# 动态规划之正则表达

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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [10. Regular Expression Matching](https://leetcode.com/problems/regular-expression-matching/) | [10. 正则表达式匹配](https://leetcode.cn/problems/regular-expression-matching/) | 🔴
| - | [剑指 Offer 19. 正则表达式匹配](https://leetcode.cn/problems/zheng-ze-biao-da-shi-pi-pei-lcof/) | 🔴

**-----------**

正则表达式是一个非常强力的工具，本文就来具体看一看正则表达式的底层原理是什么。力扣第 10 题「正则表达式匹配」就要求我们实现一个简单的正则匹配算法，包括「.」通配符和「*」通配符。

这两个通配符是最常用的，其中点号「.」可以匹配任意一个字符，星号「*」可以让之前的那个字符重复任意次数（包括 0 次）。

比如说模式串 `".a*b"` 就可以匹配文本 `"zaaab"`，也可以匹配 `"cb"`；模式串 `"a..b"` 可以匹配文本 `"amnb"`；而模式串 `".*"` 就比较牛逼了，它可以匹配任何文本。

题目会给我们输入两个字符串 `s` 和 `p`，`s` 代表文本，`p` 代表模式串，请你判断模式串 `p` 是否可以匹配文本 `s`。我们可以假设模式串只包含小写字母和上述两种通配符且一定合法，不会出现 `*a` 或者 `b**` 这种不合法的模式串，

函数签名如下：

```cpp
bool isMatch(string s, string p);
```

对于我们将要实现的这个正则表达式，难点在那里呢？

点号通配符其实很好实现，`s` 中的任何字符，只要遇到 `.` 通配符，无脑匹配就完事了。主要是这个星号通配符不好实现，一旦遇到 `*` 通配符，前面的那个字符可以选择重复一次，可以重复多次，也可以一次都不出现，这该怎么办？

对于这个问题，答案很简单，对于所有可能出现的情况，全部穷举一遍，只要有一种情况可以完成匹配，就认为 `p` 可以匹配 `s`。那么一旦涉及两个字符串的穷举，我们就应该条件反射地想到动态规划的技巧了。

### 一、思路分析

我们先脑补一下，`s` 和 `p` 相互匹配的过程大致是，两个指针 `i, j` 分别在 `s` 和 `p` 上移动，如果最后两个指针都能移动到字符串的末尾，那么久匹配成功，反之则匹配失败。

**如果不考虑 `*` 通配符，面对两个待匹配字符 `s[i]` 和 `p[j]`，我们唯一能做的就是看他俩是否匹配**：

```cpp
bool isMatch(string s, string p) {
    int i = 0, j = 0;
    while (i < s.size() && j < p.size()) {
        // 「.」通配符就是万金油
        if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
            // 匹配，接着匹配 s[i+1..] 和 p[j+1..]
            i++; j++;
        } else {
            // 不匹配
            return false;
        }
    }
    return i == j;
}
```

那么考虑一下，如果加入 `*` 通配符，局面就会稍微复杂一些，不过只要分情况来分析，也不难理解。

**当 `p[j + 1]` 为 `*` 通配符时，我们分情况讨论下**：

1、如果 `s[i] == p[j]`，那么有两种情况：

1.1 `p[j]` 有可能会匹配多个字符，比如 `s = "aaa", p = "a*"`，那么 `p[0]` 会通过 `*` 匹配 3 个字符 `"a"`。

1.2 `p[i]` 也有可能匹配 0 个字符，比如 `s = "aa", p = "a*aa"`，由于后面的字符可以匹配 `s`，所以 `p[0]` 只能匹配 0 次。

2、如果 `s[i] != p[j]`，只有一种情况：

`p[j]` 只能匹配 0 次，然后看下一个字符是否能和 `s[i]` 匹配。比如说 `s = "aa", p = "b*aa"`，此时 `p[0]` 只能匹配 0 次。

综上，可以把之前的代码针对 `*` 通配符进行一下改造：

```cpp
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
    // 匹配
    if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
        // 有 * 通配符，可以匹配 0 次或多次
    } else {
        // 无 * 通配符，老老实实匹配 1 次
        i++; j++;
    }
} else {
    // 不匹配
    if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
        // 有 * 通配符，只能匹配 0 次
    } else {
        // 无 * 通配符，匹配无法进行下去了
        return false;
    }
}
```

整体的思路已经很清晰了，但现在的问题是，遇到 `*` 通配符时，到底应该匹配 0 次还是匹配多次？多次是几次？

你看，这就是一个做「选择」的问题，要把所有可能的选择都穷举一遍才能得出结果。动态规划算法的核心就是「状态」和「选择」，**「状态」无非就是 `i` 和 `j` 两个指针的位置，「选择」就是 `p[j]` 选择匹配几个字符**。

### 二、动态规划解法

根据「状态」，我们可以定义一个 `dp` 函数：

```cpp
bool dp(string& s, int i, string& p, int j);
```



<hr>
<details>
<summary><strong>引用本文的文章</strong></summary>

 - [最优子结构原理和 dp 数组遍历方向](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最优子结构)
 - [经典动态规划：编辑距离](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=编辑距离)

</details><hr>




<hr>
<details>
<summary><strong>引用本文的题目</strong></summary>

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| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| - | [剑指 Offer 19. 正则表达式匹配](https://leetcode.cn/problems/zheng-ze-biao-da-shi-pi-pei-lcof/?show=1) |

</details>



**＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿**

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======其他语言代码======

### javascript

[10.正则表达式匹配](https://leetcode-cn.com/problems/regular-expression-matching/)

```js
var isMatch = function (s, p) {
		// 备忘录
    let memo = {}
    let dp = function (s, i, p, j) {
        let m = s.length, n = p.length;

        // base case
        if (j === n) {
            return i === m;
        }

        if (i === m) {
            if ((n - j) % 2 === 1) {
                return false;
            }
            for (; j + 1 < n; j += 2) {
                if (p[j + 1] !== '*') {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }

        // 记录状态（i，j），消除重叠子问题
        let key = i + ',' + j

        if (memo[key] !== undefined) {
            return memo[key];
        }
        let res = false;

        if (s[i] === p[j] || p[j] === '.') {
            // 匹配
            if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
                // 1.1 通配符匹配 0 次或多次
                res = dp(s, i, p, j + 2) || dp(s, i + 1, p, j);
            } else {
                // 1.2 常规匹配1次
                res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
            }
        } else {
            // 不匹配
            if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
                // 2.1 通配符匹配0次
                res = dp(s, i, p, j + 2)
            } else {
                // 2.2 无法继续匹配
                res = false
            }
        }

        // 将当前结果记入备忘录
        memo[key] = res;

        return res;
    }

    // 指针 i，j 从索引 0 开始移动
    return dp(s, 0, p, 0);
};
```



### C++

```c++
class Solution {
public:
    map<string, bool> memo;
    bool isMatch(string s, string p) {
        // 指针 i，j 从索引 0 开始移动
        return dp(s, 0, p, 0);
    }

    /* 计算 p[j..] 是否匹配 s[i..] */
    bool dp(string& s, int i, string& p, int j) {
        int m = s.size(), n = p.size();
        // base case
        if (j == n) {
            return i == m;
        }
        if (i == m) {
            if ((n - j) % 2 == 1) {
                return false;
            }
            for (; j + 1 < n; j += 2) {
                if (p[j + 1] != '*') {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }

        // 记录状态 (i, j)，消除重叠子问题
        string key = to_string(i) + "," + to_string(j);
        if (memo.count(key)) return memo[key];
        
        bool res = false;
        
        if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
            if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
                res = dp(s, i, p, j + 2)
                || dp(s, i + 1, p, j);
            } else {
                res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
            }
        } else {
            if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
                res = dp(s, i, p, j + 2);
            } else {
                res = false;
            }
        }
        // 将当前结果记入备忘录
        memo[key] = res;
        
        return res;
    }
};
```

