--- title: '常用的位运算技巧' tags: ['数学', '位运算'] ---

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![](https://labuladong.github.io/pictures/souyisou1.png) **通知:[数据结构精品课](https://aep.h5.xeknow.com/s/1XJHEO) 已更新到 V2.1,[手把手刷二叉树系列课程](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3) 上线。[第 18 期每日打卡](https://aep.xet.tech/s/2PLO1n) 开始报名。反馈或修正 chatGPT 翻译的多语言代码 [点击这里](https://github.com/labuladong/fucking-algorithm/issues/1113)。另外,建议你在我的 [网站](https://labuladong.github.io/algo/) 学习文章,体验更好。** 读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目: | LeetCode | 力扣 | 难度 | | :----: | :----: | :----: | | [136. Single Number](https://leetcode.com/problems/single-number/) | [136. 只出现一次的数字](https://leetcode.cn/problems/single-number/) | 🟢 | [191. Number of 1 Bits](https://leetcode.com/problems/number-of-1-bits/) | [191. 位1的个数](https://leetcode.cn/problems/number-of-1-bits/) | 🟢 | [231. Power of Two](https://leetcode.com/problems/power-of-two/) | [231. 2 的幂](https://leetcode.cn/problems/power-of-two/) | 🟢 | [268. Missing Number](https://leetcode.com/problems/missing-number/) | [268. 丢失的数字](https://leetcode.cn/problems/missing-number/) | 🟢 | - | [剑指 Offer 15. 二进制中1的个数](https://leetcode.cn/problems/er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-lcof/) | 🟢 **-----------** 位操作(Bit Manipulation)可以有很多技巧,有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法,网址如下: http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html 但是这些技巧大部分都过于晦涩,我觉得可以作为字典查阅,没必要逐条深究。但我认为那些有趣的、有用的位运算技巧,是我们每个人需要掌握的。​ 所以本文由浅入深,先展示几个有趣(但没卵用)的位运算技巧,然后再汇总一些在算法题以及工程开发中常用的位运算技巧。 ### 一、几个有趣的位操作 1. **利用或操作 `|` 和空格将英文字符转换为小写** ```java ('a' | ' ') = 'a' ('A' | ' ') = 'a' ``` 2. **利用与操作 `&` 和下划线将英文字符转换为大写** ```java ('b' & '_') = 'B' ('B' & '_') = 'B' ``` 3. **利用异或操作 `^` 和空格进行英文字符大小写互换** ```java ('d' ^ ' ') = 'D' ('D' ^ ' ') = 'd' ``` 以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字,恰巧空格和下划线对应的数字通过位运算就能改变大小写。有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算,本文就不展开讲了。 4. **不用临时变量交换两个数** ```java int a = 1, b = 2; a ^= b; b ^= a; a ^= b; // 现在 a = 2, b = 1 ``` 5. **加一** ```java int n = 1; n = -~n; // 现在 n = 2 ``` 6. **减一** ```java int n = 2; n = ~-n; // 现在 n = 1 ``` 7. **判断两个数是否异号** ```java int x = -1, y = 2; boolean f = ((x ^ y) < 0); // true int x = 3, y = 2; boolean f = ((x ^ y) < 0); // false ``` 如果说前 6 个技巧的用处不大,这第 7 个技巧还是比较实用的,利用的是**补码编码**的符号位。整数编码最高位是符号位,负数的符号位是 1,非负数的符号位是 0,再借助异或的特性,可以判断出两个数字是否异号。 当然,如果不用位运算来判断是否异号,需要使用 if else 分支,还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号,但是这种处理方式容易造成整型溢出,从而出现错误。 ### `index & (arr.length - 1)` 的运用 我在 [单调栈解题套路](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=单调栈) 中介绍过环形数组,其实就是利用求模(余数)的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形,永远都走不完: ```java int[] arr = {1,2,3,4}; int index = 0; while (true) { // 在环形数组中转圈 print(arr[index % arr.length]); index++; } // 输出:1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4... ``` 但模运算 `%` 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作,所以我们可以用 `&` 运算来求余数: ```java int[] arr = {1,2,3,4}; int index = 0; while (true) { // 在环形数组中转圈 print(arr[index & (arr.length - 1)]); index++; } // 输出:1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4... ``` > note:注意这个技巧只适用于数组长度是 2 的幂次方的情况,比如 2、4、8、16、32 以此类推。至于如何将数组长度扩展为 2 的幂次方,这也是有比较巧妙的位运算算法的,可以参考 https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#RoundUpPowerOf2 简单说,`& (arr.length - 1)` 这个位运算能够替代 `% arr.length` 的模运算,性能会更好一些。 那问题来了,现在是不断地 `index++`,你做到了循环遍历。但如果不断地 `index--`,还能做到环形数组的效果吗? 答案是,如果你使用 `%` 求模的方式,那么当 `index` 小于 0 之后求模的结果也会出现负数,你需要特殊处理。但通过 `&` 与运算的方式,`index` 不会出现负数,依然可以正常工作: ```java int[] arr = {1,2,3,4}; int index = 0; while (true) { // 在环形数组中转圈 print(arr[index & (arr.length - 1)]); index--; } // 输出:1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1... ``` 我们自己写代码一般用不到这个技巧,但在学习一些其他代码库时可能会经常看到,这里留个印象,到时候就不会懵逼了。 ### 二、`n & (n-1)` 的运用 **`n & (n-1)` 这个操作在算法中比较常见,作用是消除数字 `n` 的二进制表示中的最后一个 1**。 看个图就很容易理解了: ![](https://labuladong.github.io/pictures/位操作/1.png) 其核心逻辑就是,`n - 1` 一定可以消除最后一个 1,同时把其后的 0 都变成 1,这样再和 `n` 做一次 `&` 运算,就可以仅仅把最后一个 1 变成 0 了。 **1、计算汉明权重(Hamming Weight)** 这是力扣第 191 题「位 1 的个数」: ![](https://labuladong.github.io/pictures/位操作/title.png) 就是让你返回 `n` 的二进制表示中有几个 1。因为 `n & (n - 1)` 可以消除最后一个 1,所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数,直到 `n` 变成 0 为止。 ```java int hammingWeight(int n) { int res = 0; while (n != 0) { n = n & (n - 1); res++; } return res; } ``` **2、判断一个数是不是 2 的指数** 力扣第 231 题「2 的幂」就是这个问题。 一个数如果是 2 的指数,那么它的二进制表示一定只含有一个 1: ```java 2^0 = 1 = 0b0001 2^1 = 2 = 0b0010 2^2 = 4 = 0b0100 ``` 如果使用 `n & (n-1)` 的技巧就很简单了(注意运算符优先级,括号不可以省略): ```java boolean isPowerOfTwo(int n) { if (n <= 0) return false; return (n & (n - 1)) == 0; } ``` ### 三、`a ^ a = 0` 的运用 异或运算的性质是需要我们牢记的: 一个数和它本身做异或运算结果为 0,即 `a ^ a = 0`;一个数和 0 做异或运算的结果为它本身,即 `a ^ 0 = a`。 **1、查找只出现一次的元素** 这是力扣第 136 题「只出现一次的数字」: ![](https://labuladong.github.io/pictures/位操作/title1.png) 对于这道题目,我们只要把所有数字进行异或,成对儿的数字就会变成 0,落单的数字和 0 做异或还是它本身,所以最后异或的结果就是只出现一次的元素: ```java int singleNumber(int[] nums) { int res = 0; for (int n : nums) { res ^= n; } return res; } ``` **2、寻找缺失的元素** 这是力扣第 268 题「丢失的数字」: ![](https://labuladong.github.io/pictures/缺失元素/title.png) 给一个长度为 `n` 的数组,其索引应该在 `[0,n)`,但是现在你要装进去 `n + 1` 个元素 `[0,n]`,那么肯定有一个元素装不下嘛,请你找出这个缺失的元素。 这道题不难的,我们应该很容易想到,把这个数组排个序,然后遍历一遍,不就很容易找到缺失的那个元素了吗? 或者说,借助数据结构的特性,用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来,再遍历 `[0,n]` 之间的数字,去 HashSet 中查询,也可以很容易查出那个缺失的元素。 排序解法的时间复杂度是 O(NlogN),HashSet 的解法时间复杂度是 O(N),但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。 这个问题其实还有一个特别简单的解法:等差数列求和公式。 题目的意思可以这样理解:现在有个等差数列 `0, 1, 2,..., n`,其中少了某一个数字,请你把它找出来。那这个数字不就是 `sum(0,1,..n) - sum(nums)` 嘛? ```java int missingNumber(int[] nums) { int n = nums.length; // 虽然题目给的数据范围不大,但严谨起见,用 long 类型防止整型溢出 // 求和公式:(首项 + 末项) * 项数 / 2 long expect = (0 + n) * (n + 1) / 2; long sum = 0; for (int x : nums) { sum += x; } return (int)(expect - sum); } ``` 不过,本文的主题是位运算,我们来讲讲如何利用位运算技巧来解决这道题。 再回顾一下异或运算的性质:一个数和它本身做异或运算结果为 0,一个数和 0 做异或运算还是它本身。 而且异或运算满足交换律和结合律,也就是说: ```java 2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3 ``` 而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素,比如说 `nums = [0,3,1,4]`: ![](https://labuladong.github.io/pictures/缺失元素/1.jpg) 为了容易理解,我们假设先把索引补一位,然后让每个元素和自己相等的索引相对应: ![](https://labuladong.github.io/pictures/缺失元素/2.jpg) 这样做了之后,就可以发现除了缺失元素之外,所有的索引和元素都组成一对儿了,现在如果把这个落单的索引 2 找出来,也就找到了缺失的那个元素。 如何找这个落单的数字呢,**只要把所有的元素和索引做异或运算,成对儿的数字都会消为 0,只有这个落单的元素会剩下**,也就达到了我们的目的: ```java int missingNumber(int[] nums) { int n = nums.length; int res = 0; // 先和新补的索引异或一下 res ^= n; // 和其他的元素、索引做异或 for (int i = 0; i < n; i++) res ^= i ^ nums[i]; return res; } ``` ![](https://labuladong.github.io/pictures/缺失元素/3.jpg) 由于异或运算满足交换律和结合律,所以总是能把成对儿的数字消去,留下缺失的那个元素。 到这里,常见的位运算差不多都讲完了。这些技巧就是会者不难难者不会,也不需要死记硬背,只要有个印象就完全够用了。
引用本文的文章 - [丑数系列算法详解](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=丑数) - [如何同时寻找缺失和重复的元素](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=缺失和重复的元素)


引用本文的题目 安装 [我的 Chrome 刷题插件](https://mp.weixin.qq.com/s/X-fE9sR4BLi6T9pn7xP4pg) 点开下列题目可直接查看解题思路: | LeetCode | 力扣 | | :----: | :----: | | [389. Find the Difference](https://leetcode.com/problems/find-the-difference/?show=1) | [389. 找不同](https://leetcode.cn/problems/find-the-difference/?show=1) | | - | [剑指 Offer 15. 二进制中1的个数](https://leetcode.cn/problems/er-jin-zhi-zhong-1de-ge-shu-lcof/?show=1) |
**_____________** **《labuladong 的算法小抄》已经出版,关注公众号查看详情;后台回复关键词「**进群**」可加入算法群;回复「**全家桶**」可下载配套 PDF 和刷题全家桶**: ![](https://labuladong.github.io/pictures/souyisou2.png) ======其他语言代码====== [191.位1的个数](https://leetcode-cn.com/problems/number-of-1-bits) [231.2的幂](https://leetcode-cn.com/problems/power-of-two/) ### python 由[JodyZ0203](https://github.com/JodyZ0203)提供 191. 位1的个数 Python3 解法代码: ```Python class Solution: def hammingWeight(self, n: int) -> int: # 先定义一个count,用来存1的出现数量 count = 0 # 只要二进制串不等于0之前,我们用一个循环边消除1和计1的出现数量 while n!=0: # 用labuladong在文章中所提到的 n&(n-1) 技巧来消除最后一个1 n = n & (n-1) count+=1 # 当二进制串全消除完之后,返回1出现的总数量 return count ``` ### javascript [191.位1的个数](https://leetcode-cn.com/problems/number-of-1-bits) ```js let hammingWeight = function(n) { let res = 0; while (n !== 0) { n = n & (n - 1); res++; } return res; } ``` [231.2的幂](https://leetcode-cn.com/problems/power-of-two/) ```js /** * @param {number} n * @return {boolean} */ let isPowerOfTwo = function(n) { if (n <= 0) return false; return (n & (n - 1)) === 0; } ``` [136. 只出现一次的数字](https://leetcode-cn.com/problems/single-number/) 查找只出现一次的元素 ```js /** * @param {number[]} nums * @return {number} */ let singleNumber = function(nums) { let res = 0; for (let n of nums) { res ^= n; } return res; } ```