From fea1e722a26836e5804d8b2880ae9ad3d81d8f31 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lysander233 Date: Tue, 26 Mar 2019 16:22:45 +0800 Subject: [PATCH] Backtracking-NQueens --- docs/HomePage.md | 1 + .../Backtracking-NQueens.md | 145 ++++++++++++++++++ 2 files changed, 146 insertions(+) create mode 100644 docs/dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md diff --git a/docs/HomePage.md b/docs/HomePage.md index 7e080ca6..d8bfb43a 100644 --- a/docs/HomePage.md +++ b/docs/HomePage.md @@ -77,6 +77,7 @@ - [算法总结——几道常见的子符串算法题 ](./dataStructures-algorithms/搞定BAT面试——几道常见的子符串算法题.md) - [算法总结——几道常见的链表算法题 ](./dataStructures-algorithms/Leetcode-LinkList1.md) - [常见安全算法（MD5、SHA1、Base64等等）总结](./dataStructures-algorithms/常见安全算法（MD5、SHA1、Base64等等）总结.md) +- [回溯算法经典案例之N皇后问题](./dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md) ## 数据库 diff --git a/docs/dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md b/docs/dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md new file mode 100644 index 00000000..bac262d0 --- /dev/null +++ b/docs/dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md @@ -0,0 +1,145 @@ +# N皇后 +[51. N皇后](https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/) +### 题目描述 +> n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。 +> +![ANUzjA.png](https://s2.ax1x.com/2019/03/26/ANUzjA.png) +> +上图为 8 皇后问题的一种解法。 +> +给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。 +> +每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。 + +示例： + +``` +输入: 4 +输出: [ + [".Q..", // 解法 1 + "...Q", + "Q...", + "..Q."], + + ["..Q.", // 解法 2 + "Q...", + "...Q", + ".Q.."] +] +解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。 +``` + +### 问题分析 +约束条件为每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。 + +使用一维数组表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。 +每行只存储一个元素，然后递归到下一行，这样就不用判断行了，只需要判断列和对角线。 +### Solution1 +当result[row] = column时，即row行的棋子在column列。 + +对于[0, row-1]的任意一行（i 行），若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一列，则有result[i] == column; +若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一对角线，等腰直角三角形两直角边相等，即 row - i == Math.abs(result[i] - column) + +布尔类型变量 isValid 的作用是剪枝，减少不必要的递归。 +``` +public List> solveNQueens(int n) { + // 下标代表行，值代表列。如result[0] = 3 表示第1行的Q在第3列 + int[] result = new int[n]; + List> resultList = new LinkedList<>(); + dfs(resultList, result, 0, n); + return resultList; +} + +void dfs(List> resultList, int[] result, int row, int n) { + // 递归终止条件 + if (row == n) { + List list = new LinkedList<>(); + for (int x = 0; x < n; ++x) { + StringBuilder sb = new StringBuilder(); + for (int y = 0; y < n; ++y) + sb.append(result[x] == y ? "Q" : "."); + list.add(sb.toString()); + } + resultList.add(list); + return; + } + for (int column = 0; column < n; ++column) { + boolean isValid = true; + result[row] = column; + /* + * 逐行往下考察每一行。同列，result[i] == column + * 同对角线，row - i == Math.abs(result[i] - column) + */ + for (int i = row - 1; i >= 0; --i) { + if (result[i] == column || row - i == Math.abs(result[i] - column)) { + isValid = false; + break; + } + } + if (isValid) dfs(resultList, result, row + 1, n); + } +} +``` +### Solution2 +使用LinkedList表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。 + +解法二和解法一的不同在于，相同列以及相同对角线的校验。 +将对角线抽象成【一次函数】这个简单的数学模型，根据一次函数的截距是常量这一特性进行校验。 + +这里，我将右上-左下对角线，简称为“\”对角线；左上-右下对角线简称为“/”对角线。 + +“/”对角线斜率为1，对应方程为y = x + b，其中b为截距。 +对于线上任意一点，均有y - x = b，即row - i = b; +定义一个布尔类型数组anti_diag，将b作为下标，当anti_diag[b] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。 +但row - i有可能为负数，负数不能作为数组下标，row - i 的最小值为-n（当row = 0，i = n时），可以加上n作为数组下标，即将row -i + n 作为数组下标。 +row - i + n 的最大值为 2n（当row = n，i = 0时），故anti_diag的容量设置为 2n 即可。 + +![ANXG79.png](https://s2.ax1x.com/2019/03/26/ANXG79.png) + +“\”对角线斜率为-1，对应方程为y = -x + b，其中b为截距。 +对于线上任意一点，均有y + x = b，即row + i = b; +同理，定义数组main_diag，将b作为下标，当main_diag[row + i] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。 + +有了两个校验对角线的数组，再来定义一个用于校验列的数组cols，这个太简单啦，不解释。 + +**解法二时间复杂度为O(n!)，在校验相同列和相同对角线时，引入三个布尔类型数组进行判断。相比解法一，少了一层循环，用空间换时间。** + +``` +List> resultList = new LinkedList<>(); + +public List> solveNQueens(int n) { + boolean[] cols = new boolean[n]; + boolean[] main_diag = new boolean[2 * n]; + boolean[] anti_diag = new boolean[2 * n]; + LinkedList result = new LinkedList<>(); + dfs(result, 0, cols, main_diag, anti_diag, n); + return resultList; +} + +void dfs(LinkedList result, int row, boolean[] cols, boolean[] main_diag, boolean[] anti_diag, int n) { + if (row == n) { + List list = new LinkedList<>(); + for (int x = 0; x < n; ++x) { + StringBuilder sb = new StringBuilder(); + for (int y = 0; y < n; ++y) + sb.append(result.get(x) == y ? "Q" : "."); + list.add(sb.toString()); + } + resultList.add(list); + return; + } + for (int i = 0; i < n; ++i) { + if (cols[i] || main_diag[row + i] || anti_diag[row - i + n]) + continue; + result.add(i); + cols[i] = true; + main_diag[row + i] = true; + anti_diag[row - i + n] = true; + dfs(result, row + 1, cols, main_diag, anti_diag, n); + result.removeLast(); + cols[i] = false; + main_diag[row + i] = false; + anti_diag[row - i + n] = false; + } +} +``` \ No newline at end of file -- GitLab