# 二叉搜索树操作集锦
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目：
[100.相同的树](https://leetcode-cn.com/problems/same-tree)
[450.删除二叉搜索树中的节点](https://leetcode-cn.com/problems/delete-node-in-a-bst)
[701.二叉搜索树中的插入操作](https://leetcode-cn.com/problems/insert-into-a-binary-search-tree)
[700.二叉搜索树中的搜索](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-a-binary-search-tree)
[98.验证二叉搜索树](https://leetcode-cn.com/problems/validate-binary-search-tree)
**-----------**
通过之前的文章[框架思维](https://labuladong.gitbook.io/algo)，二叉树的遍历框架应该已经印到你的脑子里了，这篇文章就来实操一下，看看框架思维是怎么灵活运用，秒杀一切二叉树问题的。
二叉树算法的设计的总路线：明确一个节点要做的事情，然后剩下的事抛给框架。
```java
void traverse(TreeNode root) {
// root 需要做什么？在这做。
// 其他的不用 root 操心，抛给框架
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
```
举两个简单的例子体会一下这个思路，热热身。
**1. 如何把二叉树所有的节点中的值加一？**
```java
void plusOne(TreeNode root) {
if (root == null) return;
root.val += 1;
plusOne(root.left);
plusOne(root.right);
}
```
**2. 如何判断两棵二叉树是否完全相同？**
```java
boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
// 都为空的话，显然相同
if (root1 == null && root2 == null) return true;
// 一个为空，一个非空，显然不同
if (root1 == null || root2 == null) return false;
// 两个都非空，但 val 不一样也不行
if (root1.val != root2.val) return false;
// root1 和 root2 该比的都比完了
return isSameTree(root1.left, root2.left)
&& isSameTree(root1.right, root2.right);
}
```
借助框架，上面这两个例子不难理解吧？如果可以理解，那么所有二叉树算法你都能解决。
二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种很常用的的二叉树。它的定义是：一个二叉树中，任意节点的值要大于等于左子树所有节点的值，且要小于等于右边子树的所有节点的值。
如下就是一个符合定义的 BST：
下面实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中“删”和“判断合法性”略微复杂。
**零、判断 BST 的合法性**
这里是有坑的哦，我们按照刚才的思路，每个节点自己要做的事不就是比较自己和左右孩子吗？看起来应该这样写代码：
```java
boolean isValidBST(TreeNode root) {
if (root == null) return true;
if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;
return isValidBST(root.left)
&& isValidBST(root.right);
}
```
但是这个算法出现了错误，BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点，下面这个二叉树显然不是 BST，但是我们的算法会把它判定为 BST。
出现错误，不要慌张，框架没有错，一定是某个细节问题没注意到。我们重新看一下 BST 的定义，root 需要做的不只是和左右子节点比较，而是要整个左子树和右子树所有节点比较。怎么办，鞭长莫及啊！
这种情况，我们可以使用辅助函数，增加函数参数列表，在参数中携带额外信息，请看正确的代码：
```java
boolean isValidBST(TreeNode root) {
return isValidBST(root, null, null);
}
boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
if (root == null) return true;
if (min != null && root.val <= min.val) return false;
if (max != null && root.val >= max.val) return false;
return isValidBST(root.left, min, root)
&& isValidBST(root.right, root, max);
}
```
**一、在 BST 中查找一个数是否存在**
根据我们的指导思想，可以这样写代码：
```java
boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
if (root == null) return false;
if (root.val == target) return true;
return isInBST(root.left, target)
|| isInBST(root.right, target);
}
```
这样写完全正确，充分证明了你的框架性思维已经养成。现在你可以考虑一点细节问题了：如何充分利用信息，把 BST 这个“左小右大”的特性用上？
很简单，其实不需要递归地搜索两边，类似二分查找思想，根据 target 和 root.val 的大小比较，就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动：
```java
boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
if (root == null) return false;
if (root.val == target)
return true;
if (root.val < target)
return isInBST(root.right, target);
if (root.val > target)
return isInBST(root.left, target);
// root 该做的事做完了，顺带把框架也完成了，妙
}
```
于是，我们对原始框架进行改造，抽象出一套**针对 BST 的遍历框架**：
```java
void BST(TreeNode root, int target) {
if (root.val == target)
// 找到目标，做点什么
if (root.val < target)
BST(root.right, target);
if (root.val > target)
BST(root.left, target);
}
```
**二、在 BST 中插入一个数**
对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是“找”，访问就是“改”。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。
上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是“找”的问题。直接套框架，加上“改”的操作即可。一旦涉及“改”，函数就要返回 TreeNode 类型，并且对递归调用的返回值进行接收。
```java
TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
// 找到空位置插入新节点
if (root == null) return new TreeNode(val);
// if (root.val == val)
// BST 中一般不会插入已存在元素
if (root.val < val)
root.right = insertIntoBST(root.right, val);
if (root.val > val)
root.left = insertIntoBST(root.left, val);
return root;
}
```
**三、在 BST 中删除一个数**
这个问题稍微复杂，不过你有框架指导，难不住你。跟插入操作类似，先“找”再“改”，先把框架写出来再说：
```java
TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
if (root.val == key) {
// 找到啦，进行删除
} else if (root.val > key) {
root.left = deleteNode(root.left, key);
} else if (root.val < key) {
root.right = deleteNode(root.right, key);
}
return root;
}
```
找到目标节点了，比方说是节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况，用图片来说明。
情况 1：A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世了。
图片来自 LeetCode
```java
if (root.left == null && root.right == null)
return null;
```
情况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。
图片来自 LeetCode
```java
// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;
```
情况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。
图片来自 LeetCode
```java
if (root.left != null && root.right != null) {
// 找到右子树的最小节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 把 root 改成 minNode
root.val = minNode.val;
// 转而去删除 minNode
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}
```
三种情况分析完毕，填入框架，简化一下代码：
```java
TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
if (root == null) return null;
if (root.val == key) {
// 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;
// 处理情况 3
TreeNode minNode = getMin(root.right);
root.val = minNode.val;
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
} else if (root.val > key) {
root.left = deleteNode(root.left, key);
} else if (root.val < key) {
root.right = deleteNode(root.right, key);
}
return root;
}
TreeNode getMin(TreeNode node) {
// BST 最左边的就是最小的
while (node.left != null) node = node.left;
return node;
}
```
删除操作就完成了。注意一下，这个删除操作并不完美，因为我们一般不会通过 root.val = minNode.val 修改节点内部的值来交换节点，而是通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点。因为具体应用中，val 域可能会很大，修改起来很耗时，而链表操作无非改一改指针，而不会去碰内部数据。
但这里忽略这个细节，旨在突出 BST 基本操作的共性，以及借助框架逐层细化问题的思维方式。
**四、最后总结**
通过这篇文章，你学会了如下几个技巧：
1. 二叉树算法设计的总路线：把当前节点要做的事做好，其他的交给递归框架，不用当前节点操心。
2. 如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。
3. 在二叉树框架之上，扩展出一套 BST 遍历框架：
```java
void BST(TreeNode root, int target) {
if (root.val == target)
// 找到目标，做点什么
if (root.val < target)
BST(root.right, target);
if (root.val > target)
BST(root.left, target);
}
```
4. 掌握了 BST 的基本操作。
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