运行本目录下的程序示例需要使用PaddlePaddle v0.10.0 版本。如果您的PaddlePaddle安装版本低于此要求,请按照[安装文档](http://www.paddlepaddle.org/docs/develop/documentation/zh/build_and_install/pip_install_cn.html)中的说明更新PaddlePaddle安装版本。
---
# Youtube DNN推荐模型
以下是本例目录包含的文件以及对应说明:
```
├── README.md # 文档
├── README.cn.md # 中文文档
├── data # 示例数据
│ ├── data.tar # 示例数据
├── infer.py # 预测脚本
├── network_conf.py # 模型网络配置
├── reader.py # data reader
├── train.py # 训练脚本
└── utils.py # 工具
└── data_processer.py # 数据预处理脚本
└── user_vector.py # 获取用户向量脚本
└── item_vector.py # 获取视频向量脚本
├── infer_user.py # 获取用户个性化脚本
```
## 背景介绍\[[1](#参考文献)\]
Youtube是世界最大的视频网站之一,其推荐系统帮助10亿以上的用户,从海量视频中,发现个性化的内容。该推荐系统主要面临以下三个挑战:
- 规模: 许多现有的推荐算法证明在小数据量下运行良好,但不能满足YouTube这样庞大的用户群和内容库的场景,因此需要高度专业化的分布式学习算法和高效的线上服务。
- 新鲜度: YouTube内容库更新频率极高,每秒上传大量视频。系统应及时追踪新上传的视频和用户的实时行为,并且模型在推荐新/旧视频上有良好平衡能力。
- 噪音: 噪音来自于两方面,其一,用户历史行为稀疏,且有各种不可观测的外部因素,以及用户满意度不明确。其二,内容本身的数据是非结构化的。因此算法应更具有鲁棒性。
下图展示了整个推荐系统框图:
Figure 1. 推荐系统框图(出自论文[1])
整个推荐系统有两部分组成: 召回(candidate generation/recall)和排序(ranking)。
- 召回模型: 输入用户的历史行为,从大规模的内容库中获得一个小集合(百级别)。召回出的视频与用户高度相关。一个用户是用其历史点击过的视频,搜索过的关键词,和人口统计相关的特征来表征。
- 排序模型: 采用更精细的特征计算得到排序分,对召回得到的候选集合中的视频进行排序。
本文主要详细介绍了召回模型的原理与使用。
## 召回模型简介
该推荐问题可以被建模成一个"超大规模多分类"问题。即在时刻![](https://www.zhihu.com/equation?tex=t),为用户![](https://www.zhihu.com/equation?tex=U)(已知上下文信息![](https://www.zhihu.com/equation?tex=C))在视频库![](https://www.zhihu.com/equation?tex=V)中预测出观看视频![](https://www.zhihu.com/equation?tex=i)的类别,
![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%24P(%5Comega_t%3Di%7CU%2CC)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cmathbf%7Bv_i%7D%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%7D%7B%5Csum_%7Bj%5Cin%20V%7D%5E%7B%20%7De%5E%7B%5Cmathbf%7Bv_j%7D%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%7D)
其中![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5EN),是<用户,上下文信息>的高维向量表示。![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv_j%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5EN)是视频![](https://www.zhihu.com/equation?tex=j)的高维向量表示。DNN模型的目标是以用户信息和上下文信息为输入条件下,学习用户的高维向量表示,以此输入softmax分类器,来预测视频库中各个视频(类别)的观看概率。
下图展示了召回模型的网络结构:
Figure 2. 召回模型网络结构(出自论文[1])
- 输入层:用户的浏览序列、搜索序列、人口统计学特征、和其他上下文信息等
- embedding层:将用户浏览视频序列接embedding层,再做时间序列上的平均。对于搜索序列同样处理。
- 隐层:包含三个隐层,用RELU激活函数,最后一层隐层的输出即为高维向量表示![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D)。
- 输出层: softmax层,输出视频库中各个视频(类别)的观看概率。在线上预测时,提取模型训练得到的softmax层内部的参数,作为视频![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D)的高维向量表示。可利用类似局部敏感哈希(Locality Sensitive Hashing)用![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D)查询最相关的N个视频。
## 数据预处理
本例模拟了用户的视频点击日志,作为样本数据。格式如下:
```
用户Id \t 所在省份 \t 所在城市 \t 历史点击的视频序列信息 \t 手机型号
历史点击的视频序列信息的格式为 视频信息1;视频信息2;...;视频信息K
视频信息的格式为 视频id:视频类目:视频标签1_视频标签2_视频标签3_...视频标签M
例如:
USER_ID_15 上海市 上海市 VIDEO_42:CATEGORY_9:TAG115;VIDEO_43:CATEGORY_9:TAG116_TAG115;VIDEO_44:CATEGORY_2:TAG117_TAG71 GO T5
```
在youtube_recall目录下运行以下命令(下同),可以解压样本数据。
```
cd data
tar -zxvf data.tar
```
然后,脚本`data_preprocess.py`将对训练数据做预处理。具体使用方法参考如下说明:
```
usage: data_processor.py [-h] --train_set_path TRAIN_SET_PATH --output_dir
OUTPUT_DIR [--feat_appear_limit FEAT_APPEAR_LIMIT]
PaddlePaddle Youtube Recall Model Example
optional arguments:
-h, --help show this help message and exit
--train_set_path TRAIN_SET_PATH
path of the train set
--output_dir OUTPUT_DIR
directory to output
--feat_appear_limit FEAT_APPEAR_LIMIT
the minimum number of feature values appears (default:
20)
```
该脚本的作用如下:
- 借鉴\[[2](#参考文献)\]中对特征的处理,过滤低频特征(样本中出现次数低于`feat_appear_limit`)。
- 对特征进行编码,生成字典`feature_dict.pkl`。
- 统计每个视频出现的概率,保存至`item_freq.pkl`,提供给nce层使用。
例如可执行下列命令,完成数据预处理:
```shell
mkdir output
python data_processor.py --train_set_path=./data/train.txt \
--output_dir=./output \
--feat_appear_limit=20
```
## 模型实现
下面是网络中各个部分的具体实现,相关代码均包含在 `./network_conf.py` 中。
### 输入层
```python
def _build_input_layer(self):
"""
build input layer
"""
self._history_clicked_items = paddle.layer.data(
name="history_clicked_items", type=paddle.data_type.integer_value_sequence(
len(self._feature_dict['history_clicked_items'])))
self._history_clicked_categories = paddle.layer.data(
name="history_clicked_categories", type=paddle.data_type.integer_value_sequence(
len(self._feature_dict['history_clicked_categories'])))
self._history_clicked_tags = paddle.layer.data(
name="history_clicked_tags", type=paddle.data_type.integer_value_sequence(
len(self._feature_dict['history_clicked_tags'])))
self._user_id = paddle.layer.data(
name="user_id", type=paddle.data_type.integer_value(
len(self._feature_dict['user_id'])))
self._province = paddle.layer.data(
name="province", type=paddle.data_type.integer_value(
len(self._feature_dict['province'])))
self._city = paddle.layer.data(
name="city", type=paddle.data_type.integer_value(len(self._feature_dict['city'])))
self._phone = paddle.layer.data(
name="phone", type=paddle.data_type.integer_value(len(self._feature_dict['phone'])))
self._target_item = paddle.layer.data(
name="target_item", type=paddle.data_type.integer_value(
len(self._feature_dict['history_clicked_items'])))
```
### Embedding层
每个输入特征通过embedding到固定维度的向量中。
```python
def _create_emb_attr(self, name):
"""
create embedding parameter
"""
return paddle.attr.Param(
name=name, initial_std=0.001, learning_rate=1, l2_rate=0, sparse_update=False)
def _build_embedding_layer(self):
"""
build embedding layer
"""
self._user_id_emb = paddle.layer.embedding(input=self._user_id,
size=64,
param_attr=self._create_emb_attr(
'_proj_user_id'))
self._province_emb = paddle.layer.embedding(input=self._province,
size=8,
param_attr=self._create_emb_attr(
'_proj_province'))
self._city_emb = paddle.layer.embedding(input=self._city,
size=16,
param_attr=self._create_emb_attr('_proj_city'))
self._phone_emb = paddle.layer.embedding(input=self._phone,
size=16,
param_attr=self._create_emb_attr('_proj_phone'))
self._history_clicked_items_emb = paddle.layer.embedding(
input=self._history_clicked_items,
size=64,
param_attr=self._create_emb_attr('_proj_history_clicked_items'))
self._history_clicked_categories_emb = paddle.layer.embedding(
input=self._history_clicked_categories,
size=8,
param_attr=self._create_emb_attr('_proj_history_clicked_categories'))
self._history_clicked_tags_emb = paddle.layer.embedding(
input=self._history_clicked_tags,
size=64,
param_attr=self._create_emb_attr('_proj_history_clicked_tags'))
```
### 隐层
本文对\[[原论文](#参考文献)\](Covington, Paul, Jay Adams, and Emre Sargin. "Deep neural networks for youtube recommendations." Proceedings of the 10th ACM Conference on Recommender Systems. ACM, 2016.)中的模型做了如下改进:
- 历史用户点击的视频序列,经过embedding之后,不再使用加权求平均,而是使用lstm序列模型。本文将用户点击的先后次序纳入模型中,然后在时间序列上做最大池化,得到定长向量表示,从而使模型学习到与点击时序相关的隐藏信息。
- 考虑到数据规模与训练性能,本文只用了两个Relu层,也有很不错的效果。
```python
self._rnn_cell = paddle.networks.simple_lstm(
input=self._history_clicked_items_emb, size=64)
self._lstm_last = paddle.layer.pooling(
input=self._rnn_cell, pooling_type=paddle.pooling.Max())
self._avg_emb_cats = paddle.layer.pooling(
input=self._history_clicked_categories_emb,
pooling_type=paddle.pooling.Avg())
self._avg_emb_tags = paddle.layer.pooling(
input=self._history_clicked_tags_emb,
pooling_type=paddle.pooling.Avg())
self._fc_0 = paddle.layer.fc(
name="Relu1",
input=[
self._lstm_last, self._user_id_emb, self._province_emb,
self._city_emb, self._avg_emb_cats, self._avg_emb_tags,
self._phone_emb
],
size=self._dnn_layer_dims[0],
act=paddle.activation.Relu())
self._fc_1 = paddle.layer.fc(
name="Relu2",
input=self._fc_0,
size=self._dnn_layer_dims[1],
act=paddle.activation.Relu())
```
### 输出层
为了提高模型训练速度,使用噪声对比估计(Noise-contrastive estimation, NCE)\[[3](#参考文献)\]。将[数据预处理](#数据预处理)中产出的item_freq.pkl,也就是负样例的分布,作为nce层的参数。
```python
return paddle.layer.nce(
input=self._fc_1,
label=self._target_item,
num_classes=len(self._feature_dict['history_clicked_items']),
param_attr=paddle.attr.Param(name="nce_w"),
bias_attr=paddle.attr.Param(name="nce_b"),
act=paddle.activation.Sigmoid(),
num_neg_samples=5,
neg_distribution=self._item_freq)
```
## 训练
首先,准备`reader.py`,负责将输入原始数据中的特征,转为编码后的特征id。对一条训练数据,根据`window_size`产出多条训练样本给trainer,例如:
```
window_size=2
原始数据:
用户Id \t 所在省份 \t 所在城市 \t 视频信息1;视频信息2;...;视频信息K \t 手机型号
多条训练样本:
用户Id,所在省份,所在城市,[,历史点击视频1],[,历史点击视频类目1],[,历史点击视频标签1],手机型号,历史点击视频2
用户Id,所在省份,所在城市,[历史点击视频1,历史点击视频2],[历史点击视频类目1,历史点击视频类目2],[历史点击视频标签1,历史点击视频标签2],手机型号,历史点击视频3
用户Id,所在省份,所在城市,[历史点击视频2,历史点击视频3],[历史点击视频类目2,历史点击视频类目3],[历史点击视频标签2,历史点击视频标签3],手机型号,历史点击视频4
......
```
相关代码如下:
```python
for i in range(1, len(history_clicked_items_all)):
start = max(0, i - self._window_size)
history_clicked_items = history_clicked_items_all[start:i]
history_clicked_categories = history_clicked_categories_all[start:i]
history_clicked_tags_str = history_clicked_tags_all[start:i]
history_clicked_tags = []
for tags_a in history_clicked_tags_str:
for tag in tags_a.split("_"):
history_clicked_tags.append(int(tag))
target_item = history_clicked_items_all[i]
yield user_id, province, city, \
history_clicked_items, history_clicked_categories, \
history_clicked_tags, phone, target_item
```
```python
reader = Reader(feature_dict, args.window_size)
trainer.train(
paddle.batch(
paddle.reader.shuffle(
lambda: reader.train(args.train_set_path),
buf_size=7000), args.batch_size),
num_passes=args.num_passes,
feeding=feeding,
event_handler=event_handler)
```
接下去就可以开始训练了,可执行以下命令:
```shell
mkdir output/model
python train.py --train_set_path='./data/train.txt' \
--test_set_path='./data/test.txt' \
--model_output_dir='./output/model/' \
--feature_dict='./output/feature_dict.pkl' \
--item_freq='./output/item_freq.pkl'
```
## 离线预测
输入用户相关的特征,输出topN个最可能观看的视频,可执行以下命令:
```shell
python infer.py --infer_set_path='./data/infer.txt' \
--model_path='./output/model/model_pass_00000.tar.gz' \
--feature_dict='./output/feature_dict.pkl' \
--batch_size=50
```
## 在线预测
在线预测的时候,采用近似最近邻(approximate nearest neighbor-ANN)算法直接用用户向量查询最相关的topN个视频向量,将对应的视频内容推荐给用户。下面介绍如何获得用户向量和视频向量。
### 用户向量
用最后一个RELU层的输出,前拼一个常数项1,作为用户向量。这边最后一个RELU层的大小是31维,拼接后的用户向量就是32维,即
![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%3D%5B1%2Cu_1%2Cu_2%2C...%2Cu_%7B31%7D%5D)
### 视频向量
视频向量从模型训练得到的softmax层的参数中提取。假设共有M个不同的视频,那么softmax层输出的是这M个视频各自用户点击的概率,即
![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bo%7D%3D%5Bs_1%2Cs_2%2C...%2Cs_%7BM%7D%5D)
从最后一个RELU层输出的用户向量![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D),到softmax层输出的M个视频的概率![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bo%7D),中间则是通过乘以了softmax层的参数w,b构成的一个![](https://www.zhihu.com/equation?tex=32%5Ctimes%20M)矩阵,其中的每一列为一个32维的视频向量,按照字典顺序一一对应。
![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20b_1%20%20%26%20b_2%20%26%20%20%5Ccdots%20%26%20b_M%20%5C%5C%20%0A%20w_%7B11%7D%20%26%20w_%7B21%7D%20%26%20%20%5Ccdots%20%20%26%20w_%7BM1%7D%20%5C%5C%20%0A%20w_%7B12%7D%20%26%20w_%7B22%7D%20%26%20%20%20%5Ccdots%20%26%20w_%7BM2%7D%20%20%5C%5C%20%0A%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%0Aw_%7B131%7D%20%26%20%20w_%7B231%7D%20%26%20%20%5Ccdots%20%20%26%20w_%7BM31%7D%20%20%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D_%7B32%5Ctimes%20M%7D%20%3D%20%5Cmathbf%7Bu%7D%20%5Ccdot%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%0A%5Cmathbf%7Bv_1%7D%2C%20%5Cmathbf%7Bv_2%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20%5Cmathbf%7Bv_M%7D%20%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D_%7B1%5Ctimes%20M%7D%3D%5Cmathbf%7Bo%7D)
### SIMPLE-LSH变换
很多ann算法只支持cosine距离,而模型是根据内积排序的,两者效果差异较大。为此,这边的解决方案是,对前面得到的用户和视频向量,作SIMPLE-LSH变换\[[4](#参考文献)\],使内积排序与cosin排序等价。
具体如下:
- 对于视频向量![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5EN),有![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cmathbf%7Bv%7D%20%5Cright%20%5C%7C%5Cleqslant%20m),变换后的![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7BN%2B1%7D),![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%20%3D%20%5B%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%7Bm%7D%3B%20%5Csqrt%7B1%20-%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cmathbf%7B%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%7Bm%7D%7B%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C%5E2%7D%5D)。
- 对于用户向量![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5EN),变换后的![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7BN%2B1%7D),![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%20%3D%20%5B%5Cmathbf%7Bu%7D_%7Bnorm%7D%3B%200%5D),其中![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D_%7Bnorm%7D)是模长归一化后的![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D)。
线上对于一个![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D)用内积召回![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D),作上述变换![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Crightarrow%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%2C%20%5Cmathbf%7Bv%7D%5Crightarrow%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D)后,不改变内积排序的顺序。又因为![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%20%5C%7C%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C) 和![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%20%5C%7C%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C)都为1,因此![](https://www.zhihu.com/equation?tex=cos(%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%20%2C%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D)%20%3D%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%5Ccdot%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D),就可以兼容ANN用cosin的方式召回了,结果等价。
线上使用时,为保留精度,可以不除以![](https://www.zhihu.com/equation?tex=m),也就变成![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%3D%5B%5Cmathbf%7Bv%7D%3B%5Csqrt%7Bm%5E2-%5Cleft%5C%7C%20%5Cmathbf%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%5Cright%5C%7C%5E2%7D%5D),排序依然等价。
### 实现
可使用`user_vector.py`获取用户向量, 输入用户特征经过网络预测,probs[1]中存储的是最后一个RELU层的输出,先前拼接一个1,再做SIMPLE-LSH变换(后接一个0,归一化):
```python
probs = inferer.infer(
input=test_batch,
feeding=feeding,
field=["value"],
flatten_result=False)
for i, res in enumerate(zip(probs[1])):
# do simple lsh conversion
user_vector = [1.000]
for i in res[0]:
user_vector.append(i)
user_vector.append(0.000)
norm = np.linalg.norm(user_vector)
user_vector_norm = [str(_ / norm) for _ in user_vector]
print ",".join(user_vector_norm)
```
可使用`item_vector.py`分别获视频向量。加载模型,提取参数nce_w和nce_b,拼接M个视频向量,第i个视频向量的第一维是对应的nce_b[0][i],后面是nce_w[i][1:31]。再做SIMPLE-LSH变换,找到所有向量最大的模,按照![](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%3D%5B%5Cmathbf%7Bv%7D%3B%5Csqrt%7Bm%5E2-%5Cleft%5C%7C%20%5Cmathbf%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7D%5Cright%5C%7C%5E2%7D%5D)处理。
```python
# load the trained model.
with gzip.open(args.model_path) as f:
parameters = paddle.parameters.Parameters.from_tar(f)
nce_w = parameters.get("nce_w")
nce_b = parameters.get("nce_b")
item_vector = convt_simple_lsh(get_item_vec_from_softmax(nce_w, nce_b))
def get_item_vec_from_softmax(nce_w, nce_b):
"""
get item vectors from softmax parameter
"""
if nce_w is None or nce_b is None:
return None
vector = []
total_items_num = nce_w.shape[0]
if total_items_num != nce_b.shape[1]:
return None
dim_vector = nce_w.shape[1] + 1
for i in range(0, total_items_num):
vector.append([])
vector[i].append(nce_b[0][i])
for j in range(1, dim_vector):
vector[i].append(nce_w[i][j - 1])
return vector
def convt_simple_lsh(vector):
"""
do simple lsh conversion
"""
max_norm = 0
num_of_vec = len(vector)
for i in range(0, num_of_vec):
norm = np.linalg.norm(vector[i])
if norm > max_norm:
max_norm = norm
for i in range(0, num_of_vec):
vector[i].append(
math.sqrt(
math.pow(max_norm, 2) - math.pow(np.linalg.norm(vector[i]), 2)))
return vector
```
可执行下列命令运行脚本:
```shell
python user_vector.py --infer_set_path='./data/infer.txt' \
--model_path='./output/model/model_pass_00000.tar.gz' \
--feature_dict='./output/feature_dict.pkl' \
--batch_size=50
python item_vector.py --model_path='./output/model/model_pass_00000.tar.gz' \
--feature_dict='./output/feature_dict.pkl'
```
## 离线挖掘
因为实时召回需要大量机器资源,这边也可以离线挖掘产出数据,线上召回使用挖掘好的数据。可以产出最热,用户个性化,视频相关等数据。下面的示例产出了用户个性化数据。
```
python infer_user.py --model_path='./output/model/model_pass_00000.tar.gz' \
--feature_dict='./output/feature_dict.pkl'
```
## 参考文献
1. Covington, Paul, Jay Adams, and Emre Sargin. "Deep neural networks for youtube recommendations." Proceedings of the 10th ACM Conference on Recommender Systems. ACM, 2016.
2. https://code.google.com/archive/p/word2vec/
3. http://paddlepaddle.org/docs/develop/models/nce_cost/README.html
4. Neyshabur, Behnam, and Nathan Srebro. "On symmetric and asymmetric LSHs for inner product search." arXiv preprint arXiv:1410.5518 (2014).