# 编辑距离

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</p>

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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [72. Edit Distance](https://leetcode.com/problems/edit-distance/) | [72. 编辑距离](https://leetcode.cn/problems/edit-distance/) | 🔴

**-----------**

> 本文有视频版：[编辑距离详解动态规划](https://www.bilibili.com/video/BV1uv411W73P/)。建议关注我的 B 站账号，我会用视频领读的方式带大家学习那些稍有难度的算法技巧。

前几天看了一份鹅厂的面试题，算法部分大半是动态规划，最后一题就是写一个计算编辑距离的函数，今天就专门写一篇文章来探讨一下这个问题。

我个人很喜欢编辑距离这个问题，因为它看起来十分困难，解法却出奇得简单漂亮，而且它是少有的比较实用的算法（我承认很多算法问题都不太实用）。

力扣第 72 题「编辑距离」就是这个问题，先看下题目：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/title.png)

函数签名如下：

```java
int minDistance(String s1, String s2)
```

为什么说这个问题难呢，因为显而易见，它就是难，让人手足无措，望而生畏。

为什么说它实用呢，因为前几天我就在日常生活中用到了这个算法。之前有一篇公众号文章由于疏忽，写错位了一段内容，我决定修改这部分内容让逻辑通顺。但是公众号文章最多只能修改 20 个字，且只支持增、删、替换操作（跟编辑距离问题一模一样），于是我就用算法求出了一个最优方案，只用了 16 步就完成了修改。

再比如高大上一点的应用，DNA 序列是由 A,G,C,T 组成的序列，可以类比成字符串。编辑距离可以衡量两个 DNA 序列的相似度，编辑距离越小，说明这两段 DNA 越相似，说不定这俩 DNA 的主人是远古近亲啥的。

下面言归正传，详细讲解一下编辑距离该怎么算，相信本文会让你有收获。

### 一、思路

编辑距离问题就是给我们两个字符串 `s1` 和 `s2`，只能用三种操作，让我们把 `s1` 变成 `s2`，求最少的操作数。需要明确的是，不管是把 `s1` 变成 `s2` 还是反过来，结果都是一样的，所以后文就以 `s1` 变成 `s2` 举例。

前文 [最长公共子序列](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=LCS) 说过，**解决两个字符串的动态规划问题，一般都是用两个指针 `i, j` 分别指向两个字符串的最后，然后一步步往前移动，缩小问题的规模**。

> PS：其实让 `i, j` 从前往后移动也可以，改一下 `dp` 函数/数组的定义即可，思路是完全一样的。

设两个字符串分别为 `"rad"` 和 `"apple"`，为了把 `s1` 变成 `s2`，算法会这样进行：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/edit.gif)

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/1.jpg)

请记住这个 GIF 过程，这样就能算出编辑距离。关键在于如何做出正确的操作，稍后会讲。

根据上面的 GIF，可以发现操作不只有三个，其实还有第四个操作，就是什么都不要做（skip）。比如这个情况：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/2.jpg)

因为这两个字符本来就相同，为了使编辑距离最小，显然不应该对它们有任何操作，直接往前移动 `i, j` 即可。

还有一个很容易处理的情况，就是 `j` 走完 `s2` 时，如果 `i` 还没走完 `s1`，那么只能用删除操作把 `s1` 缩短为 `s2`。比如这个情况：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/3.jpg)

类似的，如果 `i` 走完 `s1` 时 `j` 还没走完了 `s2`，那就只能用插入操作把 `s2` 剩下的字符全部插入 `s1`。等会会看到，这两种情况就是算法的 **base case**。

下面详解一下如何将思路转换成代码，坐稳，要发车了。

### 二、代码详解

先梳理一下之前的思路：

base case 是 `i` 走完 `s1` 或 `j` 走完 `s2`，可以直接返回另一个字符串剩下的长度。

对于每对儿字符 `s1[i]` 和 `s2[j]`，可以有四种操作：

```python
if s1[i] == s2[j]:
    啥都别做（skip）
    i, j 同时向前移动
else:
    三选一：
        插入（insert）
        删除（delete）
        替换（replace）
```

有这个框架，问题就已经解决了。读者也许会问，这个「三选一」到底该怎么选择呢？很简单，全试一遍，哪个操作最后得到的编辑距离最小，就选谁。这里需要递归技巧，先看下暴力解法代码：

```java
int minDistance(String s1, String s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
}

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
    // base case
    if (i == -1) return j + 1;
    if (j == -1) return i + 1;

    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
        return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); // 啥都不做
    }
    return min(
        dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    // 插入
        dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    // 删除
        dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 // 替换
    );
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}
```

下面来详细解释一下这段递归代码，base case 应该不用解释了，主要解释一下递归部分。

都说递归代码的可解释性很好，这是有道理的，只要理解函数的定义，就能很清楚地理解算法的逻辑。我们这里 `dp` 函数的定义是这样的：

```java
// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
```

**记住这个定义**之后，先来看这段代码：

```python
if s1[i] == s2[j]:
    return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); # 啥都不做
# 解释：
# 本来就相等，不需要任何操作
# s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离等于
# s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 的最小编辑距离
# 也就是说 dp(i, j) 等于 dp(i-1, j-1)
```

如果 `s1[i] != s2[j]`，就要对三个操作递归了，稍微需要点思考：

```python
dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    # 插入
# 解释：
# 我直接在 s1[i] 插入一个和 s2[j] 一样的字符
# 那么 s2[j] 就被匹配了，前移 j，继续跟 i 对比
# 别忘了操作数加一
```

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/insert.gif)

```python
dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    # 删除
# 解释：
# 我直接把 s[i] 这个字符删掉
# 前移 i，继续跟 j 对比
# 操作数加一
```

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/delete.gif)

```python
dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 # 替换
# 解释：
# 我直接把 s1[i] 替换成 s2[j]，这样它俩就匹配了
# 同时前移 i，j 继续对比
# 操作数加一
```

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/replace.gif)

现在，你应该完全理解这段短小精悍的代码了。还有点小问题就是，这个解法是暴力解法，存在重叠子问题，需要用动态规划技巧来优化。

**怎么能一眼看出存在重叠子问题呢**？前文 [动态规划之正则表达式](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=动态规划之正则表达) 有提过，这里再简单提一下，需要抽象出本文算法的递归框架：

```java
int dp(i, j) {
    dp(i - 1, j - 1); // #1
    dp(i, j - 1);     // #2
    dp(i - 1, j);     // #3
}
```

对于子问题 `dp(i-1, j-1)`，如何通过原问题 `dp(i, j)` 得到呢？有不止一条路径，比如 `dp(i, j) -> #1` 和 `dp(i, j) -> #2 -> #3`。一旦发现一条重复路径，就说明存在巨量重复路径，也就是重叠子问题。

### 三、动态规划优化

对于重叠子问题呢，前文 [动态规划详解](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=动态规划详解进阶) 详细介绍过，优化方法无非是备忘录或者 DP table。

备忘录很好加，原来的代码稍加修改即可：

```java
// 备忘录
int[][] memo;
    
public int minDistance(String s1, String s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // 备忘录初始化为特殊值，代表还未计算
    memo = new int[m][n];
    for (int[] row : memo) {
        Arrays.fill(row, -1);
    }
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
}

int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
    if (i == -1) return j + 1;
    if (j == -1) return i + 1;
    // 查备忘录，避免重叠子问题
    if (memo[i][j] != -1) {
        return memo[i][j];
    }
    // 状态转移，结果存入备忘录
    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
        memo[i][j] = dp(s1, i - 1, s2, j - 1);
    } else {
        memo[i][j] =  min(
            dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,
            dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,
            dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1
        );
    }
    return memo[i][j];
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}
```

**主要说下 DP table 的解法**：

首先明确 `dp` 数组的含义，`dp` 数组是一个二维数组，长这样：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/dp.jpg)

有了之前递归解法的铺垫，应该很容易理解。`dp[..][0]` 和 `dp[0][..]` 对应 base case，`dp[i][j]` 的含义和之前的 `dp` 函数类似：

```java
int dp(String s1, int i, String s2, int j)
// 返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离

dp[i-1][j-1]
// 存储 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
```

`dp` 函数的 base case 是 `i, j` 等于 -1，而数组索引至少是 0，所以 `dp` 数组会偏移一位。

既然 `dp` 数组和递归 `dp` 函数含义一样，也就可以直接套用之前的思路写代码，**唯一不同的是，DP table 是自底向上求解，递归解法是自顶向下求解**：

```java
int minDistance(String s1, String s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    // base case 
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        dp[i][0] = i;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        dp[0][j] = j;
    // 自底向上求解
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j] + 1,
                    dp[i][j - 1] + 1,
                    dp[i - 1][j - 1] + 1
                );
            }
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}
```

### 三、扩展延伸

一般来说，处理两个字符串的动态规划问题，都是按本文的思路处理，建立 DP table。为什么呢，因为易于找出状态转移的关系，比如编辑距离的 DP table：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/4.jpg)

还有一个细节，既然每个 `dp[i][j]` 只和它附近的三个状态有关，空间复杂度是可以压缩成 `O(min(M, N))` 的（M，N 是两个字符串的长度）。不难，但是可解释性大大降低，读者可以自己尝试优化一下。

你可能还会问，**这里只求出了最小的编辑距离，那具体的操作是什么**？你之前举的修改公众号文章的例子，只有一个最小编辑距离肯定不够，还得知道具体怎么修改才行。

这个其实很简单，代码稍加修改，给 dp 数组增加额外的信息即可：

```java
// int[][] dp;
Node[][] dp;

class Node {
    int val;
    int choice;
    // 0 代表啥都不做
    // 1 代表插入
    // 2 代表删除
    // 3 代表替换
}
```

`val` 属性就是之前的 dp 数组的数值，`choice` 属性代表操作。在做最优选择时，顺便把操作记录下来，然后就从结果反推具体操作。

我们的最终结果不是 `dp[m][n]` 吗，这里的 `val` 存着最小编辑距离，`choice` 存着最后一个操作，比如说是插入操作，那么就可以左移一格：

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/5.jpg)

重复此过程，可以一步步回到起点 `dp[0][0]`，形成一条路径，按这条路径上的操作进行编辑，就是最佳方案。

![](https://labuladong.gitee.io/pictures/editDistance/6.jpg)



<hr>
<details>
<summary><strong>引用本文的文章</strong></summary>

 - [动态规划之子序列问题解题模板](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=子序列问题模板)
 - [动态规划和回溯算法到底谁是谁爹？](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=targetSum)
 - [最优子结构原理和 dp 数组遍历方向](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最优子结构)

</details><hr>




<hr>
<details>
<summary><strong>引用本文的题目</strong></summary>

<strong>安装 [我的 Chrome 刷题插件](https://mp.weixin.qq.com/s/X-fE9sR4BLi6T9pn7xP4pg) 点开下列题目可直接查看解题思路：</strong>

| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| [97. Interleaving String](https://leetcode.com/problems/interleaving-string/?show=1) | [97. 交错字符串](https://leetcode.cn/problems/interleaving-string/?show=1) |

</details>



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======其他语言代码======

### python

[ChenjieXu](https://github.com/ChenjieXu) 提供Python版本[72.编辑距离](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance)代码：  

```python
def minDistance(word1, word2):
    m, n = len(word1), len(word2)
    # 创建 DP 数组
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    # base case初始化
    for i in range(m + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(n + 1):
        dp[0][j] = j

    # 自底向上求解
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            # 状态转移方程
            if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, 
                               dp[i][j - 1] + 1,
                               dp[i - 1][j - 1] + 1)
    # 储存着整个 word1 和 word2 的最小编辑距离
    return dp[m][n]
````



### javascript

[SCUHZS](https://github.com/brucecat)提供[72.编辑距离](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance)

```javascript
let minDistance = function (s1, s2) {
    let m = s1.length, n = s2.length;

    // 初始化一个 (m+1) * (n+1)大小的数组
    let dp = new Array(m + 1);
    for (let i = 0; i < m + 1; i++) {
        dp[i] = new Array(n + 1).fill(0)
    }
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let j = 1; j <= n; j++)
        dp[0][j] = j;

    // 自底向上求解
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1[i - 1] === s2[j - 1])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else
                dp[i][j] = Math.min(
                    dp[i - 1][j] + 1,  //  删除
                    dp[i][j - 1] + 1,       // 插入
                    dp[i - 1][j - 1] + 1     // 替换
                )
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
};
```

上面的代码还可以进行状态压缩优化，我们还需要一个额外的变量 pre 来时刻保存 (i-1,j-1) 的值。推导公式就可以从二维的：

```
dp[i][j] = min(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-1] , dp[i][j-1]) + 1
```

转化为一维的：

```
dp[i] = min(dp[i-1], pre, dp[i]) + 1
```

完整代码如下：

```js
let minDistance = function (word1, word2) {
    let m = word1.length, n = word2.length;

    // 初始化一个数组
    let dp = new Array(Math.max(m,n) + 1)

    // dp[0...n]的初始值
    for (let j = 0; j <= n; j++)
        dp[j] = j;

    // dp[j] = min(dp[j-1], pre, dp[j]) + 1
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        let temp = dp[0];
        // 相当于初始化
        dp[0] = i;
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            // pre 相当于之前的 dp[i-1][j-1]
            let pre = temp;
            temp = dp[j];
            // 如果 word1[i] 与 word2[j] 相等。第 i 个字符对应下标是 i-1
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[j] = pre;
            } else {
                dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], pre), dp[j]) + 1;
            }
        }
    }
    
    return dp[n];
};

```

