# 如何高效寻找素数

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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [204. Count Primes](https://leetcode.com/problems/count-primes/) | [204. 计数质数](https://leetcode.cn/problems/count-primes/) | 🟠

**-----------**

素数的定义看起来很简单，如果一个数如果只能被 1 和它本身整除，那么这个数就是素数。

虽然素数的定义并不复杂，恐怕没多少人真的能把素数相关的算法写得高效。

比如力扣第 204 题「计数质数」，让你写这样一个函数：

```java
// 返回区间 [2, n) 中有几个素数 
int countPrimes(int n)

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数
```

你会如何写这个函数？我想大家应该会这样写：

```java
int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrime(i)) count++;
    return count;
}

// 判断整数 n 是否是素数
boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (n % i == 0)
            // 有其他整除因子
            return false;
    return true;
}
```

这样写的话时间复杂度 O(n^2)，问题很大。**首先你用 isPrime 函数来辅助的思路就不够高效；而且就算你要用 isPrime 函数，这样写算法也是存在计算冗余的**。

先来简单说下**如果你要判断一个数是不是素数，应该如何写算法**。只需稍微修改一下上面的 isPrime 代码中的 for 循环条件：

```java
boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        ...
}
```

换句话说，`i` 不需要遍历到 `n`，而只需要到 `sqrt(n)` 即可。为什么呢，我们举个例子，假设 `n = 12`。

```java
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2
```

可以看到，后两个乘积就是前面两个反过来，反转临界点就在 `sqrt(n)`。

换句话说，如果在 `[2,sqrt(n)]` 这个区间之内没有发现可整除因子，就可以直接断定 `n` 是素数了，因为在区间 `[sqrt(n),n]` 也一定不会发现可整除因子。

现在，`isPrime` 函数的时间复杂度降为 O(sqrt(N))，**但是我们实现 `countPrimes` 函数其实并不需要这个函数**，以上只是希望读者明白 `sqrt(n)` 的含义，因为等会还会用到。

### 高效实现 `countPrimes`

接下来介绍的方法叫做「素数筛选法」，这个方法是古希腊一位名叫埃拉托色尼的大佬发明的，我们在中学的教课书上见过他的大名，因为他就是第一个通过物体的影子正确计算地球周长的人，被推崇为「地理学之父」。

回到正题，素数筛选法的核心思路是和上面的常规思路反着来：

首先从 2 开始，我们知道 2 是一个素数，那么 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8... 都不可能是素数了。

然后我们发现 3 也是素数，那么 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12... 也都不可能是素数了。

Wikipedia 的这个 GIF 很形象：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/prime/1.gif)

看到这里，你是否有点明白这个排除法的逻辑了呢？先看我们的第一版代码：

```java
int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrime = new boolean[n];
    // 将数组都初始化为 true
    Arrays.fill(isPrime, true);

    for (int i = 2; i < n; i++) 
        if (isPrime[i]) 
            // i 的倍数不可能是素数了
            for (int j = 2 * i; j < n; j += i) 
                    isPrime[j] = false;
    
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrime[i]) count++;
    
    return count;
}
```

如果上面这段代码你能够理解，那么你已经掌握了整体思路，但是还有两个细微的地方可以优化。

首先，回想刚才判断一个数是否是素数的 `isPrime` 函数，由于因子的对称性，其中的 for 循环只需要遍历 `[2,sqrt(n)]` 就够了。这里也是类似的，我们外层的 for 循环也只需要遍历到 `sqrt(n)`：

```java
for (int i = 2; i * i < n; i++) 
    if (isPrime[i]) 
        ...
```

除此之外，很难注意到内层的 for 循环也可以优化。我们之前的做法是：

```java
for (int j = 2 * i; j < n; j += i) 
    isPrime[j] = false;
```

这样可以把 `i` 的整数倍都标记为 `false`，但是仍然存在计算冗余。

比如 `n = 25`，`i = 5` 时算法会标记 5 × 2 = 10，5 × 3 = 15 等等数字，但是这两个数字已经被 `i = 2` 和 `i = 3` 的 2 × 5 和 3 × 5 标记了。

我们可以稍微优化一下，让 `j` 从 `i` 的平方开始遍历，而不是从 `2 * i` 开始：

```java
for (int j = i * i; j < n; j += i) 
    isPrime[j] = false;
```

这样，素数计数的算法就高效实现了，其实这个算法有一个名字，叫做 Sieve of Eratosthenes。看下完整的最终代码：

```java
int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrime = new boolean[n];
    Arrays.fill(isPrime, true);
    for (int i = 2; i * i < n; i++) 
        if (isPrime[i]) 
            for (int j = i * i; j < n; j += i) 
                isPrime[j] = false;
    
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrime[i]) count++;
    
    return count;
}
```

**该算法的时间复杂度比较难算**，显然时间跟这两个嵌套的 for 循环有关，其操作数应该是：

  n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ...
= n × (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7...)

括号中是素数的倒数。其最终结果是 O(N * loglogN)，有兴趣的读者可以查一下该算法的时间复杂度证明。

以上就是素数算法相关的全部内容。怎么样，是不是看似简单的问题却有不少细节可以打磨呀？



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<details>
<summary><strong>引用本文的文章</strong></summary>

 - [丑数系列算法详解](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=丑数)
 - [配套 Chrome 刷题插件](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=chrome插件简介)

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<details>
<summary><strong>引用本文的题目</strong></summary>

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| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| [264. Ugly Number II](https://leetcode.com/problems/ugly-number-ii/?show=1) | [264. 丑数 II](https://leetcode.cn/problems/ugly-number-ii/?show=1) |
| - | [剑指 Offer 49. 丑数](https://leetcode.cn/problems/chou-shu-lcof/?show=1) |

</details>



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======其他语言代码======

[204.计数质数](https://leetcode-cn.com/problems/count-primes)

### C++
采用的算法是埃拉托斯特尼筛法
埃拉托斯特尼筛法的具体内容就是：**要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。**
同时考虑到大于2的偶数都不是素数，所以可以进一步优化成：**要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的奇数倍剔除，剩下的奇数就是素数。**
此算法其实就是上面的Java解法所采用的。

这里提供C++的代码：
```C++
class Solution {
  public:
  int countPrimes(int n) {
    int res = 0;
    bool prime[n+1];
    for(int i = 0; i < n; ++i)
      prime[i] = true;

    for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i)   //计数过程 
    {                                   //外循环优化，因为判断一个数是否为质数只需要整除到sqrt(n)，反推亦然
      if(prime[i])
      {
        for(int j = i * i; j < n; j += i)   //内循环优化，i*i之前的比如i*2，i*3等，在之前的循环中已经验证了
        {
          prime[j] = false;
        }
      }      
    }
    for (int i = 2; i < n; ++i)
      if (prime[i])  res++;     //最后遍历统计一遍，存入res

    return res;    
  }
};
```



### javascript

```js
var countPrimes = function (n) {
    let isPrime = new Array(n);
    isPrime.fill(true, 0, n)

    // 计数过程
    // 外循环优化，因为判断一个数是否为质数只需要整除到sqrt(n)，反推亦然
    for (let i = 2; i * i < n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            // 内循环优化，i*i之前的比如i*2，i*3等，在之前的循环中已经验证了
            for (let j = i * i; j < n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }

    let res = 0;
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        //最后遍历统计一遍，存入res
        if (isPrime[i]) res++;
    }
    return res;
};
```



