md
+++ b/docs/43.md
+# 13.2 微积分和确定区域的基本定理
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html)
+
+我们对积分的导数感兴趣
+
+![](img/tex-2ec47ca02afe16c4f7ae2165e23f085d.gif)
+
+相对于上限，![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)。
+
+我们可以通过评估![](img/tex-8c86f96232be138921a37db33b4a38af.gif)非常小的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)来粗略计算这个导数。
+
+但![](img/tex-68dcffb884a477cd8a037242d40d03d5.gif)只是
+
+![](img/tex-628e6ae3fca56e630ff7fd72a4690286.gif)
+
+![](img/tex-9a855ff063eda925097be8b054e97709.gif)和![](img/tex-951bc92571d4700629a33ad168c6e84f.gif)之间的区域只是一个条子，其中![](img/tex-3e21673ce6c9b09f9ec50b7237248576.gif)非常接近![](img/tex-b8ec708cc383b1dcbec78f84f362faf5.gif)。所以![](img/tex-9f1a47e22308f214b616eff2fec9bbef.gif)和![](img/tex-596093e0539c4bb5b3d58f7dbabcf754.gif)之间的这个区域的区域只是![](img/tex-1d9143f0620a85a9643baa932bf522fe.gif)，其中![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)是条子的宽度，![](img/tex-b8ec708cc383b1dcbec78f84f362faf5.gif)是它的高度，到第一个近似值。
+
+这告诉我们![](img/tex-096254c7552111f593bb632a91205f32.gif)的导数，即参数![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)中正弦函数积分的导数，是这个区域除以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，即![](img/tex-b8ec708cc383b1dcbec78f84f362faf5.gif)。
+
+**完全相同的结果适用于任何函数，其参数值足够接近![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)，它与![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)的值尽可能接近。 （这些被称为连续函数）适用于所有![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)之间的集成限制。**
+
+这个结果是**被称为微积分的基本定理**。它说：**如果你区分一个函数的积分![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，那么在包含积分**的闭合区间中的参数![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)处是连续的（这是条件，如果值非常接近）如果你想![](img/tex-d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.gif)足够接近![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)）**，你可以在论证![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)中找回被积函数的值![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。**
+
+另一种说法是：**上限为变量的积分，**是我们刚刚定义的一个区域，**是其被积函数的反导数，当该被积函数是连续的时。**
+
+这意味着**积分函数然后将结果与上限区分开来，返回函数。**
+
+**我们也可以以相反的顺序做出相同的声明。**
+
+假设我们从可微分函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)开始，并形成其导数![](img/tex-8c3b00fefbad2e157de4844de7d31e4e.gif)，并将此导数积分到某处，比如![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)。
+
+换句话说，假设我们形成
+
+![](img/tex-ad05562ab4957ca8a14a586e859c1d7f.gif)
+
+然后基本定理告诉我们：![](img/tex-0d628497e7948bafe3b52a9cacd73058.gif)。
+
+为了看到这一点，请记住，如果![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中是可微分的，那么![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)足够小，我们可以达到任何所需的精度：
+
+![](img/tex-339cb206230325e783e5faed9da2a9b0.gif)
+
+如果我们将![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)之间的间隔切割成适合于每个![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)值的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)给出的宽度切片，我们可以总结方程![](img/tex-39b3b98ff846fd9998249c184eefd9b1.gif)任何一侧对所有切片的贡献。我们对每个切片使用相同的值![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)
+
+上面最后一个等式中正负项的总和将给出小切片中面积的总和。这笔钱将“望远镜”。来自一个切片的左项将是具有相反符号的前一切片的右项;这两个将相互抵消，我们将只从第一个和最后一个切片获得贡献。这意味着：
+
+![](img/tex-873102ed1649393e9d0d0ff2a2a1fa48.gif)
+
+这是基本定理的标准形式。
+
+**这个“基本定理”有什么用？**
+
+这个定理及其类似物在更高维度上的使用在历史上是如此重要，以至于它们不能被夸大。我们将在这里忽略这些。出于我们的目的，这个定理的主要用途是允许我们**评估积分，即曲线**下的区域，用于大量的被积函数。
+
+**什么被积分** **？**
+
+对于初学者，我们可以积分**我们可以识别为导数的任何被积函数。**
+
+例如，正弦是减去余弦的导数。将上面的最后一个等式应用于这个事实，我们得到了
+
+![](img/tex-b8925c8685cd76a2835b9cd272da9c6d.gif)
+
+我们用作例子的原始区域是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的正弦积分。这是\（\ cos（0） - \ cos（1）\）或![](img/tex-2e77f3292be18e5c4e56e00dc8c72258.gif)。
+
+**我们还能识别出什么？**
+
+1\. ![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的任何幂，例如![](img/tex-347b99be8c291ade0c6b4d680e18916a.gif)，因此任何多项式或幂的总和。
+
+2.任何![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)的指数函数![](img/tex-5e615dbe7a19c2a3c55120b4b960d37c.gif)和![](img/tex-8a35e3dd2af2b9464c6733a23df077eb.gif)。
+
+3.反正切，正切和反正弦的导数，以及更多。
+
+**练习：计算如下定义的积分：**
+
+**13.1 从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的整数![](img/tex-f69ae4ffe05d003cf89bc80dbb5d4caf.gif)。**
+
+**13.2 从![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)到![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)的整数![](img/tex-e829cea888c846249f2b5a7b42897e35.gif)。**
+
+**13.3 从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-9ab0347369b93587a1fc8dbd6c6a8862.gif)的整数![](img/tex-9dfa15d777720833bb4675feef877747.gif)。**
+
+**13.4 从![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)到![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的整数![](img/tex-41fe53da1cde3aeeaf0ebbd63c391252.gif)。**
+
+**13.5 写下一些可怕的函数。区分它。现在请一位朋友（前朋友？）积分你的结果。你会知道答案！**
+
+**13.6 记住这个单独的出现规则。区分（相对于 t）：![](img/tex-c59c2ab44867ec56e368e37a515f14d4.gif)。**
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--- a/docs/44.md
+++ b/docs/44.md
+# 13.3 积分的诀窍
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section03.html)
+
+积分技术基本上是向后看的微分技术。
+
+区分和的规则：**它是求和**的导数之和，对积分产生相同的事实：**积分之和的积分是它们积分的总和。**
+
+**13.3.1 产品规则倒退**
+
+产品规则说，产品的**导数是通过区分每个因素得到的总和，好像另一个因素是不变的，并将结果加起来。**
+
+当我们知道如何处理被积函数![](img/tex-7b1e38618e3f0d5fbde3ed68e4da866f.gif)时，我们可以向后看这个作为处理形式![](img/tex-24092401eb8cd60cacfc06423a7ab024.gif)的被积函数的方法。因为，我们可以将产品规则写为
+
+![](img/tex-c68eb2d4ebe7c6b0a57cfc1a1be49a72.gif)
+
+积分双方告诉我们
+
+![](img/tex-54d50734cb8d432856a84c00eb9be11b.gif)
+
+该陈述称为**“按部分积分”**，对于![](img/tex-b98601a61d49b07c97b5c67c6ba6f1f4.gif)或![](img/tex-082b0e41ac5d0f86aa6e51587580f3b7.gif)或![](img/tex-2856d22922b11d5e062ffb70bd6f2adf.gif)等整数有用。
+
+例如，要集成![](img/tex-082b0e41ac5d0f86aa6e51587580f3b7.gif)，请设置![](img/tex-f961510adf3549765e8838a7224f51bb.gif)和![](img/tex-1435edfb78ebfa5ca101addb5c9ae3be.gif)。然后我们有![](img/tex-4a5a2c4b7f84dc7cffe00543f62d046e.gif)和![](img/tex-1146e78611867431398a5122a81e2a6d.gif)。因此![](img/tex-a22cf5f67b36e36efde4073dcf96b435.gif)是![](img/tex-2856d22922b11d5e062ffb70bd6f2adf.gif)而![](img/tex-7b1e38618e3f0d5fbde3ed68e4da866f.gif)是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+我们可以得出结论，![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)从![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)到![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的积分是![](img/tex-126a0e11b1c9c99c814110b7d25e383d.gif)。这个答案通常写成
+
+![](img/tex-db0510fb02f8d2cbf46c7ed3b019d77d.gif)
+
+**练习 13.7 上面提到的其他积分：![](img/tex-5c6f937eacd3732196734c56ec527fa4.gif)和![](img/tex-2d4dcf10084570378af72846cd24eee5.gif)以及![](img/tex-2856d22922b11d5e062ffb70bd6f2adf.gif)的积分![](img/tex-5f3f80e73214c1f00e7846112de3af17.gif)。**
+
+**13.3.2 反向链条规则**
+
+链规则告诉我们如何区分![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)，答案是![](img/tex-d8ead864ac784f398382b1f9c1ea23ee.gif)。
+
+这告诉我们，如果我们能够将一个被积函数识别为具有![](img/tex-6ebeb5843de44c88a24999aadec25229.gif)形式，我们可以将它积分到![](img/tex-acd2b09d39705a84bff035c18c9faea9.gif)上，以便在![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)评估![](img/tex-8bc3a7e80988236e8f017205f413461c.gif)，而不是在![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)进行评估。
+
+我们能用这种方式认识什么？
+
+以下是您应该考虑的例子：![](img/tex-754a802e379cb3cdda8132cb7e9e824f.gif)和![](img/tex-a62675ef850fc44d3628aee227194878.gif)。尝试猜测在每种情况下为![](img/tex-e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.gif)选择什么，看看你是否可以让它工作。如果失败，请再试一次。
+
+向后使用链规则有时被称为**替代方法**。
+
+我们不会详述这个话题。要真正学会使用这些方法中的任何一种，你必须每次练习它们十几次。对于替换规则来说，这是非常宝贵的经验，比如解决谜题。它可能很有趣，但起初它看起来像是苦差事。
+
+我们注意到，通过适当的魔法替换，你可以将正弦和余弦的任何有理函数转化为一个合理的函数，你可以用足够的努力实际积分它。在过去，可积函数表及其积分表非常有用。这些东西现在可以在网上找到。
+
+**有什么我们无法积分的吗？**
+
+当然是。积分![](img/tex-fcf0c44410ba41956feeba288dd67642.gif)和![](img/tex-c9e0a3c687f9350a1a9afbac0fab761b.gif)是实例，对于这些实例，没有可以用从同一性函数，正弦和指数获得的组合表达的解。实际上，现代电子表格通常将其积分作为非标准但电子表格可用函数包含在内。
+
+（错误函数，或 erf，例如，
+
+![](img/tex-3fdb3ae0b6441480345f602c97586614.gif)
+
+是 Excel 7 在其工程公式中可用的函数，它可以作为电子表格中任何位置内容的一部分输入。）
+
+如今，您可以查阅许多可用程序中的任何一个，例如 Maple，Mathematica 和 Matlab，它们将为您提供任何可行积分的正式解决方案，以及针对那些无法精确集成在函数方面的任意精度的解决方案我们定义了。
+
+我们现在转向这样一个问题：积分是否可行，即在数值上确定曲线下面积？第 2 章对此进行了微小的讨论。
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--- a/docs/45.md
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+# 第 14 章：数值积分
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/contents.html)
+
+## 介绍
+
+如果您想评估特定的积分，您可以在电子表格上轻松完成。设置集成电子表格的时间不应超过十分钟，一旦有了，您可以在一分钟内将其应用于新的集成。您只需输入一次您的被积函数，将其复制到一个矩形中，然后输入您的积分限制。既然这样做很方便，那么检查你用数字评估的任何积分是明智的。如果您的正式答案和数字答案一致，那么您肯定是对的，只要您得到正确回答的问题即可。
+
+## 话题
+
+[14.1 数值积分计划](section01.html)
+
+[14.2“积分](section02.html)的”规则“
+
+[14.3 为什么这些规则有效？](section03.html)
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+++ b/docs/46.md
+# 14.1 数值积分计划
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section01.html)
+
+**那我们该怎么做呢？**
+
+这是个主意。我们创建了一个电子表格，在一列中，我们从积分的下限开始，并将每个参数的值增加一些![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。这可以通过一个或两个条目进行排列并向下复制。您可以将其称为参数列。
+
+在下一列中，我们评估每个参数的被积函数。这可以通过在第一个条目进行评估并向下复制来完成。这可以称为您的被积函数的值列。
+
+在最后一列中，我们将前一列中的条目相加，每个条目乘以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。这又需要一次输入和复制。这本质上就是它。这是整数列。它的条目是参数列中从起始点到下一个条目的积分，使用“左手规则”。
+
+**再来一次？**
+
+在详细阐述这一点之前，我们将离题讨论用于数值积分的“规则”。
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+++ b/docs/47.md
+# 14.2 积分的“规则”
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section02.html)
+
+任何积分方案的目标是准确地估计给定宽度的每个区间中的区域![](img/tex-f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.gif)。如果被积函数在该区间内基本上是常数，那么这样做是没有问题的，但如果不是，我们需要一个进行估算的计划。任何此类计划称为**规则**，用于数值积分。
+
+**这是最简单的规则，从最不明智的规则开始。**
+
+1.通过区间**最左侧**点处的被积函数值估算区间的高度。这被称为**左手规则**。
+
+2.通过最**最右边**点的被积函数值估算区间的高度。这是**右手规则**。
+
+3.通过**估计间隔的高度，即前两个的平均值。** 这被称为**梯形规则**。
+
+4.通过**中间的被积函数的值估计区间的高度。** 这样做的缺点是你需要在间隔的中间而不是在结束时找到它。它有时被称为**中点规则**。
+
+5.选择二次函数完全满足的前两个**的组合。这被称为 **Simpson 的规则**。**
+
+**够了！还有更多规则吗？**
+
+是的，你可以做得更好。
+
+**好吗？这些规则的表现如何？**
+
+好吧，前两个规则中的错误随着![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)线性下降。因此，如果将![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)除以 2，则误差也会减少![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)。
+
+接下来的两个误差在![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中是二次的;这意味着当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)降低![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子时，它们会下降![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)因子。
+
+辛普森的规则在![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中有一个四分之一的错误;当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)降低![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子时，它下降![](img/tex-c74d97b01eae257e44aa9d5bade97baf.gif)因子;如果你愿意，你可以通过![](img/tex-ea5d2f1c4608232e07d3aa3d998e5135.gif)因子实现下降，甚至更多。
+
+梯形规则使用每个间隔的高度作为每端的值的一半。这给出了![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)到积分端点的权重，![](img/tex-175140acd2a3e575b042c55d87ed7b53.gif)到每个中间点，（![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)从它每一侧的间隔）。
+
+辛普森一家规则相当于将奇数点的贡献加倍，然后使用![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)作为分母而不是![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif);所以第一个和最后一个点（最后一个必然是偶数）得到重量![](img/tex-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.gif)，奇数得到重量![](img/tex-fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.gif)而其他偶数得到重量![](img/tex-6ca8c824c79dbb80005f071431350618.gif)。
+
+**这些规则很难适用吗？**
+
+不，前三个很容易，你可以通过第三个聪明的伎俩得到辛普森的。使用另一个类似的技巧，您可以获得超级 Simpson 规则，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)每次降低![](img/tex-9cd1a212e212fc47bdd3c9ef1778914b.gif)时，因子![](img/tex-ea5d2f1c4608232e07d3aa3d998e5135.gif)误差下降。
+
+**那么这种集成有多准确？**
+
+对于大多数积分，在有限的时间间隔内，如果需要，您应该能够获得十位精度，这远远超过您遇到的任何问题。
+
+**好的，你让我很好奇。为什么梯形规则比前两个更好？为什么辛普森的规则仍然更好？**
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/numerical-integration.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
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--- a/docs/48.md
+++ b/docs/48.md
+# 14.3 为什么这些规则有效？
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section03.html)
+
+假设你的被积函数是![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)有一个关于点![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)的幂级数展开，其系数不会变得狂野。然后我们可以为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)附近的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)写
+
+![](img/tex-824a675a6d09704d48c3356de8ff0e31.gif)
+
+其中![](img/tex-217800d9eed1e20a4e04dceee62ede45.gif)是在![](img/tex-7218608ec40f05f7208d95d13593f61c.gif)评估的![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的![](img/tex-571ab29c8833da1e54226cfb8554fd52.gif)导数。
+
+当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的范围从![](img/tex-197c847e7943e18d0af4b5692b0a5e32.gif)到![](img/tex-5a8fd6b282cac089a6637828e592861e.gif)时，我们希望找到![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)下的区域，长度![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)的间隔。
+
+请注意，如果我们形成![](img/tex-1b4484994dd405c6ad4018c99bc5598f.gif)，那么右边第二个词![](img/tex-12115722edae414b7b6342965e383d39.gif)的贡献将被取消。事实上，所有涉及奇数导数的条款都将取消：
+
+![](img/tex-aac60d29eef4297c1fdc31b1ac946173.gif)
+
+我们可以通过积分这个等式的两个方面得出结论：
+
+![](img/tex-b0c4ae9d070ce740f579d42823d06d64.gif)
+
+右边的第一个词是![](img/tex-d4be5e7778465a6db79299477ebc11dd.gif)，下一个是![](img/tex-03efd0b589764b8824bc653d6ec4ab73.gif)，其余的术语与![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的更高权力成比例。
+
+前一个等式的![](img/tex-d4be5e7778465a6db79299477ebc11dd.gif)的第一项与![](img/tex-9a50c447ae6bb82eeb7658818d618553.gif)的![](img/tex-c8afa0f156acc4c01fa62037fbfe2fa6.gif)和![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中的较高功率项不同。
+
+这个论点的结果是，![](img/tex-e3ef30d1ed7b83d81f3d5c1fac369eca.gif) ![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)区间内的![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的积分近似产生与![](img/tex-212f038037d2d4b09431a7cd618abe5a.gif)成比例的误差以及![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的更高奇数幂的项。 ![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中没有线性误差，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中没有二次误差。事实上，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中的误差项立方是![](img/tex-97dfe7a9aa5703a2e5551cea5cb215f1.gif)。
+
+如果我们将![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)减少![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子，![](img/tex-777c73b7b0d1e4a3edbe7b1284271f69.gif)减少![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子，但这可以通过现在有两倍的间隔这一事实来补偿，每个间隔的一半大小。在减少之前出现。因此，第一项对整体积分的贡献通常不会有太大变化。 （当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)发生变化时，唯一的变化将来自![](img/tex-1217f5b18c1cf99b3a879fdc4cdd1033.gif)等术语的评估变化。）另一方面，立方误差项的贡献将大约减少![](img/tex-c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.gif)的因子，并且，因为那里将是两倍的间隔，它们对整体误差的贡献将大约减少![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)的因数。
+
+**那么？**
+
+**这意味着如果我们在分割之后将估计值取四倍并在分割之前减去估计值，我们将（几乎）消除第一个误差项，并且得到的下一个误差项将在分裂时减少![](img/tex-c74d97b01eae257e44aa9d5bade97baf.gif) ]。我们得到![](img/tex-74bdefab9757a081606b181ac29f1db2.gif)或![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)的估计值，因此我们除以![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)以得到积分的估计值。**
+
+所以这是我们的计划：
+
+首先，我们使用左手规则计算从起点到任何后续点的积分。正如我们将要看到的，这很容易做到。
+
+**怎么样？**
+
+**我们可以通过创建两列来实现：![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)列和整数列。**
+
+**![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)列（比如 A 列）以积分的下端开始（比如在 A5 中）。然后，对于![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)大于![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，我们将 Ak 设定为 A（k-1）+ d。**
+
+**在左规则积分列中，我们将 Ck 设置为 C（k-1）+ d * f（Bk）。**
+
+**从 A5 的内容到 Ak 的内容的左手规则积分将是 C（k-1）。**
+
+实际上，当你想要改变你正在积分的函数时，如果函数的所有评估都在一列中，那么你最好关闭。因此你可能想要将 Bk 设置为 d * f（Ak），将 Ck 设置为 C（k- 1）+ Bk。
+
+接下来，我们将 C 列中的左手规则积分转换为 D 列中的梯形规则积分。
+
+**How?**
+
+在 D 中，我们向 Ck 添加了一个术语，它除去了一半的 A5 * d 和一半的 d * Ak。明确地，我们将 Dk 设置为 Ck - （A $ 5 + Ak）* d / 2。
+
+从 B5 到 Bk 的梯形规则现在出现在 Dk 中。
+
+接下来我们将其转换为 E 列中的 Simpson 规则。
+
+**How?**
+
+**让我们使用端点![](img/tex-1092160668baf2987b87441af6165d3b.gif) ![](img/tex-c7ecd6c51bc23f51388e083fca873ad3.gif)** 调用间隔大小为![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的梯形规则结果
+
+**我们要做的是重复间隔大小![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)的梯形计算，然后形成![](img/tex-5e4f4c3c54c5b3815504f28d48bee613.gif)** 结果的错误表现为![](img/tex-c4bf864f400738965e81bde260d2e351.gif)。这个估计称为辛普森规则。
+
+为什么我们以这种方式计算辛普森的规则？因为很容易应用左手规则，所以很容易让 Trapezoid 规则从中得到一列，并且容易将另一列中的间隔大小加倍。完成后，根据上面最后一段中的表达式，在第三列中，很容易从电子表格中的旧规则中形成新规则。
+
+当![](img/tex-74b19781bf35c588e8ad5addcf4f717a.gif)与![](img/tex-f50341d1e03674cc8f2ad9c677c202dc.gif)位于同一行时，最容易实现此目的。回想一下，行![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)对左手规则的贡献是![](img/tex-bd7ab154ddea4d57c25cc41295a0e1be.gif)，它被添加到对应于![](img/tex-14464ac1dfe6fa8ad8fda94bb6f01571.gif)的行中的结果中。对于![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)，此贡献加倍并添加到前一个加倍![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)行的结果，该行是![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)高于它的。
+
+使左手规则成为从开始![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)到![](img/tex-1d34499556b920bd4838ad15a73540f8.gif)的积分的梯形规则的校正是从包括初始值和总和的部分和减去第一个和最后一个贡献的一半![](img/tex-1d34499556b920bd4838ad15a73540f8.gif) 。
+
+事实证明，将![](img/tex-1a687a9c19c88613b981037caf661e11.gif)放在与![](img/tex-e303484657b2970e115e3abf8e0e8b09.gif)相同的行中没有太大困难，这使得形成![](img/tex-105044bc386a7d049c6109802923f8cb.gif)变得容易。
+
+**嗯，你到底做了什么？**
+
+将间隔尺寸![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)放在某个框中，比如 A1。
+
+在 A 栏中，将起点设为 A5，在每一步从 A6 开始，将值增加![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。因此，在 A6 中，您可以放置= A5 + A $ 1，并且可以根据需要将 A6 复制到 A 列。
+
+在 B 列中，将被积函数的值![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)置于相应的参数：B5 put = A $ 1 * f（A5），并将其复制到 B 列。
+
+在 C 列中，放置 B 列的部分和：这意味着，在 C5 put = C4 + B5 中，并向下复制 C 列。
+
+在 D 栏中，输入 D5：= - （B5 + B $ 5）/ 2 并将其复制到 D 列。
+
+从您的开始（在 B5 中）到 Bk 中的值的梯形回答将是 Ck + Dk，您可以将 Ek 放入框 Ek，将 E5 设置为= C5 + D5 并将其复制到列 E 中。
+
+在 F 中，设置 F5 = 2 * B5 + F3 并向下复制 F（这将使左手![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)规则导致 F 的奇数行超出第 5 行。偶数行包含无用的垃圾。）
+
+在 G5 中，设置= 2 * D5 + F5 并向下复制 G，这将给出列 G 的奇数项中的区间![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)梯形结果的积分。
+
+在 H5 中，设置=（4 * E5-G5）/ 3 并复制。从 B5 的含量到 B 的含量（2k + 1）的积分的 Simpson 规则将出现在 H（2k + 1）中，对于![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)至少![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)。
+
+接下来，我们为函数![](img/tex-919b53596bff50a723c9f47d8cb4920d.gif)做一个明确的例子。
+
+预备：
+设置 A1 积分 f（x），B1 设置为 f（x）= xsin（x）
+设置 A2 设为 d，B2 设置为 0.01
+设置 A3 为起点，B3 为 1
+
+创建列：将 A5 设置为= B3，将 A6 设置为= A5 + B $ 2，将 A6 复制到 A 列。
+
+设置列 B 到 H 的![](img/tex-6ccdb47617c1104404e8ca9c18820c6a.gif)行，如下所示：
+
+在 B5 中，输入= B $ 2 * A5 * sin（A5）;在 C5 中，= C4 + B5;在 D5 中，= - （B5 + B $ 5）/ 2;在 E5 中，= C5 + D5;在 F5 中，= 2 * B5 + F3;在 G5 中，= 2 * D5 + F5;在 H5 中，=（4 * E5-G5）/ 3。将所有这些复制到列中。
+
+H（5 + 2j）等中的条目给出了 Simpson 的规则，从 A5 中的值到 A（5 + 2j）中的值进行积分。
+
+A 列包含变量，B 包含![](img/tex-775a8b7249e385ebf25f73e594d8f210.gif)，它是被设备乘以间隔宽度，C 包含其部分和，D 包含校正，使其成为 E 中的梯形规则，F 由![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)跳过取值和加倍对应于加倍![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的宽度，G 校正端点以为![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)创建适当中间端点的梯形规则，并且 H 根据![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)和![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)梯形规则答案创建 Simpson 规则。
+
+完成此操作后，您可以通过更改 A1 和 B1 的内容来更改![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)和起点。要更改被积函数，您只需要更改 B 列。
+
+您应该使用您知道的积分测试您的答案，以便在电子表格中找到任何错误。您可以尝试加倍![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)以查看是否会更改您的答案。如果没有，你已经很好地计算了你的积分。
+
+**这总能奏效吗？**
+
+不，如果你想融入无限，你显然不能这样做。如果你的被积函数在某个中间点变为无穷大，你也会遇到麻烦。或者如果它疯狂地摇摆。
+
+你可能能够从中减去你所知道的并且具有相同的单一行为的东西，然后能够处理其余的事情。
+
+**练习：尝试找到一个这个程序失败的函数（一个不会爆炸的函数）。** ![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)附近的平方根可能就是这样。
+
+如果添加按![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)跳转的列并对它们执行类似操作，则可以将![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的梯形规则替换为![](img/tex-033ebfb9d4175dfd8a5f2b5219a13a9d.gif)。有了它，你可以得到![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)和![](img/tex-c309f0daf5910cf7ac2038ce9520448a.gif)的两个辛普森规则计算。将![](img/tex-c74d97b01eae257e44aa9d5bade97baf.gif)乘以第一个减去第二个，并除以![](img/tex-9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.gif)，你将获得一个超级的辛普森规则，当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)减少![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)因子时，它会提高![](img/tex-ea5d2f1c4608232e07d3aa3d998e5135.gif)因子。
+
+**以下是![](img/tex-a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.gif)从![](img/tex-a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.gif)到![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)** 的积分结果
+
+&lt;button aria-controls="integral-simpsons-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#integral-simpsons-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/integral-simpsons.xlsx)
+
+Number of increments<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-inc-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+在第 I 栏中给出的确切答案是![](img/tex-99f845cb105a427b6e04e00bed7d6d0a.gif)（区分并看到）。
+
+要获得第 I 列，只需在 I5 中输入= SIN（A5）-A5 * COS（A5）-SIN（A $ 5）+ A $ 5 * COS（5 澳元）并复印。
+
+这里的辛普森统治对于![](img/tex-d3d9446802a44259755d38e6d163e820.gif)有效数字是准确的。红色的值是我们辛普森的规则答案。其右边的值是![](img/tex-99f845cb105a427b6e04e00bed7d6d0a.gif)的计算机评估，它是该积分的值。
+
+请注意，您只需更改列 B 即可切换到集成其他一些被积函数。这涉及 B5 中的新条目并将其复制到该列。
+
+可以通过更改 B3 来更改起点（称为积分下限）。
+
+在上面的计算中，![](img/tex-d3d9446802a44259755d38e6d163e820.gif)的位置精度发生在![](img/tex-f747e8219ef1aac184d6ee68155d55c0.gif)。
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--- a/docs/49.md
+++ b/docs/49.md
+# 第 15 章：平行数字的面积和体积;行列式
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/contents.html)
+
+## 介绍
+
+在本章中，我们讨论行列式，其大小描述区域和体积等。
+
+## 话题
+
+[15.1 签署的地区和地区](section01.html)
+
+[15.2 代表平行双面图](section02.html)
+
+[15.3 行列式的属性](section03.html)
+
+[15.4 评估行列式](section04.html)
+
+[15.5 用于评估电子表格中行列式的爱丽丝梦游仙境方法](section05.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/5.md
+++ b/docs/5.md
+# 第 1 章：数字
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们将讨论各种数字的属性。
+
+## 话题
+
+[1.1 什么是数字？有理数](section01.html)
+
+[1.2 小数和实数](section02.html)
+
+[1.3 复数](section03.html)
+
+*   [复数运算](complement01.html)
+
+*   [复数的几何表示](complement01.html#geometric-representations-of-complex-numbers)
+
+[1.4 可数集](section04.html)
\ No newline at end of file
--- a/docs/50.md
+++ b/docs/50.md
+# 15.1 有符号面积和体积
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section01.html)
+
+面积，如距离和习惯语言的数量，总是积极的数量。但是，我们会发现给它们提供标志很有用。
+
+因此，如果你正在开车，而另一辆车是![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)车前方的长度，你可以给你的车与它之间的距离分配一个正距离，如果它在你后面，我们可以指定一个负距离到相同。
+
+面积和体积也可以做同样的事情。如果您有一个 x 轴，则可以为其上方的面积指定正面积，为其下方的面积指定负面积。正如我们将要看到的，还有其他方法可以为面积和体积提供标志。
+
+**你为什么要这样做？**
+
+如果你绘制你和迎面而来的车辆之间的距离，当你静止不动时，这个距离会随着接近而减小，然后在经过你之后再次增加。因此，它的距离图看起来像是 V.如果我们使用有符号距离，并且车辆以均匀的速度移动，那么在您潜入之前的距离将是一条直线。通过之后，它的距离变为负值。直线比 V 类曲线更容易处理（因为它们具有线性特性）我们更愿意处理它们，这就是我们引入这些符号的原因。出于许多目的，标志是无关紧要的。
+
+正如我们希望你记得的那样，矩形的面积是它的两侧长度的乘积，如果我们忽略了我们通常做的标志。这是我们开始的基本事实。
+
+类似地，立方体的体积是其边长的立方体。三维矩形的类似物称为“长方体”，其体积是其三个边长度的乘积。你可以想象更多维度的类似陈述。
+
+我们现在将讨论倾斜平行四边形的面积，以及一般平行六面体的体积，它们是三维六边形图形，其相对侧彼此平行。
+
+**为什么？**
+
+你很快就会明白为什么。要有耐心，你可能会学到一些你现在不知道的东西。
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+++ b/docs/51.md
+# 15.2 表示平行边的图形
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section02.html)
+
+我们需要的第一件事是描述平行边形图的方法。
+
+这是一种方式。想象一下，我们在平面上有 x 和 y 坐标，我们将图的一个角放在原点，我们指的是![](img/tex-bb9fd77684530503f3765280b54c2413.gif)，![](img/tex-c990d225f74382963f954f8521c54aad.gif)。
+
+然后假设位于包含原点的边的另一端的平行四边形的“角”位于点![](img/tex-8f1f56c08f93a3a0589a20b64ef42462.gif)和![](img/tex-df91e7b0402fbda289e8ee7e78241c5c.gif)。最后一个角落位于![](img/tex-64be35ea08f6b65d1d0afedc705d63c5.gif)，因为两侧是平行的。 **（选择![](img/tex-64f47382e7ddc46583bf6d2abedf4140.gif)和![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的值并自己画一个图来验证这个陈述。）**
+
+然后，描述平行四边形的一种方法是给出由数字![](img/tex-64f47382e7ddc46583bf6d2abedf4140.gif)和![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)组成的正方形数组，排列如下：
+
+![](img/tex-e57403b35e897181c3dfd9933abba855.gif)
+
+**（这里的行是由满足原点的平行四边形边缘定义的向量。）**
+
+例如，具有角![](img/tex-4c14fc447246471c2d6402e3d74e4b49.gif)和![](img/tex-0f6c6ad8083308c6c59c917667b3fa2f.gif)的平行四边形可以由数组表示
+
+![](img/tex-75f32b265bcf6adc8ca63a0fe09a2034.gif)
+
+在三维空间中，我们可以通过将与原点共享边缘的三个角的坐标作为![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)数组的![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)的三行来描述在原点处具有一个角的平行六面体![](img/tex-a95cb108583d1b94902c3594b66142ff.gif)。
+
+在一个维度上，我们可以表示一个线段，它从原点开始并通过单个条目![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)转到点![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。
+
+因此，三个矩阵
+
+![](img/tex-bae031b33b2092dfde5f48b100356657.gif)
+
+可分别代表线段，平行四边形和平行六面体。
+
+我们给线段的（带符号）**长度**，平行四边形的面积和平行六面体的**体积**给出一个统一的名称，所有这些都带有一些适当的符号。
+
+每个被称为给定阵列的**行列式**。我们也可以为较大的方形数组定义具有相似含义的行列式。
+
+有时通过在数组的任一侧放置平行线或通过写 det（{array}）来表示数组的行列式。
+
+**好的，你已经定义了这些有符号面积等等，但这有什么用呢？**
+
+所有维度中的所有这些量都具有一些奇妙的属性，我们可以将其转换为行列式的属性，并且我们将能够使用它们来计算所有这些。不仅如此，我们还可以在电子表格中以任何方式计算它们，只需要一条非平凡的指令和一些复制。
+
+（在 Excel 电子表格中，有一个名为 mdeterm（）的命令，其参数是一个数组，它计算行列式，因此面积和体积等等。我们可以不使用此命令执行相同的操作。）
+
+**练习：**
+
+**15.1 以两种不同的方式表示平行六面体在![](img/tex-a95cb108583d1b94902c3594b66142ff.gif)和相邻角的\（（1,2,3），（1,0,1）\）和![](img/tex-7ae3e68b70bbc7335b7e7bb290e8e2a3.gif)处的角。**
+
+**15.2 你能算出这个平行六面体的体积吗？**
+
+**15.3 三角形的面积与三角形的两边作为边的平行四边形的面积有什么关系？**
+
+**15.4 如果上面![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)阵列的![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)描述的平行六面体的一个角落在原点，那么“对面”角落的位置是什么。 （弄清楚自己在这里有什么相反的意思。）**
+
+**这些“精彩”属性是什么？**
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+# 15.3 行列式的属性
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section03.html)
+
+第一个属性，我们从行列式的定义和我们已经知道的面积和体积中推断出来的，是一个数组的行列式的值，其中**所有**是主对角线上的非零项。这样的阵列描述了一个矩形或长方体的图形，其边与![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)和![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)以及任何轴平行。我们已经知道这个行列式的大小必须是其对角线条目的乘积。我们定义的标志是该产品的标志。
+
+![](img/tex-dd1c22485e8a33b3d9ee2c7ca998eb55.gif)
+
+因此，上述三个阵列的决定因子分别是![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)和![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)。
+
+**这太棒了？**
+
+还没有。我们真的希望能够评估更多的一般行列式。给定行**的行列式符号取决于您选择列出代表图形边缘的行的顺序，我们将会看到。**
+
+我们感兴趣的是倾斜的平行四边形面积，使得侧面彼此不垂直或者旋转，使得侧面不平行于轴。
+
+这是一个很好的事实：如果你固定平行四边形的底边（它的一边），那么它的面积就是平行四边形顶部高于该底边的高度乘以底边的长度。平行四边形倾斜多少并不重要，它只是顶部和底部之间垂直的距离。
+
+类似的属性保持在任何维度：n 维图形的大小是其![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif)维度基础的大小，乘以图形顶部垂直于其基础的高度。
+
+这告诉我们：**我们可以将数组中一行的任意倍数添加到任何其他行，而不更改其行列式。** 这是因为在任何方面我们都可以选择**包含原点**的任何面作为基础，**以及从原点到其邻居的所有线条之外的所有线条，它们定义行阵列，位于那个基地**。通过面部中的任何矢量更改不在脸部的线条将不会改变图形的高度;它只能改变人物倾斜的方式。
+
+（顺便说一下，这表明了计算行列式的通常方法。我们将行的多个行添加到其他行以消除所有倾斜，以便行列式是其对角元素的乘积。这称为行减少。）
+
+从前两个开始的另一个奇妙事实是：行列式在其数组的任何行（或列）中是**线性的。** 这意味着如果将某行乘以![](img/tex-8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.gif)，则行列式的值会增加![](img/tex-8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.gif)。这也意味着如果你采用两个不同的**一行**的数组，就像下面的两个，它们的第一行不同：
+
+![](img/tex-83e51945ec514ebf7c39f98d14f4e977.gif)
+
+然后通过在不同的行中求和并保持其他行相同来得到数组的行列式（第一行![](img/tex-2e6519b46c5912511db8650ea6aba11b.gif)和第二行![](img/tex-d6b4a0b617da37c8562df9cd9bb3697d.gif)）是两个数组的行列式之和开始于。
+
+该陈述表示这样一个事实，即基数上方的总和数字的高度是两个加数数字的高度之和。
+
+**练习 17.5 通过适当地相互添加行来显示交换两行数组会改变其行列式的符号。 （提示向另一行添加一行，减去另一种方式并添加第一种方式;或类似的东西）**
+
+**这一切有什么好处？**
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+# 15.4 求解行列式
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section04.html)
+
+那么，从前两个事实来看，我们可以计算任何行列式的值，从而计算任何平行边图的面积或体积或任何值。
+
+**怎么样？**
+
+好吧，我们可以将多个行相加，以摆脱对角线元素。当我们完成时，我们可以推断出行列式的值是对角元素的乘积。
+
+实际上，我们只需要将对角线一侧的元素设为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，并取对角线元素的乘积。摆脱其他人有时是一件好事，但根本不会影响对角元素。
+
+让我们评估以下数组的行列式：
+
+![](img/tex-83e51945ec514ebf7c39f98d14f4e977.gif)
+
+如果我们从第一个矩阵中的第二行中减去![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)乘以第一行，我们得到第二行的![](img/tex-0e0518808e2bcdd89e1dc0342d0c3727.gif)，因此行列式为![](img/tex-b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472.gif)。在第二个数组中，我们从第二个数组中减去![](img/tex-665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.gif)乘以第一行，并将![](img/tex-a3132140ec9b17eb18b40e7c4f0243d3.gif)作为新的第二行。因此，第二基质的行列式是![](img/tex-e9e2d0e7f31469e64f6434cd932d5861.gif)或![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)。
+
+这通过线性告诉我们这两个矩阵之和的行列式，
+
+![](img/tex-b38f4b90f12d696dc0ac2df961a66f7a.gif)
+
+是![](img/tex-557810e78db80d0682c17fbec3e7df6b.gif)或![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。我们可以通过从第二行中减去第一行的![](img/tex-1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.gif)来验证这一点，将第二行转换为![](img/tex-88ca3eb1c27dbd4b2ea2a65ba0652cb3.gif)，并且对角元素的乘积是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。当两个数组具有相同的基数时，您可以以这种方式应用行列式的线性，并且仅在非基数行中不同。
+
+用于评估两个矩阵上使用的行列式（有时称为“行减少”，有时称为“高斯消除”）的这个过程可以应用于任何大小的正方形阵列。 ![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)阵列很容易为![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)做，但即使这样也很容易出错。对于![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)而言![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)仍然相当容易，但是大多数人会在这个过程中犯下一些愚蠢的错误，因为这样做的步骤太无聊了，而且大部分时间都会出错。即使你和我可以期望![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)行列式在大多数情况下通过这种方法手动完成时也会错误![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)，因为这些步骤非常简单且无趣。你的思想会一路走来，你很有可能搞砸了。
+
+**这是评估行列式的唯一方法吗？**
+
+不，至少还有其他两种方式，其中一种方式同样无聊，容易出错。另一个是神奇而有趣的，但令人惊讶的是它从未被教过，很少有人听说过它。
+
+一种标准方法是为刚刚描述的方法的结果编写公式。如果从行![](img/tex-8f1f56c08f93a3a0589a20b64ef42462.gif)和![](img/tex-df91e7b0402fbda289e8ee7e78241c5c.gif)开始。要将![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)转换为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，请从第二行减去![](img/tex-093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.gif)的第一行。得到的对角元素是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-8ac376a45d027258fc8b259c9be1a92c.gif)，它们的产物是 **![](img/tex-6266cf258ef35603d31c7da7ed527c02.gif)** 。这是一般二乘二阵列的行列式的公式。计算三乘三个行列式的标准方法是在三个向下倾斜的对角线上取条目的乘积，并从它们的总和中减去三个向上倾斜的对角线中的每一个上的条目乘积的总和。
+
+**练习 15.6 通过上述任何方法评估以下行列式。**
+
+![](img/tex-bae031b33b2092dfde5f48b100356657.gif)
+
+**那么神奇的方法是什么？**
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+# 15.5 用于求解电子表格中的行列式的爱丽丝梦游仙境方法
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section05.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter15/section05.html)
+
+你可能知道，爱丽丝梦游仙境的作者刘易斯卡罗尔是一位数学家，我们的方法使用他着名的行列式定理。该定理如下：
+
+假设我们有一个方阵![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)，其顶行和底行称为![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)，其左右列是![](img/tex-d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.gif)和![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)。我们定义了以下附加数组。 ![](img/tex-88fdf810aa4928562bad8d1ea51a0cd1.gif)和![](img/tex-032e2979e453aa9d7364ac57db4c4c8a.gif)，通过删除![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)顶部的行![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)和左侧的![](img/tex-d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.gif)列，右侧的行![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)和右侧的![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)列获得的数组，左边的![](img/tex-d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.gif)行![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)，左边的![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)，右边的![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)，最后，![](img/tex-b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif)位于顶部，![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)位于底部，![](img/tex-d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.gif)左边是![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)，右边是![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)。
+
+如果![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)是![](img/tex-9c79b95bd5c976488be3eb116502d690.gif)阵列的![](img/tex-9c79b95bd5c976488be3eb116502d690.gif)那么接下来的四个是![](img/tex-40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.gif)阵列的![](img/tex-40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.gif)，最后一个是![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)阵列的![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)。
+
+那么下面的等式成立：
+
+![](img/tex-bca3b9082064e9c72f996ac70a7c4260.gif)
+
+**这意味着阵列![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的行列式可以写成一个较小的数组的行列式的乘积除以两个较小的![](img/tex-717e94893e8481c284fc9e8a10155b7a.gif)的![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)数组的行列式。 ** 
+
+**这一切有什么好处？**
+
+我们将![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)数组的任何![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的行列式定义为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，并且由数字组成的逐个数组是它自己的行列式。我们的两个两个块由四个一个一个阵列组成，（![](img/tex-64f47382e7ddc46583bf6d2abedf4140.gif)和![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)）在每个角落\（\ begin {pmatrix} a＆amp; b \\ c＆amp; d \ end {pmatrix} \ ）
+
+将该定理应用于这种情况，![](img/tex-4d2ac3b3f5ac26506ace5c1cacaa477b.gif)是![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，![](img/tex-3c7ece647e93dd5dfa6d3c87f8d537ff.gif)是![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)，![](img/tex-c04cb08ca3e30335a63092139da66afe.gif)是![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)，![](img/tex-f795abbefcbcbe7b12f869d2f24edfc9.gif)是![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)。 ![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)什么都没有，我们定义为具有行列式![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+因此![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)阵列![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的刘易斯卡罗尔定理表明 **A 的行列式，即![](img/tex-93fc4bc7f74dd39611c6d9713b243761.gif)** ，可以写成相同的东西除以 1.这是我们已经观察到的。
+
+现在假设我们从一个三乘三的数组开始：
+
+![](img/tex-334937584e7513fefdb7458d899b28f3.gif)
+
+该阵列有四个二乘二子阵列，相邻的行和列，一个满足每个角，这些是![](img/tex-4d2ac3b3f5ac26506ace5c1cacaa477b.gif)，![](img/tex-3c7ece647e93dd5dfa6d3c87f8d537ff.gif)，![](img/tex-c04cb08ca3e30335a63092139da66afe.gif)和![](img/tex-f795abbefcbcbe7b12f869d2f24edfc9.gif)。该定理告诉我们，数组的行列式由这些数组的左上角和右下角的行列式的乘积给出，减去它们的右上角和左下角的行列式的乘积，全部除以中间元素是 d。这里是从左上角开始到顺时针方向绕![](img/tex-c04cb08ca3e30335a63092139da66afe.gif)，![](img/tex-f795abbefcbcbe7b12f869d2f24edfc9.gif)，![](img/tex-4d2ac3b3f5ac26506ace5c1cacaa477b.gif)和![](img/tex-3c7ece647e93dd5dfa6d3c87f8d537ff.gif)。
+
+![](img/tex-10ce7b2b6d7dc59a115185df974853ed.gif) ![](img/tex-170cf3cc334093ac7c9ba235abb36c8e.gif)
+
+计算这些对于左上角的条目的每个行列式，给出了一个二乘二的数组，其元素是这四个数组的两个两个行列式。这里的第一件好事是，所有四个都可以通过复制第一个的计算，一个向右然后向下复制来计算。
+
+在这种情况下，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)是原始阵列的中间元素![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，而![](img/tex-4d2ac3b3f5ac26506ace5c1cacaa477b.gif)，![](img/tex-3c7ece647e93dd5dfa6d3c87f8d537ff.gif)，![](img/tex-c04cb08ca3e30335a63092139da66afe.gif)和![](img/tex-f795abbefcbcbe7b12f869d2f24edfc9.gif)是紧靠上方的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)阵列的四个![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，顺时针方向从左上角的那个开始。
+
+如果我们用![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)行列式将这四个![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)写成
+
+![](img/tex-6411548ded2012da9652cde84946b889.gif)
+
+我们可以通过刘易斯卡罗尔方法![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)计算![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)决定因子![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)。
+
+更好的是，我们可以进行设置，以便我们可以计算这个数组的两个行列式除以![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，使用相同的指令来计算这些![](img/tex-a38dbe819cd26b5066df29fcda127e9f.gif)只复制了一个地方到右边，四个地方。通过刘易斯卡罗尔的定理，结果是我们原来的三乘三阵列的三乘三的行列式。
+
+甚至更好的是，如果我们开始使用更大的初始方阵，比如![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif) ![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)，首先适当地复制会使我们通过![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif) ![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif)阵列产生![](img/tex-a438673491daae8148eae77373b6a467.gif) ![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif) ]行列式，更多的复制由![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)由![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif) ![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif) ![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)决定因子产生![](img/tex-ba81144e78f150a37fbe511667f9594b.gif)，直到我们通过![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)数组得到单个![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，其条目为![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)通过![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)原始数组的行列式。 （我们也在这些之间产生一排垃圾）
+
+我们很快就会看到您必须输入的一条指令是什么，以及如何设置它。
+
+关于这个还有另外两个好处。首先，一旦设置为任何大小，您可以以任何方式更改初始数组，电子表格将立即为您提供新数组的行列式。
+
+其次，使用 Cramer 的规则，您可以使用相同的方法通过![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)线性方程立即求解![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)系统，同样能够随意更改方程并立即获得解。 （我们稍后会讨论这个问题。）
+
+我不确定你能做多大![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)并且确实有效。但![](img/tex-44d21af66b0874d9b45905ea79807cb3.gif)或![](img/tex-f713080e186baab15f88c1f6008ceb50.gif)绝对可以。
+
+但是有一个问题。这个过程涉及一个分工。为了处理三个三个数组，我们将数组的中间元素除以上面的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。为了处理四个四分之一，沿着我们划分原始数组的四个中间元素中的每一个，然后通过这四个元素形成的数组的行列式，其中任何一个可能是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)是否定的。我们将会看到这个问题很容易处理。
+
+**好的，你怎么能做到这一切？**
+
+我们将通过为四乘四阵列设置行列式查找器来说明这一点。
+
+假设我们有一个四乘四阵列，你想要它的行列式，我们将它定位在 A6 B6 C6 D6 到 A9 B9 C9 D9 的位置。
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+然后将![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)放在 B3 位置，从 B3 到 B5 向下填充到 D3 到 D5，将![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)放在所有这些位置。这些线在这里代表![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)阵列的每个平凡![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的行列式，我们将除以。
+
+现在这是关键的一步。 **将=（A6 * B7-A7 * B6）/ B3 放入 A10。** 将其复制到 B 列和 C 列中，C 中的结果为=（C6 * D7-C7 * D6）/ D3。然后将第 10 行复制到第 18 行。
+
+**你得到了什么？**
+
+A10 B10 C10 包含原始阵列的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)决定子的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)数组的第一行。
+
+A11 B11 C11 包含第二行相同。
+
+A12 B12 C12 包含第三排相同。
+
+第 13 行是垃圾。
+
+A14 B14 包含原始阵列的![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)决定簇![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)阵列的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的第一行。
+
+A15 B15 包含第二行相同的行（其余的行 14 和 15 都是垃圾）。
+
+第 16 和第 17 行都是垃圾。
+
+**A18 包含原始数组的四乘四行列式，除非沿着除以 0 的方式（该行中的所有其他条目都是垃圾）。**
+
+**如果数组条目 A22 或 B22 或 A23 或 B23 是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，或者它们的二乘二矩阵是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，则此电子表格将除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，您将无法获得评估。要解决这个问题，只需将 _ 的原始条目 _ 替换为微小和正数的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，（当条目为整数时，如![](img/tex-3b71137b0196a3cef54e8b7fe41a2883.gif)）。如果你也看到 A22 * B23 - B22 * A23 不是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，A18 将是![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)阵列的![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)的行列式。**
+
+**一旦四个中心阵列条目不为零，如果你有 A22 * B23 - B22 * A23 = 0，那么几乎任何更小的东西添加到这四个条目中的任何一个将使该组合非零，因此 A18 将是行列式。除非行列式实际上是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，否则可以通过答案中无法看到的方式轻松删除零。**
+
+**注意：如果![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)有任何划分，则通过更改原始阵列使所有更改消除相同。永远不要在计算的后期阶段进行更改！**
+
+以下是电子表格输出的外观。可以修改第 6 行到第 9 行的条目，并自动计算 A18 中的行列式。如果使用非数字，则单元格的边框将变为红色，计算将中止。蓝色条目必须为非零。
+
+&lt;button aria-controls="determinant-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#determinant-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/determinant.xlsx)
+
+|  | 一个 | 乙 | C | d |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 1 | 行列式计算 |  |  |  |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 2 |  |  |  |  |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 3 |  | 1 | 1 | 1 |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 4 |  | 1 | 1 | 1 |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 五 |  | 1 | 1 | 1 |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 6 | &lt;input aria-label="a11" class="form-control" id="a00" placeholder="a11" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a12" class="form-control" id="a01" placeholder="a12" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a13" class="form-control" id="a02" placeholder="a13" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a14" class="form-control" id="a03" placeholder="a14" type="text"&gt; |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 7 | &lt;input aria-label="a21" class="form-control" id="a10" placeholder="a21" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a22" class="form-control" id="a11" placeholder="a22" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a23" class="form-control" id="a12" placeholder="a23" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a24" class="form-control" id="a13" placeholder="a24" type="text"&gt; |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 8 | &lt;input aria-label="a31" class="form-control" id="a20" placeholder="a31" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a32" class="form-control" id="a21" placeholder="a32" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a33" class="form-control" id="a22" placeholder="a33" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a34" class="form-control" id="a23" placeholder="a34" type="text"&gt; |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 9 | &lt;input aria-label="a41" class="form-control" id="a30" placeholder="a41" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a42" class="form-control" id="a31" placeholder="a42" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a43" class="form-control" id="a32" placeholder="a43" type="text"&gt; | &lt;input aria-label="a44" class="form-control" id="a33" placeholder="a44" type="text"&gt; |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 10 |  |  |  |  |
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+| 12 |  |  |  |  |
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+| 13 |  |  |  |  |
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+| 14 |  |  |  |  |
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+| 15 |  |  |  |  |
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+| 16 |  |  |  |  |
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+| 17 |  |  |  |  |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+| 18 |  |  |  |  |
+| --- | --- | --- | --- | --- |
+
+**练习：**
+
+**15.7 为![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)行列式评估![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)设置相同的东西。 （不同之处在于![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)顶部的![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)数组必须是![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)，![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)你的输入数据将是![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)。你除以![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)顶部通过![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)行列式左上方![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)，并将其复制到第一个![](img/tex-a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif)列中。如果左上角![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)在 B3 中，那么![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif) ![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)行列式在哪里？ HTG15]**
+
+Cramer 的规则给出了一组线性方程中变量解的公式。它表示通过用方程中的常数代替包含方程中变量![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)系数的列，除以系数原始数组的行列式得到的数组的行列式是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的解。
+
+如果在系数数组之后添加常量列，则可以通过此方法与行列式一起计算这些行列式中的每一个，并在它们之后复制系数数组。从第二列开始的数组将是那些参与 Cramer 规则分子的数组，除了符号。这意味着线性方程的解将是包含行列式的行中的条目的适当比率，具有适当的符号。 （![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的行必须向右扩展，你必须进一步复制到右边。）
+
+**如果此过程导致![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)划分，我该怎么办？**
+
+仅当 A22 或 A33 或 A23 或 A32 为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)或具有行（A22 A23）和（A32 A33）的阵列的行列式是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)时才会发生这种情况。您可以在开始之前检查这一点，如果发生任何这些事情，请为每个![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)添加类似![](img/tex-3b71137b0196a3cef54e8b7fe41a2883.gif)的东西;如果没有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)将![](img/tex-3b71137b0196a3cef54e8b7fe41a2883.gif)添加到其中任何一个;如果![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)都将![](img/tex-3b71137b0196a3cef54e8b7fe41a2883.gif)添加到其中三个，将![](img/tex-17a7f024a60838b728d3181e3f15c589.gif)添加到另一个。如果![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)数组的![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的一行或一列是![](img/tex-81f79f74f2c8ea2118b49220f04d2789.gif)且其他行或列条目相同，则添加到一个![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)并从另一个中减去相同的内容。这将始终导致程序避免除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。
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--- a/docs/55.md
+++ b/docs/55.md
+# 第 16 章一些纯数学
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/contents.html)
+
+## 介绍
+
+在本章中，我们将讨论无限序列的极限概念和其他事物。这些都是为了激发您对这些主题的兴趣，所以请阅读它们以获得乐趣。
+
+## 话题
+
+[16.1 极限和点集拓扑简介](section01.html)
+
+[16.2 紧集](section02.html)
+
+[16.3 杂注](section03.html)
+
+[16.4 Lebesgue 积分](section04.html)
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--- a/docs/56.md
+++ b/docs/56.md
+# 16.1 极限和点集拓扑简介
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section01.html)
+
+数学家，特别是自 19 世纪世纪以来，想要使微积分的主题严格，这意味着完全逻辑上定义。如果在这一点上它的图形“看起来像一条直线”，我们已经调用了一个可微分的函数。这可能是直观的，但肯定比严谨更直观。
+
+为了引入严格，我们定义了序列的**限制**的概念。
+
+无数的数字序列被称为**收敛**，如果对于任何标准，（比如说数万亿，无论这意味着什么），超出序列中的某一点，任何两个条目之间的差异小于该标准。
+
+序列![](img/tex-ff8ba3a12fb7cabc170b22e00b65a78f.gif)收敛，因为超过第十亿个术语，任何两个条目之间的差异小于万亿分之一。
+
+给定集合**中的数字序列收敛到极限![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)** ，如果它收敛并且任何条目和![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)之间的差异小于该标准，超过某一点。
+
+序列![](img/tex-ff8ba3a12fb7cabc170b22e00b65a78f.gif)收敛于![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。
+
+我们说函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在参数![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)中是**连续**，如果**它的值在收敛到![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的任何数字序列上，收敛到它在![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的值。我们把它写成![](img/tex-db7c7513ae39d34d28fa451d4ef86693.gif)** 。
+
+我们说 ****在![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)是可分化的，如果对于任何数字序列![](img/tex-744999349916b46541652d4c1489b93d.gif)它们![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)都没有收敛到![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的极限接近![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif) ![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif) ]即![](img/tex-eb71b5ca5649ef976ef2944800554dfd.gif)存在，我们将![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数称为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif) ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，我们将其写为![](img/tex-fb53fd59a0289534864226effa029e39.gif)和![](img/tex-4b161e67afe142e8b951e94a7d0be2dd.gif)。****
+
+一旦定义了限制，就可以制定许多精彩的概念和定义。
+
+如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的元素的每个会聚序列收敛于![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的数字，则称![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的数量为**。**
+
+集合![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的**极限点是那些集合的成员序列的极限数。**
+
+如果一个集合包含其所有限制点，则**关闭**。
+
+请注意，根据定义，![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)不是正数，因此有正数的序列不会收敛到正数，因为它们会聚到![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。因此**正数不会被关闭。**
+
+请记住，**有理数是超出某些点无休止地重复某些十进制数字序列的数字。**
+
+考虑一个数字，在小数点之后，以![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)开始并且具有一系列零和![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，在![](img/tex-d6c87401ed2f8589600d6db807438139.gif)出现![](img/tex-d6c87401ed2f8589600d6db807438139.gif)之后具有正好![](img/tex-363b122c528f54df4a0446b6bab05515.gif)连续零。这个数字在某些点之后不会重复，因此它不合理。但它是通过零替换![](img/tex-dee7141541b0575f29b52d84bb7580f6.gif)之外的所有条目（因为![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)转到![](img/tex-9ab0347369b93587a1fc8dbd6c6a8862.gif)）得到的序列的极限，所有这些都是有理的，每个都以重复![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)结束。
+
+因此，**有理数不是封闭的。**
+
+实数的集合![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的**边界点是![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)和不在![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的实数集的极限点。** 因此，如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)是包含端点![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)之间的点间隔，则![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)是其边界点。此![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)已关闭，因为它包含所有可能的限制点。
+
+**开集**是**不包含边界点的集合。** ![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)之间不包括其端点的点间隔是开放的。如果定义的间隔仅包含其中一个端点，则它既不是打开也不是关闭。
+
+**封闭式套装是开放式套装的补充。** 由于闭集包含其所有边界点，因此它们的补充包含不在其中的所有空间点，不包含它们。
+
+**什么无限序列不会收敛？**
+
+当一系列实数无界时，总会发生非收敛：例如，序列
+
+![](img/tex-3150325d364b9823a479e3641ec8f947.gif)，不收敛。
+
+此外，具有多个极限点的有界序列不会收敛。例如
+
+![](img/tex-9163b98c381864fab75e52d75ef30c36.gif)具有极限点![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)和![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，并且不会收敛，因为连续项之间的差异总是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，并且永远不会低于![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+**其中每个元素序列在其内部具有至少一个限制点的集合被称为顺序紧凑。** 为了顺序紧凑，必须关闭集合![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)，否则，根据定义，其元素的收敛序列不会收敛到![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的成员。 ![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)必须是有界的，否则就会有一个无限增长的序列，没有有限的极限点。 （例如，选择序列的![](img/tex-d51f7c4ff64af84661852aa1927aa021.gif)成员，其元素中最小的元素至少比其![](img/tex-dee7141541b0575f29b52d84bb7580f6.gif)成员大一个。）
+
+另一方面，**如果实数的集合![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)是闭合的，则![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的每个元素序列在![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中具有至少一个极限点。**
+
+本声明来自两个我们将证明的观察结果。 **首先，如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)有界，其成员增加的元素序列，使![](img/tex-d51f7c4ff64af84661852aa1927aa021.gif)成员至少与![](img/tex-dee7141541b0575f29b52d84bb7580f6.gif)一样大，必须收敛。**
+
+如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)关闭，增加的序列必须收敛到其成员的最小上限，这将是![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的一个元素，这将是一个限制点。对于递减序列也是如此。
+
+其次，**每个无限序列必须包含一个正在增加的无限子序列，或者一个正在减小的子序列或两者都包含。**
+
+**这些陈述一起表示任何无限的实数序列都是有界的，并且因此是一个极限点。**
+
+我们证明了第一个：**数字集![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)的最小上界是至少与![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)的每个元素一样大的最小数。** 如果![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)由递增序列的成员组成，则该最小上限必须是序列的限制点。它肯定不能少于序列中的任何成员。如果它比所有成员都高出数万亿，那么它不是最低限度的上限。这证明了第一次观察。
+
+通过考虑有限的数字序列（例如长度![](img/tex-8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.gif)）得到第二次观察的优雅证明。我们证明每个这样的序列至少具有![](img/tex-8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.gif)的平方根的长度增加或减少的子序列。由于无穷数的平方根仍然是无穷大，因此该结果告诉我们任何无限序列必须具有无限增加或减少的子序列，其中任何一个必须具有极限点。
+
+为了说明这一点，从序列的开头开始，跟踪在每个成员处结束的最长增长和最长减少序列的长度。第一个这样的对将是![](img/tex-fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c.gif)，然后是![](img/tex-5aec75c7b1220ea1a1429e257bf0ebb6.gif)或![](img/tex-369a154d5347e70114104fec91cf72fe.gif)，取决于第二个成员是大于还是小于第一个成员（如果它与我们得到的第一个成员![](img/tex-39c6a79fe45ebffea0c1a626d317ece5.gif)相同）。
+
+奇妙的事实是没有两个成员可以拥有相同的数字对。如果说某个成员，![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)有一对![](img/tex-5270ae675fac24f97e172dcd9b18fa92.gif)，那么任何后续成员![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)将至少获得对![](img/tex-ff7c32a426747503e1a442870136cbba.gif)或![](img/tex-2a86e3fab54338d9c4688acae3c0d174.gif)，因为通过将![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)添加到如果![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)大于![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)，则在![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)结束的旧增加序列，并且如果![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)小于![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)，则类似地通过添加![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)获得减少序列。
+
+我们的主张是这样一个事实，即不同有序的正整数对的数量都小于![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)是![](img/tex-03e1d82e99b158334f241aacf764b61c.gif)。表达这一事实的另一种方式是在任何序列的第一![](img/tex-0f243e42ad90308e75812c53114c65cf.gif)成员中必须存在至少![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)的“单调”序列长度。
+
+这两个主张一起告诉我们**任何有界闭合的实数集都是紧凑的。**
+
+**练习：类似的结果适用于实数的有序对（或有序![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)元组）的集合，其对应于二维空间（或![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)维空间）中的点。推广上面的定义以应用于这样的集合，并证明这些对的任何有界闭合集合是顺序紧凑的。**
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--- a/docs/57.md
+++ b/docs/57.md
+# 16.2 紧集
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section02.html)
+
+一组实数![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)被称为**由开集**的集合![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)覆盖，当 **![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的每个元素包含在![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的至少一个成员中时。** （![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的成员可以包含![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)以外的数字以及![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的数字。）
+
+![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)被称为 **compact** ，如果**对于![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)通过开集，![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)被![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的一些有限成员覆盖。** 关于开放区间覆盖的一个重要事实是：**如果一个点![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)位于一个开集![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)中，它位于![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)的开放区间内并且距离边界点是正距离那个间隔。**
+
+我们现在将证明，**有限闭合的实数是紧凑的。** 参数不依赖于实数之间的距离定义，只要它作为距离有意义。
+
+打开的实数组是实线上不相交的开放区间的每个联合。我们可以考虑通过开集来覆盖![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)作为它们的开放区间的覆盖。包含数字![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的覆盖物中的每个开放集合在其中具有包含![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的开放间隔。因此，通过开放区域覆盖![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)实际上也是通过开放区间的覆盖。
+
+![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)覆盖![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的任何间隔都包含在![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)中其他区间的并集中，在![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)中是多余的，可以从中删除，![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的其余部分仍然是覆盖。
+
+每组封闭的实数都是不相交的闭区间的集合。例如，对于所有正![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)和数字![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，区间![](img/tex-63ec8d63efd4e3dfc1f450d56e5bbb96.gif)和![](img/tex-566231705044a5a12e17d4c25bf6c7c8.gif)的集合![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)是闭集。 ![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的最小数量是![](img/tex-b5a9867e53fa53c95c2bea1cdedc0a4e.gif)，最大值是![](img/tex-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.gif)。这里的数字![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)必须在其中，因为它是其他数字序列的极限点。
+
+我们可以通过以下无限的开放区间集合为![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)提供明确的封面：
+
+![](img/tex-2c6ec5cd2e726e13ca7fed2596503a9b.gif) ![](img/tex-5271d1768bdbc92a85b9194e0a132064.gif) ![](img/tex-46c6d0c48cbc78a5545bdd0c41d74ce8.gif)
+
+为证明这一说法，我们使用了几个事实：首先，_ 如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的数字序列是无穷大，则![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)必须至少有一个限制点![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)，因为![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)是关闭的，界。_ 第二，_ 如果![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)数字![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)被开集![](img/tex-4c614360da93c0a041b22e537de151eb.gif)覆盖，那么![](img/tex-4c614360da93c0a041b22e537de151eb.gif)包含的数字都小于和大于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。_ 最后，_ 包含一系列不同数字的限制点的开放集必须包含无限数量的这些数字。_
+
+我们可以通过实际构建一组覆盖![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的有限开放区间来证明这一结果。为此，我们将![](img/tex-8ac42c30dec10068185957dc69fce8e0.gif)设置为![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的最小数字，让![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)为![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中最小的数字![](img/tex-6daefbe0428efd37faed840230bb5fda.gif)，该![](img/tex-6daefbe0428efd37faed840230bb5fda.gif)不包含![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)成员。
+
+![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)可以是![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的下边界点（对于除上述示例中遇到的一个![](img/tex-363b122c528f54df4a0446b6bab05515.gif)之外的所有情况都会发生），或者它可以位于[的闭合区间的上边界的中间或上方。 HTG3]。
+
+我们将定义一个包含![](img/tex-6daefbe0428efd37faed840230bb5fda.gif)的开放区间![](img/tex-bdd126ecae7225745d0bca072310450c.gif)，从![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)的最大值开始归纳，如下所示：
+
+如果![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)是![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中其间隔中的最小数字，则让![](img/tex-f5d44f6b12ee23d9ffa17e3ec347a295.gif)成为![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中小于![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)的最大数字，让![](img/tex-62118b09b93d15f7bc988aa57f9732d2.gif)为![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)中包含两者的![](img/tex-62118b09b93d15f7bc988aa57f9732d2.gif)中的任何开放区间 HTG7]和![](img/tex-534329971d11f401046d9be595f07aff.gif)。
+
+否则，让![](img/tex-534329971d11f401046d9be595f07aff.gif)为![](img/tex-e66d2f1c2bb64cbb2ebd00c799a0e6b0.gif)中小于（且不等于）![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)的任何数字。根据![](img/tex-6a2678dc1ed2c4283bc793e9ad96e536.gif)的定义，![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)中含有![](img/tex-6daefbe0428efd37faed840230bb5fda.gif)和![](img/tex-534329971d11f401046d9be595f07aff.gif)的开放区间，任何这样的开放区间都是![](img/tex-bdd126ecae7225745d0bca072310450c.gif)。
+
+通过构造，![](img/tex-bdd126ecae7225745d0bca072310450c.gif)仅包含![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)中的一个，即![](img/tex-6daefbe0428efd37faed840230bb5fda.gif)。因此，根据我们上面的第三个事实，它不能包含![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)的限制点。这意味着![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的数量是有限的。还有![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的封面![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)。因此，![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)是通过开放区间覆盖![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的有限大小。
+
+在上面的例子中。 ![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)是来自![](img/tex-6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.gif)的![](img/tex-d4a65c0ede285632694b46e915ff638f.gif)形式的数字，直到![](img/tex-21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.gif)的值![](img/tex-21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.gif)约为![](img/tex-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.gif)，具有相似数量的阳性![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)，用于大致![](img/tex-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.gif) ![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)共计。
+
+**练习：
+1.证明上述声明![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)定义的封面![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)。
+2.表明通过上述结构从![](img/tex-f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.gif)成员中选择的有限开放区间集包含![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)覆盖中可能的最小开放区间。**
+
+我们提供上面的示例和构造，让您直观了解此结果的含义。通常的简单证据包括将任何闭合集![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)分成两半，选择 S 中的数字，并在![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的一半上重复这些动作，这需要覆盖无限数量的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)成员。在每个阶段，新![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的大小是旧![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的一半，并且如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)那么，至少有一半必须覆盖无限数量的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)成员。选择的数字序列，如果无限，则必须具有限制点![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，并且对于![](img/tex-2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.gif)任何覆盖![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的开放区间，![](img/tex-2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.gif)将包含我们序列中的所有点，其间隔长度小于![](img/tex-d826ee4c2a74c8dfeb805f81f5128920.gif)和![](img/tex-da6eb7845a7640771f8fa7276a0ce6a5.gif);并且这将大于我们在某个阶段的间隔![](img/tex-bdd126ecae7225745d0bca072310450c.gif)的长度，并且我们序列的所有后续成员将在![](img/tex-2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.gif)内并被它覆盖。 （这正是示例中![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)所发生的情况。）这意味着后来的![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)只需要覆盖![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)的一个成员。一个是非常有限的。这个证明的一个优点是它对于![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)维空间也是有效的，其元素是![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif) - 实数的元组，正如它对实数一样。 （这个论点在下面详细重复。）
+
+我们一直在实数的背景下讨论这些不同的概念，但它们也可以在许多其他环境中定义。限制的定义需要定义距离，但是给定这样的定义，还定义了闭合，开放，顺序紧凑，完整和紧凑的概念。定义任何一对之间的距离的点集称为度量。
+
+当没有度量时，通过指定整个集合的哪些子集是开放的，也可以定义这里提到的闭合和紧凑的概念。
+
+在任何距离 d 的度量空间![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中，我们定义点![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的 d 邻域由![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)的所有元素组成，其与![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的距离严格小于![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)。 ![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的任何开集![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)是其元素的邻域的并集，每个邻域与![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)相交。
+
+假设有限维空间 S 的闭合有界子集![](img/tex-0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)被开集覆盖。然后它也包含在这些集合中的邻域中。我们将争辩说，它必须被这些社区的有限集合覆盖，因此有限数量的那些开放集合。
+
+如果![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)是![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)维度，我们可以将![](img/tex-0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)切割成 n 个立方体的有限大小网格（我们指的是在任何方向上的长度最多都是常数的点集合，如果![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)是必须无限的![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)成员需要覆盖至少一个![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)立方体也必须是无限的。我们在任何这样的![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)立方体中选择一个点，减少对![](img/tex-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif)的注意-cube 并重复这些切割并选择步骤。由此产生的元素序列必须收敛到某个点![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，其封面必须仍然需要无限数量的邻域。但是单个点可以被一个邻域覆盖，由此论证告诉我们，从来没有需要无数的社区。
+
+这样的论证证明![](img/tex-5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.gif)中的闭合和有界集合对于在实数上定义的任何有限维空间都是紧凑的。
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+当没有指标时，奇怪的事情就会发生。假设我们有整数，或有理数或实数（没有它们之间的距离定义），而闭集包括所有有限集。这意味着开放集是所有元素集，只缺少有限数量的元素。
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+在任何这样的空间点和开放集的定义，所有集合都是紧凑的！
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+给定任何集![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)，以及![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)的任何封面，通过开集，以及该封面中的任何开集![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)，![](img/tex-f186217753c37b9b9f958d906208506e.gif)只能错过一个封闭集，这意味着有限集，比如![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)， ![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)的要素。这些可以被![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)封面中的大多数![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)开放式套装覆盖，这意味着原始封面中最多![](img/tex-765f09f9b6abc99f555c131a5475b9db.gif)开放式套件的![](img/tex-f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif)封面。
+
+因此，紧凑的集合通常不需要用这些定义来封闭或界定。
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+一组点中的开集的定义称为拓扑。
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+上面考虑的主题，称为点集拓扑，在![](img/tex-a498cafbd2e37b0e4d6c7aff19438e3a.gif)世纪被广泛研究，以使微积分严格。它包含许多有趣的结果，其中上面是一个微小的随机样本。
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+# 16.3 杂注
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section03.html)
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+限制的概念允许在不参考比例的情况下讨论微积分。也就是说，如果我们对函数![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)感兴趣，那么我们可以用![](img/tex-343728adf392e1fb8e99a4c859aa9c11.gif)将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)改为![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)，![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的结果函数具有与![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)相同的可微分性质，只有不同的导数。
+
+在现实世界中，我们可以在不是这样的情境中使用微积分。这里有些例子。对于适合于讨论太阳系的尺度，地球具有光滑且可微分的表面，并且大致为球形。对于我们可怜的凡人而言，这是非常不真实的：有山，高楼，地上的洞，树木，建筑物的屋檐和生物，这些在任何特定时刻由它们定义的表面根本不可分辨。 。厨房桌子的顶部可能看起来平坦，它的表面是可区分的，但在原子尺度上它充满了洞和诸如此类的东西，并且在亚原子尺度上我们不知道它看起来像什么。当我们在计算机上存储函数的值时，当这些值实际上是不合理的时，存储的内容因实际值中看似随机的量而不同，并且数据点之间的差异在这些差异的大小范围内是无意义的。
+
+这些事实并没有消除使微积分严格和规模独立的尝试的价值。如果我们必须描述函数连续或可微的比例，那对我们来说会很尴尬和烦恼。更公平地说，我们定义的函数在任何尺度上都是可微分的，但我们用来描述现实的模型仅在适当的尺度上与这些函数一致，当我们选择时，我们可以看到这些现象。
+
+它们还意味着我们可以在函数上使用微积分来表示与我们所关注的尺度“看起来像一条直线”的数量，即使它们没有以无穷小的尺度这样做。它也证明了我们试图从数据中得出结论，尽可能地从小的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的限制中得出结论，这是我们用数值计算做的事情。
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+# 16.4 Lebesgue 积分
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section04.html)
+
+在给定间隔内具有被积函数![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)的黎曼积分被定义为当![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)接近![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的大小![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的子区间的总和![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)乘以![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的值时的极限![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。该子区间中的任意点，当该限制存在时，并且对于所有区间中的每个点选择都是相同的。否则，该函数被称为在该间隔内不可积。
+
+所有有理数上的![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)和所有其他数上的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的函数在这个意义上显然不可积，因为任何非零大小的每个区间都包含有理数和无理数，因此这两个函数的值都是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)和![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。有许多非有理数而不是有理数，这表明我们可能忘记有理数，并说积分是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。另一方面，如果我们在计算机上执行数值计算，由于计算机将每个点都舍入到理性点，我们会找到每个区间的值![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+还有另一种方法来定义函数的积分，刚才描述的函数是可积的。
+
+我们可以通过平行于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴的切片分割成碎片，而不是通过平行于![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)轴的切片来分割由积分计算的面积。
+
+假设，为方便起见，被积函数是非负的，我们在有限的区间内进行积分。然后，对于每个切片，我们将发现对于域内的某些点，切片在被积函数之下，对于某些切片在其上方，并且对于一些而言，被积函数位于切片内。随着切片的大小减小，来自最后一个的贡献变得可以忽略不计，并且积分将是切片低于被积函数的贡献的总和。
+
+对于连续的被积函数，对于每个切片，它下面的点将在实线上形成一些区间集。我们很快就会注意到有很多种积分。在每一个中，我们为切片低于被积函数的点集的每个切片定义“度量”，并且所有切片上的这些度量的总和必须收敛到积分。
+
+什么构成措施？主要必要条件是不相交集的度量之和（这些是没有共同点的集合）是它们并集的度量（并集是任何一个中的点集）。这必须适用于任何有限数量的相互不相交的集合的联合：它们的联合必须具有与其度量的总和相等的度量。由于可数列表中的任何点都位于可数列表的有限初始段中，因此任何可数数量的集合的并集度量必须是其度量的总和才有意义。
+
+在通常的积分![](img/tex-91038a58fac677525eea0c095dffe4ae.gif)的情况下，间隔的度量是其长度。单个点是长度![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的间隔，并且具有![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)度量。
+
+这告诉我们，任何可计数的点集的度量必须是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的可数和，因此必须是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)以及此度量（和它们一样的度量。）
+
+我们可以得出结论，对于通常的积分，有理数上的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)和其余实数上的![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的奇怪函数是可积的。有理数的数字是可数的，它是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的可数和，因此是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。因此，其余部分的度量是积分的区间的长度，并且这个奇怪的函数确实是可积的。
+
+**还有哪些措施？**
+
+我们已经遇到了一些其他措施;如果我们处理![](img/tex-1e481522d798de99d252693cb40b4c10.gif)，即![](img/tex-9acc638b61f3875f1804df4864d86737.gif)，我们使用![](img/tex-a28df038d05bc10c4df27a92110c1e07.gif)定义的度量来积分![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)。例如，如果![](img/tex-0bcc6eb07326241ec09fb86e20e4f2b1.gif)是![](img/tex-32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.gif)，则间隔的度量不是其长度，而是在间隔的端点处其值之间的![](img/tex-32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.gif)的差异。
+
+此外，普通总和，例如![](img/tex-badb54b6f1fb1fcc76aa07f56321fff9.gif)，也可以写成 Lebesgue 积分，在这种情况下使用点![](img/tex-cf0de54527fb9fe9038126d0dc576d5a.gif)上的![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，以及![](img/tex-28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844.gif)和![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)其他地方的量度。
+
+自物理学家![](img/tex-a498cafbd2e37b0e4d6c7aff19438e3a.gif)世纪以来一直使用这种积分，并且有一段时间被数学家所厌恶。物理学家引入了“δ函数”![](img/tex-d46a8d4063ce69fb986372ba90c49397.gif)，它是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，除非![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)，但其积分是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。然后可以将表示前一段总和的积分写为
+
+![](img/tex-01b36ca01a64ca8134ef00128725ff2b.gif)
+
+delta 函数![](img/tex-d46a8d4063ce69fb986372ba90c49397.gif)的明显问题是当![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)为![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)时它必须是无限的。幸运的是，允许它作为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的函数在![](img/tex-3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b.gif)周围具有不可测量的小宽度的后果，在这种情况下它可以保持有限，对于所有用途都是不可检测的，在最终应用时，它被集成过度。从勒贝格积分的角度来看，这只是另一种衡量标准。
+
+如果您发现任何这些东西很有趣，请了解更多信息！
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+# 1.1 什么是数字？有理数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section01.html)
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+我们有很多种数字，但它们都以**自然数**开头，它们是![](img/tex-66ce05ea43c73b8e33c74c12d0371bc9.gif)，依此类推。
+
+如果算上你的数字和脚趾，你会来![](img/tex-98f13708210194c475687be6106a3b84.gif)（大多数人会），这是一个自然数。在我们的想象中，我们可以认为这些自然数字会永远持续，超过一百万，十亿，万亿等等。
+
+在小学，你不仅研究了这些数字，还研究了如何对它们进行操作。
+
+**什么操作？**
+
+有**加法，减法，乘法**和**分裂**。
+
+你可以**将**两个自然数加在一起，你总会得到另一个自然数，就像着名的事实那样，一个和一个是两个。
+
+另一方面，减法比较棘手。如果你从一个数字中减去一个数字，例如数字![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，你会得到一些新东西，这根本不是一个自然数。我们称它为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)或**零**。如果你减去一个数字，再说![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，从较小的数字，比如说![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)，那么你得到的是新的东西，即负整数，在这种情况下是![](img/tex-5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129.gif)，称为 **“减二”**。
+
+您可以使用数字来计算口袋里的便士数量。因此，你的口袋里可能有五便士。如果你的口袋里有一个洞，你就会得到便士的数量，你所放入的所有东西都会立即掉出来。
+
+现在假设你去商店，店主很傻到可以给你信用。进一步假设你有五便士，你买了一些价值 11 便士的昂贵物品。然后负整数![](img/tex-596a3d04481816330f07e4f97510c28f.gif)表示这样一个事实，你不仅没有便士，而且如果你还有六个，你将有义务交出它们来支付这个项目。这里六是你欠你的债权人的便士数，如果你付给他你的![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)便士并且他给了你这个对象，并借给你剩下的钱。
+
+因此，为了适应减法，并且能够用数字表示“欠款”，我们扩展自然数以包括数字![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)和自然数的负数。这整组数字，正自然数，它们的负数和 0 被称为**整数**的集合，并由字母 **![](img/tex-21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.gif)表示。** 
+
+我们可以接受 **![](img/tex-21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.gif)** 的任何两个成员并加上它们或减去它们，并且在任何一种情况下都得到 **![](img/tex-21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.gif)的另一个成员。** 
+
+**我知道这一切，但我对实际的加法和减法都非常生疏。我尝试做的时候很多时候都弄错了。**
+
+大多数人在他们执行的任何十次加法或减法中大致会犯一次错误。这意味着如果他们添加或减去具有多个数字的数字，如![](img/tex-7c9c0b787d24816fe630fc8619564306.gif)和![](img/tex-7d2b4137a97cf7b3fb05c65301660ec6.gif)，他们很有可能得到错误的答案。
+
+幸运的是，今天没有意义。您可以在计算器或电子表格上轻松检查添加和减少，看看您是否在几个不同的时间得到相同的答案。不幸的是，我通常会在输入或减去数字时键入错误，或者添加而不是减去或做其他同样荒谬的事情。今天所有这一切意味着我必须至少进行三次计算，以便有正确的合理机会。确实，我的努力量是它可能的三倍，但是三次努力仍然很少。
+
+如果您遇到此问题，最好在电子表格中添加或减少。然后你可以看看你的计算，并判断它是否有意义。以下是检查感觉的一些规则。
+
+当你添加正数时，结果应该大于你添加的两个**“加法器”**。如果其中一个数字是正数而一个数字是负数，则总和的大小（如果忽略任何减号的值）应该小于两者中较大者的大小，并且符号应该是加数的符号。更大的幅度。
+
+此外，如果忽略其余数字，则数字的最低有效数字应正确加或减。例如，如果从![](img/tex-10a7cdd970fe135cf4f7bb55c0e3b59f.gif)中减去![](img/tex-66368270ffd51418ec58bd793f2d9b1b.gif)，那么答案的最后一位数最好是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，即![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)减去![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+如果您的检查产生了可疑的东西，请再次尝试计算，更加小心，尤其是输入数据。
+
+从另一个数字中减去 5 的操作，**撤销**将![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)添加到另一个数字的操作。因此，如果您同时执行这两项操作，请添加五项，然后减去五项，反之亦然，您将回到起点：![](img/tex-ef8bb4dc2d508f8afbae3e7b4203a4d1.gif)。
+
+添加![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)和减去![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)被认为是彼此的**反**操作，因为这个属性：**一个接一个地执行它们相当于什么都不做。**
+
+**那么，为什么![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)不是自然数？**
+
+我不知道。这就是人们很久以前定义自然数的方式，没有人关心改变这个定义。
+
+回到小学你也遇到了**乘法的概念。** 这是你可以对两个整数做的事情，它会产生第三个叫做**产品的整数。** 你（我希望）你被迫学习一个乘法表，它给出了每对单位数的乘积，然后学会了如何使用这个表来乘以更多的数字。
+
+**我从来都不擅长** **。**
+
+在过去，你必须能够做这些事情，增加和增加，如果只是为了能够处理钱和进行普通购买而不被欺骗。
+
+现在，您可以使用计算器或计算机电子表格来执行这些操作，如果您知道如何输入整数并按下![](img/tex-26b17225b626fb9238849fd60eabdf60.gif)或![](img/tex-336d5ebc5436534e61d16e63ddfca327.gif)或![](img/tex-3389dae361af79b04c9c8e7057f60cc6.gif)和=按钮。
+
+（_ 不幸的是，这一事实导致教师们相信他们不必强迫学生经历学习乘法表的苦差事。_
+
+_ 由于我们的大脑运作方式，这对那些不愿意这样做的人有很大的伤害。事实证明，我们花在儿童身上的任何活动的时间越多，甚至作为成年人，大脑的面积越大，专门用于该活动，并且越大，我们就越好地参与该活动。_
+
+_ 因此，花费更少的时间学习乘法表可以减少用于计算的大脑区域，从而阻碍您进一步的数学发展。_
+
+_ 你的数学技能将与你选择投入思考它的时间成正比。这取决于你。_ ）
+
+一旦我们熟悉乘法，一个自然的问题是：我们如何才能解除乘法？什么是逆操作，比如乘以![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，这样乘法然后再做什么就像什么都不做？该操作称为**除法。** 所以你学会了如何划分整数。乘以![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的**逆操作除以![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)** ，（除非![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)）。
+
+现在出现了一个问题：如果我们尝试将![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)除以![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)，我们就不会得到一个整数。所以，就像我们必须将自然数扩展到整数以适应减法操作一样，**我们必须从整数扩展我们的数字以包括整数比率**，如![](img/tex-1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.gif)，如果我们想要为每对非零整数定义明确的划分。我们希望能够在任何可能的地方定义分工。
+
+整数的比率称为有理数，只要第二个整数（称为分母）不为零，就可以获得任意一对整数。 ![](img/tex-1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.gif)之间的比率本身不是整数，称为**分数。**
+
+一旦我们引入了分数，我们就想提供添加和减去它们以及乘以和除以它们的规则。这些开始变得复杂，但幸运的是，对于我们来说，我们有计算器和电子表格可以做这些事情而不用抱怨，如果我们有智慧进入我们想做的事情。
+
+我们的有理数有一件事我们无法做到，那就是除以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。毕竟，分裂是撤消乘法的动作。但是将任何数字乘以 0 都会得到结果![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。没有办法从这个![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)产品中取回你乘以![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)来得到它。
+
+当然，添加和乘法（以及减去和除法）分数比对整数这样做更复杂。比如说![](img/tex-033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.gif)乘以![](img/tex-59d9bfe736fe6541f28a80bd3502bb00.gif)，新分子是旧分子的产物（即![](img/tex-e2075474294983e013ee4dd2201c7a73.gif)），新分母是旧分子的产物（![](img/tex-c419b06b4c6579b50ff05adb3b8424f1.gif)），所以产品是![](img/tex-288f92b9b51f5b7d5c5cba5d915a5c93.gif) ]：![](img/tex-10e06f0451d3360143a5c346e079a984.gif)。
+
+乘以![](img/tex-59d9bfe736fe6541f28a80bd3502bb00.gif)的逆运算乘以![](img/tex-782d3fed92b88eb4b488f958e23ffa3e.gif)，并且该逆定义为除以![](img/tex-59d9bfe736fe6541f28a80bd3502bb00.gif)的运算。任何数字及其倒数的乘积总是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。这意味着![](img/tex-ff9d76d73bc7bd0f7856e319c462a7a7.gif)对于![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)以外的任何![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)总是![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+因此![](img/tex-033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.gif)除以![](img/tex-59d9bfe736fe6541f28a80bd3502bb00.gif)是![](img/tex-033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.gif)乘以![](img/tex-59d9bfe736fe6541f28a80bd3502bb00.gif)的倒数，即![](img/tex-033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.gif)乘以![](img/tex-782d3fed92b88eb4b488f958e23ffa3e.gif)。答案是![](img/tex-9902794eaf388073defcefd0dbf4b6ae.gif)。
+
+添加有点棘手。在以下意义上，添加的概念可以应用于对象以及数字。例如，我们知道![](img/tex-5393ad3c2c2aab741f21bd46059a55b2.gif)是![](img/tex-c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.gif)。这意味着如果我们有 3 个萝卜并且更多地挖掘![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)，我们将有![](img/tex-c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.gif)萝卜（假设没有人吃过第一个![](img/tex-eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.gif)）。对于代替萝卜的任何其他物体也是如此。这告诉我们如何添加具有相同分母的分数。因此![](img/tex-bd1a134d3539b197848627e2acc1283c.gif)是![](img/tex-b5ad3ee99035e12aeda87886ede26fca.gif)，其中![](img/tex-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.gif)已经取代了萝卜。我们正在应用一般规则来添加类似的东西到对象![](img/tex-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.gif)。
+
+要添加具有不同分母的分数，您必须先更改分数以使分母相同，然后添加分子，就像添加数字一样。最简单的方法是使新分母成为旧分母的产物。因此，要找到![](img/tex-58e00de45fd8bb175fb39b296753fe13.gif)，首先将第一项乘以![](img/tex-ff9d76d73bc7bd0f7856e319c462a7a7.gif)，将第二项乘以![](img/tex-4f7c7ac95b74c56ab6529b176a3832f8.gif)，得到![](img/tex-957f605f4b4a0edd566d11356c40099d.gif)，答案为![](img/tex-45f74cdad970db61a6d99e53287e4f26.gif)。你可以为减法做同样的事情。
+
+您可能被迫在学校的答案中分析分子和分母中的常用术语，但在电子表格中输入答案时不必这样做，这使得在使用电子表格时更容易添加分数。
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+# 第 17 章：物理的建模应用
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们研究了一些重要的物理模型，它们的后果我们已经知道如何得出。
+
+## 话题
+
+[17.1 垂直运动建模](section01.html)
+
+[17.2 弹簧建模（谐波振荡器）](section02.html)
+
+[17.3 强制振荡](section03.html)
+
+[17.4 简易电路](section04.html)
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+# 17.1 垂直运动建模
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section01.html)
+
+我们在 [**第 4 章**](../chapter04/contents.html) 中观察到，区分有理函数的规则都可以从一个主规则推导出来：要区分的函数中每个变量的出现都可以被替换为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)，忽略其他人，导数是结果的总和。该陈述表示导数是函数的线性近似的斜率并且在变量中是线性的，并且线性贡献可以逐个评估并添加。
+
+基本上这个相同的属性意味着在构建真实现象的导数行为模型时，可以分别输入不同来源的导数的影响，一次一个，忽略其他来源，总影响将是这些影响的总和。 。
+
+现在考虑一个物体的垂直运动。牛顿观察到，如果一个物体独自存在，它将继续做它正在做的事情，这样它的速度就会保持不变。这种速度如何变化，可以用它的导数来描述，然后与他所谓的“力量”迫使其改变成比例。
+
+苹果从树上掉下来，随着它们的下落速度越来越快。他将这种行为归因于引力，而他对这种力量的模型是物体在地面上经历了不断向地球的负重力。
+
+很明显，较重的物体需要更大的力才能移动它们。因此，他的模型是物体的重量（质量）![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)乘以其高度![](img/tex-6ece45e3f78470bcf0e7db1d3c539a09.gif)的二阶导数，由作用在其上的重力给出。注意到物体的速度与其重量无关，他的模型是![](img/tex-b351bb9b0af6e4fc678749675c53ad67.gif)，![](img/tex-b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)是一个普遍常数。
+
+那时他的落物模型就是
+
+![](img/tex-dd2d0e028b185bce1d0560c096e87e02.gif)
+
+我们可以解决这个等式。速度![](img/tex-65e4158ee9f05c5148ae2663e8876a72.gif)必须具有导数![](img/tex-ef07c065bf3b6a37452f81f6ce4e7ea2.gif)，这是一个常数。对此的一般解决方案是![](img/tex-9b53035eb2237f95a3f686c02f0f21e3.gif)。这告诉我们![](img/tex-6ece45e3f78470bcf0e7db1d3c539a09.gif)的导数是![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)的线性函数，这意味着![](img/tex-6ece45e3f78470bcf0e7db1d3c539a09.gif)是二次函数：
+
+![](img/tex-34f044ae97f6c060f595f2ee8bd71eb7.gif)
+
+现在让我们考虑空气阻力。物体的空气阻力取决于它们的形状和大小。对于任何物体，当它处于静止状态时没有空气阻力，因此最简单的模型是空气的力在其速度和与其相反的方向上是线性的：比如说![](img/tex-7cfc3b4bf7594760cd4a5d60b9b3468d.gif)。
+
+然后![](img/tex-b601bda34ea38165813cc396e3ec12dc.gif)的等式变为
+
+![](img/tex-42a36cc16ae7151b92da3509f92f867d.gif)
+
+请注意，当![](img/tex-19e3f5893d313a45a4ca1145ae864d5c.gif)时，此等式的右侧为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。这意味着从静止开始的坠落物体将越来越快地下降，直到其向下的速度达到该值，此时它的速度将变为恒定。因此，物体（想象一个带降落伞的人）将达到这种“终极速度”，而不是越来越快地撞到某物。
+
+我们可以通过将![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)定义为![](img/tex-a36fc4bca6c310c83bec34c7d11a232f.gif)来解决这个等式; ![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)与![](img/tex-65e4158ee9f05c5148ae2663e8876a72.gif)具有相同的导数，因此它的等式为![](img/tex-04716ae2c709a4bd1cf60bcfe87655e6.gif)。这个等式的解是![](img/tex-734135d264be13747e7d14011ddfef29.gif)，这意味着根据该模型，落下的物体以指数![](img/tex-ee29e41f99d941f02d0ff1cbd6412bd3.gif)以指数方式快速逼近其终端速度。
+
+您会注意到，在![](img/tex-b601bda34ea38165813cc396e3ec12dc.gif)的模型中，重力和空气阻力的贡献是单独添加的术语，这些贡献完全混合在![](img/tex-65e4158ee9f05c5148ae2663e8876a72.gif)的解决方案中。
+
+这种更有趣的问题涉及普通三维空间中物体的行为。
+
+牛顿发明了微积分来解决从他的模型中得出的方程式。特别是他用它来描述行星的运动，这些行星被重力吸引到彼此和太阳上，每一对分别用两个质量的力相互吸引，两者的质量除以它们的距离的平方。同样，任何星球上的力量都是来自其他星球的力量的总和。对于第一近似，来自太阳的吸引力占主导地位，并且他能够解决一个行星围绕太阳的行星运动的方程。解决方案是轨道是椭圆形，太阳位于其焦点之一。具有许多变量的微积分允许这些方程的公式化和求解。
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+# 17.2 弹簧建模（谐波振荡器）
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section02.html)
+
+弹簧是一种可以展开或收缩的装置，但是当你这样做时它会试图回到平衡位置。假设一个重量![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)的物体附着在重量可忽略不计的弹簧末端，其平衡位置为![](img/tex-e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.gif)。然后当重量位于![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)时弹簧上的力是![](img/tex-774c30301abfb16d7213f6af1bf4165a.gif)，其中![](img/tex-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)是所谓的装置的“弹簧常数”。
+
+然后系统的运动方程为![](img/tex-44cb5f11204c2eb0b56e2102e27a6378.gif)或![](img/tex-1019c70bcf14431238edaaa1c59010b7.gif)。
+
+我们知道这个等式的一般解，因为我们可以将它识别为![](img/tex-dab699aefe8f667818872f10af9d6217.gif)和![](img/tex-d05f9614b8c3f2499621193d90002355.gif)时![](img/tex-fb47a98614ca16294a32c4197ba99861.gif)满足的等式。这里振荡的“频率”是![](img/tex-03ca1320720fc7fcbc1530a47033a47a.gif)，因为正弦和余弦作为其周期![](img/tex-c3198a6dbef629ca31403b4ccdff3fc7.gif)的参数的函数重复。 （我们使用弧度作为我们的角度测量。）
+
+**练习 17.1：区分下面的函数，并证明它是无摩擦弹簧方程的一般解：**
+
+![](img/tex-670d094d66aa011d1f21bda91405e63a.gif)
+
+这个通用解决方案也可以写成指数的总和; （![](img/tex-d5a29306e1ae1e4699e020db32878921.gif)），适用于![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)。
+
+这种解决方案让弹簧永远振荡。
+
+实际上，在运动中也存在摩擦，如前一部分中的摩擦可以通过在形式![](img/tex-b85b0183ccd5d478b751ada3ced5bcf8.gif)的力中添加一个术语来建模。
+
+然后运动方程变为
+
+![](img/tex-9bd1be093665e0b3549cfc7f7308339e.gif)
+
+我们可以通过寻找![](img/tex-ba0ab0de23653c3788e44583d5b46168.gif)形式的解来解决这个等式。将此形式代入![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的等式，我们得到：
+
+![](img/tex-73145538d074663635eec4c975439307.gif)
+
+![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的二次函数具有解![](img/tex-2203b80dce9940641103a2fc13a864a4.gif)。 ![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的两个解决方案取代了无摩擦问题中出现的两个指数![](img/tex-6c1df073916c2e149f4138ce81428283.gif)和![](img/tex-ff98190466e29bab316a93c2f9f6f426.gif)。这些解决方案中的第一项![](img/tex-a7c7a081e5c0b5ae8f0c368679ea7850.gif)在![](img/tex-03825e33b730597ecb5986cae53cc3bb.gif)的解决方案中产生指数阻尼因子
+
+只要![](img/tex-fb4f23824ac2741ea310a44278a235b2.gif)小于![](img/tex-83e1e0b01726bee42905ba9e786fcbbc.gif)，![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的这些解决方案中的第二项就是虚数，因此与![](img/tex-260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d.gif)相比，它们会产生频率降低的正弦行为。因此，![](img/tex-02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)根据前一段中讨论的因素以指数方式消失，并且根据这个因素进行振荡。
+
+当![](img/tex-fb4f23824ac2741ea310a44278a235b2.gif)为![](img/tex-83e1e0b01726bee42905ba9e786fcbbc.gif)或更高时，![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的解是实数，弹簧被认为是临界阻尼。完全没有振荡，只有平衡位移的指数衰减![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，作为时间的函数![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)。
+
+上述模型很有用，但并不十分令人兴奋。当我们考虑受外部刺激影响的弹簧时，可以获得更有趣的结果。
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+# 17.3 受迫振荡
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section03.html)
+
+当弹簧上的物体受到外力时，即某种函数，![](img/tex-096254c7552111f593bb632a91205f32.gif)，我们一直在考虑的模型
+
+![](img/tex-62ed7bba2cfe49434071ba99c864dc08.gif)
+
+强迫可以是任何形式。我们通过查看对任何给定频率的正弦强制响应来处理。我们这样做的原因有三个。
+
+首先，我们可以求解得到的方程，并且解决方案具有本身有趣的属性。
+
+其次，在许多其他环境中出现了相同的方程，例如在电路的研究中，这些特性非常重要。
+
+第三，解决方案可用于解决一般问题。任何刺激都可以写成正弦函数的和或积分，然后这些解可以用来获得描述解的相应和或积分。
+
+然后我们的模型由等式描述
+
+![](img/tex-e5ce6f7d09958d069db8d9f7762b1531.gif)
+
+给定这个方程的任何解，我们可以用![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)作为右边的术语来添加任何方程式，我们仍然会有一个解决方案。正如我们在上一节中看到的那样，只要![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)非零，这种解决方案就会在![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)中呈指数衰减。由于这种衰减，“均匀”方程（右侧为零）的解被称为瞬态解。因此，我们将注意力集中在稳态解决方案上，这种解决方案会持续存在，因为强制函数仍然存在。
+
+这些解决方案将具有与强制函数相同的频率和周期性，因此我们查看![](img/tex-477c7da6d1f7ae2aba8b90548192f81a.gif)形式的解决方案。我们发现
+
+![](img/tex-f05ec514dd959e7d9f1a57c63662c506.gif)
+
+从这些我们推断出这里的两个系数都必须消失，这告诉我们：
+
+![](img/tex-f582423097c89323271dba63fbd316ed.gif)
+
+和
+
+![](img/tex-35b3257341e98dfbd39176d62b0ae430.gif)
+
+导致
+
+![](img/tex-0f73c6f89bf84215712ca7357d712c61.gif)
+
+and
+
+![](img/tex-771f90b721a9d97ab6f041577b1b3f28.gif)
+
+对强迫的响应幅度为![](img/tex-e4b3d5bcdd1c9dec90571abae80d0164.gif)而变为
+
+![](img/tex-04372a64ea8101587d32afa75c0e4e60.gif)
+
+非强制和无阻尼弹簧具有![](img/tex-0f7942f4bfc403c48371fa68f173079a.gif)给出的“固有频率”![](img/tex-b0e7a386c3bc9554d58b4d928100ba01.gif)。刚才描述的幅度可以用ω &lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; 表示为
+
+![](img/tex-93c0a605102b6d299c7b0c1c7ff0d885.gif)
+
+当![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)与![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)相比相当小时，该反应表现出称为**共振**的现象。也就是说，当![](img/tex-b4cd9e0225edca2557f57ab3336c045a.gif)非常小，并且![](img/tex-fb4f23824ac2741ea310a44278a235b2.gif)与![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)相比较小时，分母变得非常小并且响应变得非常大。
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--- a/docs/64.md
+++ b/docs/64.md
+# 17.4 简单电路
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section04.html)
+
+如果我们使用电线将简单设备连接在一起，我们就可以形成电路。这种电路可用于各种目的。一百年前，他们的研究开始了无线电的发展。
+
+一个简单的电路由以下四个元件组成：有一个电源，它在两个端子之间产生电位差;线圈，由线圈，线材中的间隙和可能阻止电子流动的装置组成。电子流过电路并堆积在间隙的一侧。如果我们表示![](img/tex-c9ef9cf8733ebf3f233aa6eafda45d88.gif)的总电荷，在某些单位中，电路中流动的电流![](img/tex-57657bc2e37bc611375fe476ff214b58.gif)为![](img/tex-174101193022348a2ed1b41dd51c61ca.gif)。根据欧姆定律，电路的电阻![](img/tex-e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.gif)产生![](img/tex-c410a3cf99eebc1fc366e71ce4a8cf51.gif)的电位差，跨越间隙的电位差为![](img/tex-d0d9c2399f7d78eedb0cac5d12f17286.gif)，其中![](img/tex-0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)被称为间隙的容量。根据法拉第定律，电流的变化导致![](img/tex-e42d5ec6d8b55d81786e6562b5cfcda6.gif)线圈的电位差，对于某些常数![](img/tex-d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.gif)，因此如果电源产生电位差![](img/tex-340e2651fce876fe6115757dec27ae68.gif)，我们发现该系统服从方程式
+
+![](img/tex-c9a7c1860d6a18b59e892e2fd90f6494.gif)
+
+这与强迫谐振子的方程式完全相同，并且具有相同的结果。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/series-rlc-circuit.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
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+# 第 18 章捕食者猎物模型
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/contents.html)
+
+## 介绍
+
+TODO（未收到）。
+
+## 话题
+
+[18.1 捕食者猎物模型](section01.html)
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+++ b/docs/66.md
+# 18.1 捕食者猎物模型
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html)
+
+假设我们有两种动物。 ![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)型动物吃![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)型。我们认为，在没有![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)类型的动物的情况下，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)类型的动物将无法进食，并会死亡或离开以避免这样做。另一方面，我们假设在没有![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)类动物的情况下，![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)类型将有更好的生存机会，并将经历人口增长。
+
+设![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)代表我们![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)型动物区域的种群。在没有![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)类型生物的情况下，最简单的模型是![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)种群的变化是![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)本身的负数倍：
+
+![](img/tex-112d8c1fac3e8e812d7fd64555dbb059.gif)
+
+同样，在没有![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)生物的情况下，对于某些![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)，![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)类型的群体![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)行为的简单模型将显示增加和服从，
+
+![](img/tex-350a7ad875d4db41dcac2dd076df0044.gif)
+
+如果![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)或![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)之间的相互作用必须是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。最简单的相互作用模型是![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)中![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)每单位时间的变化对某些![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)的![](img/tex-5beaa5bacc2142262cd6baf1e911399b.gif)的贡献，![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)对某些![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)的影响![](img/tex-dc700fd066816624ac11897050c27a06.gif) HTG12]。
+
+对于这种情况，我们最简单的模型就是这种形式
+
+![](img/tex-efcf41074710f8e8741de774f9b272aa.gif)
+
+和
+
+![](img/tex-0c60543138030022ce5ed421619d1a97.gif)
+
+那么我们可以对这个模型中这些人群的行为说些什么呢？
+
+我们可以先寻找稳态解决方案。当两个导数都是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)时会发生这些情况。当发生这种情况时，两个物种的种群保持不变。这种解决方案称为方程的固定点。
+
+这种情况发生在![](img/tex-1fd2d7702087e855a6278ecb44d7d4e4.gif)和![](img/tex-3e84be82c48c51e66de8f7303b081b9e.gif) ![](img/tex-a549ecd61a2b0e9f612651b06107fded.gif)和![](img/tex-70d458af3a1e6d66ae3fc948ecfab217.gif)时。
+
+如果![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)或![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)中的小偏差趋于消失并且至少不向外螺旋，则认为定点解是稳定的。您可以通过数字“积分”这些方程式来研究此固定点的稳定性，对于您选择的![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)，![](img/tex-03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.gif)，![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)和![](img/tex-7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)的值。从![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)和![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)的值开始，从固定点略微偏离并向前移动，发现![](img/tex-3339ebace629ad9f8287b0a5fb9b6bff.gif)和![](img/tex-78c292f7a1a8bd8c88ea38e002ebc769.gif)完全像在积分中一样（在[第 14 章](../chapter14/contents.html)中讨论过） ]），使用左手规则。
+
+在![](img/tex-bab07a8d585ac51c785590b1f383de3a.gif)平面中往往会发生的是，解决方案通常会向固定点螺旋式上升。
+
+如果在这个平面上有一个轨道，没有其他轨道可以越过它，因为在一个共同点上，两者的导数是相同的，这意味着轨道在之后是相同的。
+
+**练习：使用电子表格进行设置，并检查此结论。**
+
+例如，如果人口![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)突然从其固定点值减少，你可以定性地看到会发生什么。这导致![](img/tex-2ffe8c4753de6a9c633cec0d781be686.gif)从其固定点处的![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)值减少，从而群体![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)减少。这反过来导致![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)的增加。因此，如果![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)是用于绘制轨道的垂直坐标，从固定点下方开始，轨道绕其逆时针移动。
+
+您甚至不需要电子表格来查看解决方案的行为方式。给定起点![](img/tex-31da6f87f19d9cd2264061a0afc2cbb1.gif)，您可以从中绘制一个箭头，指向其切线为该点处![](img/tex-7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)导数与![](img/tex-9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)导数之比的方向。然后沿该箭头选择一个小距离的点，并重复这些步骤。您将在![](img/tex-31da6f87f19d9cd2264061a0afc2cbb1.gif)平面中生成系统的近似轨道。
+
+如何发挥作用在很大程度上取决于两个人口从减少中恢复的速度。
+
+一个有趣的案例是苍蝇是猎物，鸟类是食用它们的捕食者。如上所述，如果减少飞行种群，也会减少鸟类数量。然而，苍蝇种群恢复相对较快，大约几周，而鸟类种群恢复数年。因此，鸟类种群往往会在短时间内下降，但只能缓慢地再次上升到它们的固定点值。这意味着苍蝇种群会在相当长的时间内增加，并且大部分时间都会花在远高于固定点值的水平上。因此，除非非常短暂，否则杀死苍蝇的活动并不是减少苍蝇种群的有效方法。
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--- a/docs/67.md
+++ b/docs/67.md
+# 第 19 章：求解微分方程
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/contents.html)
+
+## 介绍
+
+在前面的部分中，我们讨论了各种现象的模型，并且这些模型导致了微分方程，根据这些模型，其解决方案在适当的附加条件下描述了所涉及系统的行为。
+在本章中，我们将讨论如何使用电子表格来找到这些微分方程的解。
+
+## 话题
+
+[19.1 计划](section01.html)
+
+[19.2 一阶微分方程](section02.html)
+
+[19.3 二阶微分方程](section03.html)
+
+[19.4 行星运动](section04.html)
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--- a/docs/68.md
+++ b/docs/68.md
+# 19.1 计划
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section01.html)
+
+这种材料不是微分方程课程的替代品，这些课程倾向于提供洞察力和方法，允许对许多重要的微分方程进行代数求解，并提供对无需解决的解决方案行为的深入了解详细地。
+
+我们在这里提供它是因为微分方程中的许多传统课程完全忽略了数值计算，我们希望表明，对于各种微分方程，这些可以通过大量工作完成，而不是超出数值积分所涉及的范围。
+
+我们将首先解决一阶微分方程，然后考虑一个二阶方程，最后一个描述行星运动，它是二阶的并且有两个因变量。 （虽然行星在三维空间中移动，但它们的运动位于一个平面上。我们的因变量则是行星的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)坐标，自变量是时间![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)。）
+
+它们之间的主要区别在于需要创建的列数。
+
+**“我们”是什么意思。我睡觉的时候你会这样做吗？**
+
+好吧，我会告诉你如何设置一个，你会看到你可以不费吹灰之力地改变方程式并自己解决它们，这给你前几代学生所不知道的力量。
\ No newline at end of file
--- a/docs/69.md
+++ b/docs/69.md
+# 19.2 一阶微分方程
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section02.html)
+
+我们将首先处理一阶微分方程，我们的意思是，对于某些函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，具体地说，形式![](img/tex-d58273095a019384510f880fc39df3f9.gif)的方程。进一步假设我们在某个时候知道解决方案![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)。
+
+这告诉我们，在![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的区间![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)开始，到![](img/tex-a712dd0ee962371a2d97414505313904.gif)的区间为非常小的![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)，我们大约有
+
+![](img/tex-86f8b0ab3989f81f2f9500a5cc55cf4b.gif)
+
+我们可以使用这个“线性近似”来计算![](img/tex-9689001ed88c1a98b48faabd7ea106cb.gif)，然后继续从中计算![](img/tex-d04b6b8068de4d10d3beec0d11259ba1.gif)，依此类推。
+
+这种方法就像做积分的左手规则;唯一的区别是![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)本身出现在![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)中。
+
+为了实现这一点，你让![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)从![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的起始值开始从一行增加到另一行，并使![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)增加![](img/tex-d60fbbbafd0706d04d667fe55cde1d31.gif)。
+
+**练习 19.1 为![](img/tex-3e44107170a520582ade522fa73c1d15.gif)给出的![](img/tex-d2532f1529e1cc131a984c017d2a8066.gif)设置此项并绘制![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)与![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的关系曲线。 （这代表微分方程：![](img/tex-e16b915a813aa9ce5c5fdfcf3d4eae2e.gif)，它有解![](img/tex-3d6048207388a45c4449b46507b4138f.gif)。从![](img/tex-51534ae351402cd0decc72222ddfeb06.gif)开始，从数字上精确地找到![](img/tex-f096dfa64f79f7797e93e42c2a22cfc5.gif)并进行比较。**
+
+产生右手规则的类似物，或梯形或辛普森规则要困难一些，因为它们需要评估![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)，因此![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)超出![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，我们只从![](img/tex-2a30396180396c206d6a001ed06584d6.gif)和![](img/tex-d3227a513f375ead0a7d08c2fe35aa22.gif)开始]是我们想要发现的。如果我们将![](img/tex-d3227a513f375ead0a7d08c2fe35aa22.gif)放在我们计算![](img/tex-d3227a513f375ead0a7d08c2fe35aa22.gif)的公式中，计算机将正确地指责我们使用循环引用。
+
+有很多方法可以解决这个问题，并且已知整个公式序列用于评估![](img/tex-19a2c301702be94f2a2f1409c6f92053.gif)，因为我们的方程式符合![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)中的任何顺序。这些被称为 Runge-Kutta 规则，非常有效。您可以在随附的小程序中看到它们的作用。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/first-order-ode.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
+
+我们只会描述最简单的校正，即近似![](img/tex-d3227a513f375ead0a7d08c2fe35aa22.gif)
+
+![](img/tex-55fa39c32d80d9b01146878c57880296.gif)
+
+这意味着我们在![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)和![](img/tex-c0e7257b56d58a3b96066a13bd8ee56e.gif)之间的整个区间内使用![](img/tex-50047cea742831d530c11ea6a9c32716.gif)作为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的导数，其近似于上一个术语中![](img/tex-d3227a513f375ead0a7d08c2fe35aa22.gif)的值。
+
+这仍然很容易做，并且或多或少类似于梯形规则，区别仅在于我们估计参数![](img/tex-c0e7257b56d58a3b96066a13bd8ee56e.gif)的导数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)而不是知道它。
+
+**如果您根本不了解![](img/tex-2a30396180396c206d6a001ed06584d6.gif)，该怎么办？**
+
+您可以通过在二维空间中绘制图来了解所有解决方案，一维是![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)，另一维是![](img/tex-2a30396180396c206d6a001ed06584d6.gif)。如果您在此图中选择点网格，则在每个点处您都知道导数![](img/tex-50047cea742831d530c11ea6a9c32716.gif)。如果您绘制一个指向![](img/tex-13e1939fa1f30d0ce774246e534e10be.gif)方向的箭头。然后，您可以连接箭头（如连接点），形成路径，这些路径每个都代表微分方程的解。
+
+这些路径不能交叉。
+
+**练习 19.2：弄清楚为什么路径不能交叉。**
+
+但他们可以有一些有趣的函数。固定点就是这样一个特征，也是我们在[第 18 章](../chapter18/contents.html)中看到的。一个固定点是方程式意味着你留在那里的固定点。一个稳定的固定点是这样的，如果你在它附近，你旋转或螺旋形进入它。还有一些称为吸引子的东西，它们是过去或未来的曲线（当自变量是时间时），许多路径都聚集在这里。稳定的固定点是一种吸引子。
+
+**您告诉我，我可以实现您在电子表格中描述的集成吗？**
+
+是。将第一个订单 ODE 放入 A1; A2 中的 xstart; ystart 进入 A3; d 进入 A4。将您的数据（包括![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的起始值）以及您在 B2，B3 和 B4 中选择![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)的数据组成。
+
+然后在 A6，B6，C6 开始列，分别包含![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)。在 A6 中，放 x;在 B6 中，放 y（梯形法则）;在 C6 中，放 y（左手规则）。
+
+因此，您可以将= B2 放入 A7，将 B3 放入 B7，将= A7 + $ B $ 4 放入 A8 并将其复制到 A 列。
+
+在 B8 中，put = B7 + $ B $ 4/2 *（f（A7，B7）+ f（A7 + $ B $ 4，B7 + f（A7，B7）* d）并将其复制到 B 列。就是这样。
+
+您可以将结果与左手规则计算进行比较，方法是设置 C 列并从= B7 开始进入 C7，但将= C7 + $ B $ 4 * f（A7，C7）放入 C8 并将其复制下来。然后你可以制作所有三列的![](img/tex-f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.gif)散点图，看看会发生什么。两个计算之间的差异让您对简单的计算有多糟糕。
+
+您可以看到更改函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)需要更多的工作，但很容易改变初始条件。这是![](img/tex-c47112292ad9c3b00062727e4a849dea.gif) ![](img/tex-8756516056a75e7493ef8f60ab5acff3.gif)的结果和![](img/tex-d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689.gif)，![](img/tex-5a6fb152b0e79d61bb16fd58014ba123.gif)的起点。
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+&lt;button aria-controls="first-order-ode-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#first-order-ode-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/first-order-ode.xlsx)
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+Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+**练习 19.3 为![](img/tex-473bdf7c3787a78c511aed0ad5c61fd9.gif)和![](img/tex-22f9a8674477e748447de641eacea9a0.gif)设置此项，从![](img/tex-93b6b4f45924de67b7e4f48f875b9037.gif)开始。**
+
+**这总能奏效吗？**
+
+不。对于很多有趣的方程式来说很好。但是，有时您的变量![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)可能会变为无穷大，然后计算变得非常不准确。
+
+这可能发生，因为我们允许![](img/tex-23e3c7efae813fefb4fed2436a229c98.gif)的任何等式，因此允许![](img/tex-ccb8ec3a7d47691f8b87bb37013d2569.gif)的任何等式。这意味着![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)有时可能是![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)。如果![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)应该通过![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，那么![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)将无任何特殊原因进入无限。
+
+大多数时候你可以通过求解![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)的微分方程来避免这个困难，同时解决![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的问题。当![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)变为无穷大时，![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)非常温和并且接近![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)（记住![](img/tex-ccb8ec3a7d47691f8b87bb37013d2569.gif)是![](img/tex-23ed8f5be24459201082dfeb75b0443c.gif)，所以如果我们让![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)成为![](img/tex-7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.gif)，那么![](img/tex-7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.gif)服从![](img/tex-7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.gif) HTG10]）。如果你这样做，你可以使用从![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)和![](img/tex-bfdefe5a68f33706693d71350725374e.gif)中较小的一个中获得的![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)值。
+
+无论如何，以这种方式积分微分方程很容易，值得一试。
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+# 1.2 小数和实数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html)
+
+我们有一种很好的方式来表示包括分数在内的数字，这就是十进制扩展。假设我们考虑的数字如![](img/tex-1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.gif)，![](img/tex-5d843cdc293eb20d0fee569195578988.gif)，（与![](img/tex-22417f146ced89939510e270d4201b28.gif)相同），![](img/tex-68bade7151c02e1faf2763fb629da842.gif)等等。
+
+我们把它们写成![](img/tex-dd3b27c2337e9cacb8c0f8f64adac087.gif)，依此类推。小数点是一个代码，告诉我们超出它的数字除以 10。
+
+我们可以通过在小数点后添加第二个数字将其扩展为除以 100 的整数。因此![](img/tex-45e0ee99ed3ea8cbf0d012bbb2fba698.gif)表示![](img/tex-dda9003f70f6d8bbede6e5c529813edc.gif)。我们可以继续保持正确的状态，用小数点后的较长和较长的整数串来描述整数除以千或百万等等。
+
+但是，如果我们停下来，我们就不会以这种方式得到所有有理数我们只会得到分数为十的幂的有理数。像 1/3 这样的数字将成为![](img/tex-75420aeb51c1920fcbcfaff33451f50c.gif)，三分球将永远存在。 （这通常被写为![](img/tex-f05beeb03d2327815a0ea4e43f402bce.gif)，这个星形表示它前面的东西是无休止地重复）
+
+为了使用这种十进制表示法得到所有有理数，你必须愿意永远继续下去。如果你这样做，你会得到比有理数更多的东西。以小数点开头的所有数字序列的集合为您提供 0 到 1 之间的所有有理数，甚至更多。你得到的被称为**实数**在 0 和 1 之间。有理数的结果是无穷无尽的，如![](img/tex-75420aeb51c1920fcbcfaff33451f50c.gif)，![](img/tex-2253682c8215352e874c91ebb786b007.gif)，或![](img/tex-92251127649dfb3d7bc2448b97cfc662.gif)，（又名![](img/tex-6d80189dc602eb657ce25f4bc2f1d07a.gif) ]）。
+
+现在你和我以及任何计算机都没有真正继续写下一个数字，所以对于这个实数的概念存在一种不真实的感觉，但那又是什么呢？在你的想象中，你可以直观地看到一连串的数字。这将代表一个实数。
+
+如果在有限位数后停止实数，则会得到一个有理数（因为在停止之后的所有条目都是零）。因此，对有理数起作用的加法，减法，乘法和除法的规则也可用于对实数进行相同的处理。幸运的是，当数字非常接近小数点的非零数字时，数字中小数点右侧的数字对计算几乎没有影响。
+
+既然我们不能在现实生活中继续描述一个非理性的实数，那么我们必须以其他方式描述它。以下是描述数字的不同方式的示例。
+我们定义了具有十进制扩展的数字![](img/tex-75bd3c39efdc617f14e3f516f69b3a95.gif);在**每个连续的![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)对之间，有一些![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)比前一个连续的 1 对更多。** 这个数字不合理;它不会重演。
+
+我们不必，但只是为了它的乐趣，我们将更进一步，再次扩展我们的数字，复杂的数字。如果要定义一个数字平方操作的反转，则需要这样做。 （复数是![](img/tex-3de90564c61daf602b582735803fed9c.gif)形式的实体，其中![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)是实数，![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)平方是![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)。）
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+# 19.3 二阶微分方程
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section03.html)
+
+二阶微分方程是表示因变量的二阶导数作为变量及其一阶导数的函数的方程。 （更一般地说，它是涉及该变量及其二阶导数的方程式，也许是它的一阶导数。）
+
+也许处理这种方程的最简单方法是给出一阶导数的名称。然后原始方程变为因变量及其导数的一对耦合方程。你这样做的是一对一阶微分方程，如 [Predator Prey](../chapter18/section01.html) 问题中的耦合方程对。
+
+给定方程![](img/tex-2d09bc51f08764dddbabbc7a315df9e0.gif)，我们设置![](img/tex-089d154c950b29f3528fa24338986bd9.gif)并得到两个方程式：
+
+![](img/tex-39be4b8a74cfcd2ccec4855a0422f735.gif)
+
+从![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)和![](img/tex-23e3c7efae813fefb4fed2436a229c98.gif)的初始值开始，我们可以通过跟踪![](img/tex-46dbafa076e7da3bc67b2ee14e4c7eff.gif)和![](img/tex-5e2010f0ce155d112cfc155f1a333849.gif) ![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)增加一些小的增量![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)来产生这些方程的左手规则近似解。我们可以用三种方式绘制解决方案，例如使用![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)作为轴的“轨道”，或将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和/或![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)绘制为![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)的函数。
+
+强制谐波运动的例子：
+
+![](img/tex-65f0d475d2008ea9a55eb8b316153367.gif)
+
+产生耦合方程;
+
+![](img/tex-281af18121b7f6e4472cd44eff085486.gif)
+
+牛顿运动定律产生物体位置的二阶微分方程。每个粒子有三个运动维度。它们通常被重新表示为一阶微分方程的两倍，几乎以相同的方式。我们将在一个维度上描述这种重新制定。可以用任意数量的维度来完成同样的事情。
+
+在许多有趣的情况下，能量得以保存。能量不会出现在牛顿方程![](img/tex-a6c7acfc672d8535b8d9d849465f458e.gif)中。我们首先要定义它。
+
+质量![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)以一定速度![](img/tex-9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)移动的物体的动能为![](img/tex-250c82718f94a74f6193ae042c34a7a2.gif)。它的动力![](img/tex-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)是![](img/tex-94d035945b3d82182669c4d3f6daa104.gif)。 ![](img/tex-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)而不是![](img/tex-9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)是将方程式简化为一阶导入的第二个变量。
+
+那么动能是![](img/tex-0e616afa057ef8d6b8e969c8743775d3.gif)。粒子上的力![](img/tex-800618943025315f869e4e1f09471012.gif)被定义为势能相对于因变量的导数的负值（保持所有其他因变量和力矩固定）。因此，在地球表面上的重力的情况下，由地球施加的重物![](img/tex-6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)上的力是![](img/tex-b58583b8f2adb784887927845b48770e.gif)，并且势能是![](img/tex-d769f3ab30112939f2b4469f8a92804e.gif)。
+
+能量也称为系统的哈密顿量，写为![](img/tex-c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.gif)，是动能和势能的总和。 （顺便提一下，![](img/tex-c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.gif)符号最初是希腊首都 eta，因为能量以 E 开头而被选中）
+
+因此，对于地球表面的引力，哈密顿量由下式给出。
+
+![](img/tex-6684f6fb23174397caf26263656b9605.gif)
+
+相当于![](img/tex-91e943789905fa8f4f3d298b4f37a311.gif)的运动方程式变为：
+
+![](img/tex-be3c447e8948e3772faaf6ffd1f8ffb6.gif)
+
+这里出现的古怪符号![](img/tex-e22e372ac25775747f00a5cfbb8d1b45.gif)意味着你将![](img/tex-c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.gif)的导数与![](img/tex-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)相对应，将另一个因变量![](img/tex-2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)视为常数。这种导数被称为![](img/tex-c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.gif)相对于![](img/tex-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)的偏导数。 （在复杂的情况下，当有几个可能的其他因变量时，它的含义取决于你保持不变的那些。这里定义得很好。）
+
+**练习 19.4 无阻尼和非受迫谐振子的哈密顿量是什么（力是![](img/tex-774c30301abfb16d7213f6af1bf4165a.gif)？**
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/second-order-ode.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
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+# 19.4 行星运动
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section04.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section04.html)
+
+行星和太阳之间的引力相互作用由反平方中心力定律描述。
+
+为方便起见，我们将太阳置于坐标的原点，并在![](img/tex-b445da84ad46d5b53cf91debd3ae9031.gif)点开始我们的行星，其位置的初始一阶导数由![](img/tex-a048e3d4022b422dc7d4c063ca514674.gif)给出。
+
+我们将假设行星比太阳轻得多（因为地球与太阳相比），太阳不会移动。 （实际上，行星运动中固定的是系统的质心。木星和土星足够大，当它们在我们天空的同一部分时，所有行星的质心都不在太阳内，这样太阳就会移动，但不是很多。）
+
+利用这些坐标和这个假设![](img/tex-30d15731506533f20bd1225da1c58aac.gif)的运动方程，行星的位置矢量服从方程
+
+![](img/tex-c6bfc84ccb5f291a112fcd25737df6eb.gif)
+
+由于行星上的力指向太阳，我们在![](img/tex-90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.gif)平面上开始行星，我们的![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)坐标将始终为![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)，我们可以忽略它。
+
+这是一个二阶微分方程，有两个因变量，![](img/tex-fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.gif)和![](img/tex-0707669836d19443cf6c5cc89ca963e6.gif)。我们可以在一个电子表格上设置它，每个列都有![](img/tex-aaa0d4fd100a19b47f7c38522d38195d.gif)和![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的导数。在坐标方面，运动方程是
+
+![](img/tex-9079d1a5f5ee22da67ade8641bdc260f.gif)
+
+由于![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)出现在这两个方程中且![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)为![](img/tex-d0e489bace4466495d80d589bf8a5a4f.gif)，因此也可以方便地将列专用于![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)。设置![](img/tex-7c6270537cb2cf1c86fd46bbc6975dd3.gif)定义![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)的比例，但不定义![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)。这意味着我们可以选择我们的时间单位，以便![](img/tex-4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.gif)为![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。
+
+有了这个选择，我们可以按如下方式设置电子表格：
+
+我们将时间变量![](img/tex-e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif)放在 A 列中，并从第 7 行开始，A7 设置为 0.我们必须为![](img/tex-8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)选择一个增量，您可以确定最喜欢的那个。它必须足够小，以便![](img/tex-8df51e11d937e0d53a5d118704c07c39.gif)很小，但足够大，你可以绘制轨道。您可以从![](img/tex-56323069b6a4036a9c13d1bacf962158.gif)开始，如果不能正常工作则更改它。我们可以将字母 d 放在 A2 中，将其值放在 B2 中。我们需要指定的其他参数是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的导数的初始值。因此，在 A3 中输入“初始 x 速度”，在 B3 中输入其值（比如 0），在 A4 中输入“初始 y 速度”，在 B4 中输入其值（比如 1）。
+
+把 t 放在 A6 中，x 放在 B6 中，y 放在 C6 中，r 放在 D6 中，x'放在 E6 中，y'放在 F6 中。我们将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)放在 B 和 C 列中，因此在 B7 中放置 1，在 C7 中放置 0。我们将![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)放在 D 列中，将 D7 设置为=（B7 ^ 2 + C7 ^ 2）^ 0.5。我们将![](img/tex-2da23fa8308ae2596e3498bb1eaecfd7.gif)（称之为![](img/tex-ea62678e193e8f74d277e497a848a911.gif)）放在 E 列中，将 E7 设置为= B3 并将![](img/tex-a2580511179e354a5e04f48ad5b6c709.gif)（称之为![](img/tex-23e3c7efae813fefb4fed2436a229c98.gif)）放入 F 列 F7 设置为= B4。
+
+我们接下来将 A8 设置为= A7 + $ B $ 2
+
+B8 到= B7 + $ B $ 2 * E7
+
+C8 到= C7 + B $ 2 * F7（你可以将 B8 复制到 C8）
+
+将 D7 复制到 D8
+
+将 E8 设为= E7- $ B $ 2 * B7 / $ D7 ^ 3
+
+将 E8 复制到 F8
+
+现在从列中复制 A8 到 F8
+
+这将为您的参数值提供最粗略的解决方案。
+
+**完成后，列 B 和 C 的![](img/tex-f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.gif)图将给出空间轨道。根据需要调整参数。**
+
+&lt;button aria-controls="planetary-motion-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#planetary-motion-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;显示表&lt;/button&gt;[](../download/planetary-motion.xlsx)
+
+Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#)
+
+**练习 19.5：设置它。 ![](img/tex-2da23fa8308ae2596e3498bb1eaecfd7.gif)和![](img/tex-a2580511179e354a5e04f48ad5b6c709.gif)的哪些值在这些坐标中给出圆周运动？**
+
+在过去，以数字方式处理这些方程式是非常可怕的。相反，来自牛顿的物理学家通过引入数量来解决方程式，即能量和角动量，这些量不会随着这种运动而改变，并且通过推理而不是数值计算推导出轨道。
+
+几个世纪以来，天文学家一直在仔细观察行星的实际行为，并在开普勒的三个定律中进行了清晰的总结，如下：
+
+**1.受相同力量影响的行星和其他物体的运动位于“圆锥截面”的轨道上：椭圆或双曲线或非常特殊的抛物线（全部以太阳为焦点）或直线。**
+
+**2.在任何轨道上每单位时间扫出的面积是不变的。**
+
+3.椭圆轨道的周期与其半径的度量之间存在某种特定的关系，我们不再进一步讨论这种关系。
+
+**最后注释：**最后几章包含许多未包含在任何正常单变量微积分课程中的材料。这些材料的目的是为了您的享受而不是恐吓您。问题在于，这里的 applet 和方法可以让你比定期的微积分课程更快地学习微积分。但是你学到和保留的东西很大程度上取决于你花多少时间去做。如果最终的结果是你花了很少的时间学习微积分，那对你来说就不好了。因此，您可能花费相同的时间，并了解更多！
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+# 第 8 章：反函数及其导函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/contents.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/contents.html)
+
+## 介绍
+
+我们描述了函数的逆的概念，以及如何区分这样的事物。如果 f 作用于参数 x 具有值 y，则 f 的倒数作用于参数 y 具有值 x。参数 x 处的 f 的倒数的导数是参数 f（x）处的 f 的导数的倒数。
+
+## 话题
+
+[8.1 反函数](section01.html)
+
+[8.2 区分反函数](section02.html)
+
+[8.3 更多规则](section03.html)
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+# 8.1 反函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section01.html)
+
+函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的反函数是另一个定义的函数![](img/tex-3b3a6c8b2698ce7040bf08f8708213de.gif)，因此![](img/tex-266072a7627e34a1028359790362373e.gif)和![](img/tex-f04e050a44203a193089bb1c7ddba787.gif)都成立。
+
+换句话说，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)作用于![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的反函数产生同一性函数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)。 ![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)作用于其反函数也是同一性函数。
+
+我们之前遇到过这个概念。反演的典型例子是平方根。平方根函数是平方函数的倒数。
+
+这个概念有三个必须学会处理的复杂函数。首先，是符号问题。我们很想使用符号![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)作为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的反函数，我们经常这样做。但是我们不应该且经常不使用这种表示法，因为它有时用于表示倒数函数，其参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)的值为![](img/tex-860b7fe3904792a3eb277030626a2841.gif)。
+
+最常见的反函数是，**反转像** ![](img/tex-1f31f8c0da2e32b6acaa5b9a0e5154e9.gif)那样被称为**根**并表示为![](img/tex-fb948c961db66429dcc9a638c40d5400.gif)并且与**指数函数相反，![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif) ，**，其被称为![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif) ![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif) 的自然对数，表示为 **![](img/tex-082b0e41ac5d0f86aa6e51587580f3b7.gif)。**
+
+**反正弦函数**被称为**反正弦**并表示为 **![](img/tex-6b5a3bd3ccba039520f633705222b7e3.gif)。** 在大多数电子表格中，它被写为= asin（B6），（如果你想要方框 B6 中的反正弦。）类似地，![](img/tex-ca694452d86056b222bbe8ed752de1aa.gif)，![](img/tex-e0ee86a6e0446425ac66e35bc988fe36.gif)等等。
+
+第二个复杂因素是**反函数一般不在任何地方定义。** 像指数，![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)或平方，**这样的函数，其值总是非负的，**，在交换值和参数时，**只能定义非否定论点。** 到目前为止我们一直在考虑的所有其他函数，几乎可以在任何地方定义;但是，反函数通常具有受限域，除非我们想扩展我们的数字系统。
+
+最后的复杂因素是**，我们想要反转的许多函数对于多个参数都采用相同的值。** 函数，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)与![](img/tex-fbce4a1ebe576539394e9493e30c7e5e.gif)，正方形，将![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)带到![](img/tex-32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.gif)，就是一个很好的例子。
+
+![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)和![](img/tex-47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.gif)具有相同的平方。哪个应该被称为![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)的平方根？
+
+正弦函数是周期性的，当你围绕一个圆周围时，它会无限重复，周期为![](img/tex-c3198a6dbef629ca31403b4ccdff3fc7.gif)（以弧度为单位测量角度）。正弦值具有相同值的众多参数中的哪一个应该作为正弦函数的反函数的值？
+
+这些问题的答案是，在反转函数![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)不止一次采用相同的值时，我们必须**首先限制![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的域，这样就不会发生这种情况，**所以**如果我们希望它的逆是单值函数，那么![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在这个受限域中最多只取一次值。** 平方函数可以限制为非负数，也可以限制为非正数（或适当的混合）。 **在这种限制之后，这个问题消失了，**，因为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)在受限域中是单值的。
+
+对于根，我们通常将被反转的幂的域限制为非负数，这意味着我们写为![](img/tex-d156fc4dc7b1d0eb31c97b6be2cd1bce.gif)的平方根总是正的。原则上我们可以选择![](img/tex-d156fc4dc7b1d0eb31c97b6be2cd1bce.gif)为负值，或者对其部分域进行否定，对其余部分为正。我们不这样做有两个原因：首先，这是不自然的事情;第二，正平方根具有很好的性质，即产品的平方根，例如![](img/tex-3e44107170a520582ade522fa73c1d15.gif)是它们的平方根的乘积;对于负平方根，这不是正确的，因为它们中的两个的乘积是正的，并且从不是负平方根。
+
+一般来说，我们所说的意味着当![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)不是单值时，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的反函数需要一个明确定义的附加条件。要获得唯一的反函数，必须将![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的域限制为![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)为单值的域。
+
+关于逆函数有三个观察结果，两个很好，另一个不太好。
+
+第一个不错的是，**非常容易找到原始函数**的反函数图，因此决定![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的域（它成为![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)的范围在电子表格上绘制![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)同样容易。
+
+找到反函数图形的一种方法是在主对角线周围以![](img/tex-4f08e3dba63dc6d40b22952c7a9dac6d.gif)弧度（![](img/tex-045117b0e0a11a242b9765e79cbf113f.gif)度）旋转纸张（其上有图形）（以角度![](img/tex-7d0ab8fde227931c7e02de2f71305a20.gif)通过原点的线或![](img/tex-6c8349cc7260ae62e3b1396831a8398f.gif)从![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴逆时针旋转。）
+
+然后你会发现你必须在函数中查看你的论文，但这通常可以完成，如果你从![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的图表开始，你正在查看![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的反函数图。
+
+对于电子表格，您可以设置用于绘制函数图形的电子表格，并将参数列![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)复制到值![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)列之外，然后突出显示并执行旧![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的 xy 散点图和新的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)专栏。您将看到与函数相反的图形。
+
+**练习：**
+
+**8.1 设置一个电子表格，绘制从![](img/tex-b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472.gif)到![](img/tex-c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.gif)的域中的指数函数。将参数列复制到其值列之后，突出显示值列和复制的列，并将反函数绘制为指数，这是自然![](img/tex-cb139ffd45872a9a5f17ece5cdb1d314.gif)函数。 ![](img/tex-2e2d2bfd8d38a8371cedaa366a5c07ab.gif) ![](img/tex-cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif)的论点是什么？它的论点是什么![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)？ ![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)？**
+
+**8\. 2 下面的数学运算允许您输入函数并绘制它们的反转以及它们自己。通过使用 mathlet 查找给定域中![](img/tex-d2d9ff050c6216f119106a42e9624e9f.gif)的反转来检查![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)的答案。**
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/operations-on-functions.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
+
+不太好的观察结果是，在特定的参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)中找不到反函数的值没有标准的明显方法。我们讨论过的所有其他函数都可以通过执行简单的标准操作来找到，例如添加，除法，乘法，减法和替换。但逆转没有这样的程序。
+
+一般来说，不可能有一个。这是因为通常你必须为原始函数选择域以使其成为单值，并且计算逆的方法必须事先知道你将做出什么决定，如果要得到相应的逆。这是一般不能做的事情。
+
+当然，您可能会遇到的大多数反函数，也许所有反函数都可以作为电子表格或计算器上的函数来访问。您可以通过按下按钮来计算它们。这是因为您的机器及其程序的制造商已经决定了您为原始函数选择哪个域，以及因此对其使用反函数的范围，并使用了一些偷偷摸摸的程序来计算它它已经确定。
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+# 8.2 微分反函数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section02.html)
+
+第一个好消息是，即使没有通用的方法来计算给定参数的函数反函数的**值**，也有一个简单的公式**导数**的根据![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)本身的导数，![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)的倒数。
+
+实际上，![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif) **的导数是![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)导数的倒数，其参数和值相反。**
+
+这在几何上或多或少是显而易见的。函数![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的导数是![](img/tex-3baffd623d24688b6229e8808f4dd24a.gif)，而![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)的任何反函数的导数是![](img/tex-5442053456f58fd01a8535b8bf8c17d7.gif)，如果在![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)值处进行评估，它将是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)值的前者的倒数![](img/tex-0bcc6eb07326241ec09fb86e20e4f2b1.gif)。
+
+让我们用代数来证明这一点。我们所要做的就是将链规则应用于![](img/tex-e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)的定义属性，即![](img/tex-0599f1d3ec27f0726a6081f8f15700b9.gif)。根据链规则，我们在![](img/tex-ed9f27b1985462e6a73fb994ba1a1466.gif)评估了![](img/tex-f8eddf6fe2dcf8fd9efe0acf95be2999.gif)。
+
+这意味着反函数的导数是函数本身的导数的倒数，在反函数的值处进行计算。
+
+**这个论点似乎很简单，但令人困惑。您是否可以使用此规则实际找到反转的导数而不必疯狂？**
+
+让我们看看这对指数函数及其反函数![](img/tex-082b0e41ac5d0f86aa6e51587580f3b7.gif)意味着什么。指数函数的导数本身就是![](img/tex-f816c6890016193bb7c1429c6dfa7460.gif)。那么对数函数的导数![](img/tex-0863e12ee0569355a848df1304f33054.gif)是指数的倒数，在![](img/tex-082b0e41ac5d0f86aa6e51587580f3b7.gif)评估;这是![](img/tex-e2569338bdcfa258a125844654a6435a.gif)，即![](img/tex-afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.gif)。后一种说法来自于逆的定义，它告诉我们![](img/tex-6615a0a8a8a4be955436b2f2f55f84ee.gif)。
+
+类似地，对于正弦函数，由于其在参数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)处的导数是![](img/tex-7b8d097ebe7de2080ff1dc9a2b6f0807.gif)，![](img/tex-6b5a3bd3ccba039520f633705222b7e3.gif)的导数是其余弦的倒数，或![](img/tex-cf3eb9d74a64e47b7954802bfb748e9b.gif)。
+
+你可以把它留在那，但我们通常把它减少到稍微不那么丑的东西。电子表格与我们在下一段中最终得到的结果一样满意。顺便说一下，无论我输入= acos（A6），我的电子表格都会给出参数 A6 的 arcccosine 函数。
+
+正如我们在第 7 章中所见，![](img/tex-96eb9bf5314b593783ee57983efbed9d.gif)是![](img/tex-8158e254566345dbb08f752d3465ede6.gif)，![](img/tex-c84d4c688699638737c0ad61a336853b.gif)是![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，我们发现![](img/tex-94b0761e120767730a78303563880e1c.gif)是![](img/tex-06fa5ec97b0710cbed94b1249370c389.gif)，其倒数是![](img/tex-9179cbfd15580a2bd66f17fd2319ffd6.gif)的导数。
+
+![](img/tex-60d17e7fc37469dee94075563f73531d.gif)
+
+类似地，![](img/tex-1f31f8c0da2e32b6acaa5b9a0e5154e9.gif)的导数是![](img/tex-5fcb7d6cecf51226bc4307c0eb35cf48.gif)。这因此告诉![](img/tex-fb948c961db66429dcc9a638c40d5400.gif)的导数是在参数![](img/tex-fb948c961db66429dcc9a638c40d5400.gif)处评估的导数。这是
+
+![](img/tex-3651412af1b7cbf0357394904811e98c.gif)
+
+这是完全相同的结果![](img/tex-bfc3ad791a0ee9d563675d9b0062c92c.gif)，它适用于整数幂，
+
+事实上，对于任何理性的力量，![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)，正面或负面，我们都有
+
+![](img/tex-bfc3ad791a0ee9d563675d9b0062c92c.gif)
+
+我们已经提到**关于反函数的另一条好消息。** 即使没有明显的方法来计算一个特定的值，在一个特定的参数，有一个简单的方法来计算![](img/tex-b127e11e723cd038ba3a6bbcc16048bd.gif)的值，你可以在一分钟左右实际执行一次电子表格你知道怎么做，假设你知道如何计算![](img/tex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)。您所要做的就是在执行![](img/tex-3e44107170a520582ade522fa73c1d15.gif)散点图时反转![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif)列的顺序。通过这样做，您可以看到结果给出了“多值函数”而不是普通函数，并且可以为逆向选择您喜欢的单值范围。
+
+**练习：**
+
+**8.3 使用上面证明的事实，![](img/tex-798d3c5f50d4ff050258222d1d517e93.gif)找到![](img/tex-387879179eb4f2de9ed32f74dc65da68.gif)。 （您可以使用多重出现规则或产品规则）**
+
+**8.4 角度![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的正切，表示为![](img/tex-dccccf4f9ce98de1e8ea91ccf156eadd.gif)，是由正弦除以余弦给出的比率：![](img/tex-9084717daacf3ae14f7a81483a6cd29b.gif)。 ![](img/tex-dccccf4f9ce98de1e8ea91ccf156eadd.gif)的导数是什么？从中找到![](img/tex-48cb1bd43454e3f90b25e9f0170e92cd.gif)的导数（称为![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)的反正切），![](img/tex-dccccf4f9ce98de1e8ea91ccf156eadd.gif)的反函数，（当![](img/tex-dccccf4f9ce98de1e8ea91ccf156eadd.gif)的域被限制为从![](img/tex-0416f0ff12139c0dd92078e055d72dc1.gif)到![](img/tex-4dac25bca00f0be7f027fca9a002d0ad.gif)时）。**
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+# 8.3 更多规则
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section03.html)
+
+到目前为止讨论的区分规则允许我们找到您将遇到的大多数函数的导数的公式。
+
+然而，实际上还有其他的区分规则，我们最终会讨论。我们在这里没有这样做，因为定义要区分的函数涉及我们尚未讨论的概念。
+
+特别是，我们尚未考虑其导数的函数是：**无限和**，以及函数图和两个给定![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)值之间的 x 轴之间的**区域。** 后面这类东西被称为**定积分。如果给定的 x 值都是有限的并且函数是从上方和下方限定的，那么它被称为适当的积分。**
+
+这些规则在工作时非常简单，因此关于它们的唯一有趣的事情是确定它们的工作时间。
+
+**对于无限和，你可以应用求和规则，只需对所有项的导数求和，得到和的导数**，除非总和在某种程度上变为无穷大。
+
+**对于区分函数的适当积分与该函数**中出现的参数相同也是如此。您可以根据该参数区分函数，并找到结果的积分，如果有意义的话，并且问题中没有潜在的无穷大。
+
+**您还可以将变量区分为变量，该变量是定义它的区域的端点之一。** 对于上端点，答案是**被积函数，它是定义积分的函数，本身在**中进行评估，我们很快就会看到。 （顺便说一下，这个陈述是微积分基本定理的一个方向，很容易证明，我们很快就会看到。这是声明：
+
+![](img/tex-a877dc94a32a308d6bf4a34ecc702ab4.gif)
+
+**练习 8.5 使用反转的[小程序](../chapter08/section01.html#OperationsOnFunctions)绘制![](img/tex-400dfd88c178b120ea1abbe3101c5945.gif)和![](img/tex-ca51fe86fd5b9a8b85c7642a8d460cb4.gif)。**
+
+**我厌倦了这些东西。**
+
+好吧，我们真的已经完成了传统上如何区分函数的内容。多重出现规则，链规则和反向规则告诉我们如何区分我们可以构造的任何东西，从我们知道的三个函数![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)，![](img/tex-d2d9ff050c6216f119106a42e9624e9f.gif)和![](img/tex-cdba58911c590ced3e2435dfa39f6873.gif)开始。当你找到导数时很容易出错，所以有办法检查你的答案是明智的。
+
+**怎么样？**
+
+一种简单的方法是将它们与数值区分的结果进行比较，我们接下来将对此进行描述。
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+++ b/docs/8.md
+# 1.3 复数
+
+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section03.html)
+
+乘法运算中的一个是平方数。这是将数字乘以其自身的运算。因此![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)乘![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)是![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)。我们可以要求这个平方操作的反转。这是一个作用于![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)的操作应该回馈![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)。此操作有一个名称：它被称为**平方根。 ** ![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)的平方根是![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)。
+
+这里有两个很棒的复杂函数。第一个是![](img/tex-47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.gif)次![](img/tex-47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.gif)也是![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)，因此![](img/tex-8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.gif)有两个平方根，![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)和![](img/tex-47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.gif)。任何积极的实数都是一样的。任何正实数都有两个平方根。
+
+第二个复杂因素是：负数的平方根究竟是什么？
+
+那么没有实数的正方形是![](img/tex-5d7b9adcbe1c629ec722529dd12e5129.gif)或![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)或减去任何正数。
+
+当我们在自然数中发现减法（这是加法的逆运算）导致非自然数时，我们通过定义**整数**来扩展自然数以包括自然数和它们的负数也是零。
+
+当我们考虑除法，这是乘法的逆运算时，我们再次扩展我们的数字以包括**分数。**
+
+好吧，为了适应逆操作以平方数，我们还可以扩展我们的数字以包括新实体，其中我们可以找到负数的平方根。
+
+事实证明，我们只需要引入一个新的数字，通常指定为 **i** ，它被定义为由![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)给出的平方。换句话说，我们定义新的数字 i 来服从方程式![](img/tex-be0dcda79164a08d3bfe1b4c39bf19a6.gif)我们可以得到正方形是任何其他负数的数字，比如![](img/tex-47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.gif)，通过将![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)乘以适当的实数，这里是平方根![](img/tex-e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.gif)。数字 **![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)** 绝对不是实数，所以我们称它为**一个虚数;** 这个术语实际上是愚蠢的。虚构的数字在我们的想象中与真实数字一样存在。当然，它们不是自然数或整数甚至分数，或实数。
+
+事实证明，如果我们看一下![](img/tex-bd9d908ecf869226c9e58b6ef821404a.gif) ![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)是实数的形式的数字，我们得到所谓的**复数，**我们可以定义加法，减法乘法，正如我们可以为理性或实数而划分这些。
+
+如果你想看看这些规则是什么， [**请点击这里。**](complement01.html)
+
+因此，通过数字我们将意味着**有理数，实数或复数，**，其中加法，减法乘法和除法的运算被定义并具有所有标准属性。
+
+顺便说一下，我们经常用平面上的点来表示复数。实数对应于 x 轴上的点，虚数可以被认为是 y 轴上的点。数字![](img/tex-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif)是 y 轴上原点上方的距离![](img/tex-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif)。一般的复数具有由其![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)组分描述的实部和由其![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)组分描述的复杂部分。
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+> 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/complement01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/complement01.html)
+
+## 复数运算
+
+要添加或减去复数（形式为![](img/tex-bd9d908ecf869226c9e58b6ef821404a.gif)的实体），请分别对实部（![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)）和虚部（![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)）进行适当的处理。
+
+例如，我们有
+
+![](img/tex-b3f623c4fe6e205d70b1fb94b9efc182.gif)
+
+要将两个复数相乘，可以将两个因子中的项相乘（使用乘法的线性（也称为分配律），并使用![](img/tex-260022a00a39c9788963d41f295955a5.gif)为![](img/tex-6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.gif)的事实。
+
+例如，我们得到
+
+![](img/tex-4b68b900fff744afb5e8ce45d08c7fc5.gif)
+
+划分稍微复杂一点，因为我们希望我们的答案具有![](img/tex-bd9d908ecf869226c9e58b6ef821404a.gif)形式而不是这种形式的比例（尽管![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)可以是比率）。
+
+为了得到这个，我们使用了一个奇妙的事实，即任何复数乘以其复共轭（通过反转其![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)的符号得到的）是一个实数。
+
+在符号中，这是![](img/tex-4bcedc035de22f20e093462948a26277.gif)。
+
+**怎么样？**
+
+使用分配法将其乘以看出来。
+
+**这有什么用？**
+
+我们将这个等式重写为![](img/tex-6aa204265cabecfec1e03efcd103502d.gif)，它告诉我们**乘以![](img/tex-6f6f29c4590c181678d3c633da24af85.gif)** 与**乘以实数![](img/tex-ff003791a19bbc8cc92c0c059acba948.gif)相同，然后除以![](img/tex-0c0c33919a3ab734a416a0952e0c0af4.gif)。**
+
+这意味着**除以![](img/tex-6f6f29c4590c181678d3c633da24af85.gif)** 是相反的操作，即**乘以![](img/tex-0c0c33919a3ab734a416a0952e0c0af4.gif)** 并除以实数 **![](img/tex-ff003791a19bbc8cc92c0c059acba948.gif)** 。
+
+因此除以复数，比如![](img/tex-fab8223b9e43b9cf44917af78dc30f35.gif)与乘以![](img/tex-01461afae1af4f313ba7c69a9e4b5628.gif)并将结果除以![](img/tex-98cd13230472083d8576c04ebde8e38d.gif)即![](img/tex-d03086ce92ea162b1e0d3639361997e7.gif)或![](img/tex-c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.gif)相同。
+
+因此，例如， **![](img/tex-43cea106ec505b5024ebe329105c0ccd.gif)** 是![](img/tex-8a0442850418d3f55743acb029aa6655.gif)，其是![](img/tex-ceebafcfafc751152502a8390a96fd09.gif)或 **![](img/tex-0bc319d41017c681ebd43336e3c1a8d9.gif)。**
+
+**因此，我们有复数加法，减法，乘法和除法的规则**。
+
+顺便说一下，数量![](img/tex-91dcd1eb2fc092f982e5e87b8685d280.gif)被称为**复数![](img/tex-bd9d908ecf869226c9e58b6ef821404a.gif)的幅度**的平方。
+
+## 复数的几何表示
+
+复数，（![](img/tex-e1c7763a1ff9fc138ac41c27163a66c2.gif)与![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)实数）可以用平面上的点表示，![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)坐标![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)坐标![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)。
+
+这定义了所谓的“复杂平面”。 **它与普通飞机的不同之处仅在于我们知道如何将复数乘以和除以得到另一个复数**这一事实，我们通常不知道如何对平面中的点做。
+
+这张照片表明还有另一种描述复数的方法。而不是使用它的![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)和![](img/tex-415290769594460e2e485922904f345d.gif)坐标来描述它的实部和虚部。我们可以使用从复平面中的点到原点![](img/tex-5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.gif)的距离，以及**从原点到该点的线段形成的角度，以及![](img/tex-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)轴**的正半径。到原点的**距离通常表示为![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)** ，该角度通常称为![](img/tex-47994d377ff69978b3ee73b70de1dba6.gif)（θ）。 ![](img/tex-47994d377ff69978b3ee73b70de1dba6.gif)被称为**“阶段”**，有时称为**“参数”**“的复数。**到原点的距离称为”幅度“，也称为“绝对价值”。**
+
+**这些参数![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)和![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)如何与![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)相关？**
+
+我们使用欧几里德对距离的定义，毕达哥拉斯定理就是这样定义的。这告诉我们
+
+**![](img/tex-e8c5c694416aafd863374354dd1c7995.gif)**
+
+至于![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)，我们使用正弦和余弦的标准三角定义。角度的正弦定义为其 y 坐标![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)与长度![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)的比率，余弦是其 x 坐标![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)与![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)的比率。因此![](img/tex-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)是正弦为![](img/tex-1480daf66c559d0f5fbde2535218c0ef.gif)的角度，其余弦为![](img/tex-d507e2e3f6632794a14543d05fd3c4cc.gif)。
+
+这给了我们关系
+
+**![](img/tex-32a8d991730e448be3ca74aeb281461b.gif)**
+
+**What good is this?**
+
+我们最终会看到很多好处。但是现在我们可以注意到以下奇怪的事实：
+
+根据![](img/tex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif)和![](img/tex-92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.gif)，称为复数的实部和虚部，加法和减法很容易描述，（分别加上或减去每个部分，好像其他部分不存在一样：![](img/tex-d5a127b91a051d98281b18695c786662.gif)，但乘法和除法有点难看。
+
+就![](img/tex-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)和![](img/tex-47994d377ff69978b3ee73b70de1dba6.gif)而言，复数的大小和相位，情况正好相反。也就是说，乘法和除法很容易描述，而加法和减法有点难看。
+
+**怎么样？**
+
+那么，**你可以将两个复数乘以它们的大小，并加上它们的相位**。您可以相应地除以幅度，然后从分子的相位中减去分母的相位。
+
+明确地，我们**是具有幅度![](img/tex-baf606802b02a2603db47ea634c06429.gif)和相![](img/tex-7672d625e9a2492987c50d3b87c04349.gif)的复数的乘积，具有幅度和相位的复数![](img/tex-9968fc4470c99482a3c991158a8e9448.gif)和![](img/tex-f5c8ffde98d21ed0a6e0c94fee184059.gif)，是具有幅度![](img/tex-4961a9cb6814d2149f2cf983a07cc368.gif)的复数，并且阶段![](img/tex-e3e25e54b6042039193e44436ed0df87.gif)。**
+
+（关于幅度和相位的加法和减法的规则可以从实部和虚部的规则中推导出来，但不是特别有启发性，因为它们很混乱。）
+
+你可以在下面的 mathlet 上看到这一切。您可以通过在适当的头上单击鼠标左键并在移动时按住它来移动复数![](img/tex-f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.gif)和![](img/tex-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.gif)。它允许您在更改时检查产品差异和复数比率的行为。要查看使用此 mathlet 可以执行的操作，请单击右上角的“+ about”。
+
+&lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/complex-numbers.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt;
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