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Fucking Algorithm

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提交 4e1fb5c0 编写于 作者: L labuladong
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为了学会二分查找，我tm写了首诗

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算法思维系列/二分查找详解.md
浏览文件 @ 4e1fb5c0
......@@ -6,11 +6,11 @@
从此，图书馆丢了 N - 1 本书。
二分查找真的很简单吗？并不简单。看看 Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）怎么说的：
二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：**思路很简单，细节是魔鬼**。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 `mid` 加一还是减一，while 里到底用 `<=` 还是 `<`。
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky..、
你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。**我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存**：
这句话可以这样理解：**思路很简单，细节是魔鬼。**
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/poem.png)
本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。
......@@ -21,7 +21,7 @@ int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
......@@ -38,7 +38,7 @@ int binarySearch(int[] nums, int target) {
其中 `...` 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下，计算 mid 时需要技巧防止溢出，可以「参见前文」，本文暂时忽略这个问题。
另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中 `left + (right - left) / 2` 就和 `(left + right) / 2` 的结果相同，但是有效防止了 `left` 和 `right` 太大直接相加导致溢出。
### 一、寻找一个数（基本的二分搜索）
......@@ -51,25 +51,25 @@ int binarySearch(int[] nums, int target) {
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {
int mid = (right + left) / 2;
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
}
return -1;
}
```
1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？
**1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <**？
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
答：因为初始化 `right` 的赋值是 `nums.length - 1`，即最后一个元素的索引，而不是 `nums.length`。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 `[left, right]`，后者相当于左闭右开区间 `[left, right)`，因为索引大小为 `nums.length` 是越界的。
我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。**这个区间其实就是每次进行搜索的区间**。
我们这个算法中使用的是前者 `[left, right]` 两端都闭的区间。**这个区间其实就是每次进行搜索的区间**。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
......@@ -80,11 +80,11 @@ int binarySearch(int[] nums, int target) {
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？**搜索区间为空的时候应该终止**，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
`while(left <= right)` 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见**这时候区间为空**，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
`while(left <= right)` 的终止条件是 `left == right + 1`，写成区间的形式就是 `[right + 1, right]`，或者带个具体的数字进去 `[3, 2]`，可见**这时候区间为空**，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
`while(left < right)` 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，**这时候区间非空**，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
`while(left < right)` 的终止条件是 `left == right`，写成区间的形式就是 `[left, right]`，或者带个具体的数字进去 `[2, 2]`，**这时候区间非空**，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 `[2, 2]` 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
当然，如果你非要用 `while(left < right)` 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
```java
//...
......@@ -95,28 +95,28 @@ int binarySearch(int[] nums, int target) {
```
2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
**2、为什么 `left = mid + 1`，`right = mid - 1`？我看有的代码是 `right = mid` 或者 `left = mid`，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断**？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 `[left, right]`。那么当我们发现索引 `mid` 不是要找的 `target` 时，下一步应该去搜索哪里呢？
当然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
当然是去搜索 `[left, mid-1]` 或者 `[mid+1, right]` 对不对？**因为 `mid` 已经搜索过，应该从搜索区间中去除**。
3、此算法有什么缺陷？
**3、此算法有什么缺陷**？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
比如说给你有序数组 `nums = [1,2,2,2,3]`，`target` 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 `target` 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 `target` 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
这样的需求很常见，**你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了**。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
### 二、寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：
以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：
```java
int left_bound(int[] nums, int target) {
......@@ -138,25 +138,29 @@ int left_bound(int[] nums, int target) {
}
```
1、为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
**1、为什么 while 中是 `<` 而不是 `<=`**?
答：用相同的方法分析，因为 `right = nums.length` 而不是 `nums.length - 1`。因此每次循环的「搜索区间」是 `[left, right)` 左闭右开。
答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
`while(left < right)` 终止的条件是 `left == right`，此时搜索区间 `[left, left)` 为空，所以可以正确终止。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。
PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：**刚才的 `right` 不是 `nums.length - 1` 吗，为啥这里非要写成 `nums.length` 使得「搜索区间」变成左闭右开呢**？
2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。
**2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 `nums` 中不存在 `target` 这个值，怎么办**？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/binarySearch1.png)
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/1.jpg)
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：`nums` 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
比如对于有序数组 `nums = [2,3,5,7]`, `target = 1`，算法会返回 0，含义是：`nums` 中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说 nums 不变，target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
再比如说 `nums = [2,3,5,7], target = 8`，算法会返回 4，含义是：`nums` 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
综上可以看出，函数的返回值（即 `left` 变量的值）取值区间是闭区间 `[0, nums.length]`，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
```java
while (left < right) {
......@@ -168,29 +172,99 @@ if (left == nums.length) return -1;
return nums[left] == target ? left : -1;
```
1、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
**3、为什么 `left = mid + 1`，`right = mid` ？和之前的算法不一样**？
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 `[left, right)` 左闭右开，所以当 `nums[mid]` 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 `mid` 分割成两个区间，即 `[left, mid)` 或 `[mid + 1, right)`。
4、为什么该算法能够搜索左侧边界？
**4、为什么该算法能够搜索左侧边界**？
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
答：关键在于对于 `nums[mid] == target` 这种情况的处理：
```java
if (nums[mid] == target)
right = mid;
```
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 `right`，在区间 `[left, mid)` 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
**5、为什么返回 `left` 而不是 `right`**？
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 `left == right`。
**6、能不能想办法把 `right` 变成 `nums.length - 1`，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了**。
答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：
因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 `right` 应该初始化为 `nums.length - 1`，while 的终止条件应该是 `left == right + 1`，也就是其中应该用 `<=`：
```java
int left_bound(int[] nums, int target) {
// 搜索区间为 [left, right]
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
// if else ...
}
```
因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 `left` 和 `right` 的更新逻辑如下：
5、为什么返回 left 而不是 right？
```java
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
```
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。
由于 while 的退出条件是 `left == right + 1`，所以当 `target` 比 `nums` 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/2.jpg)
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：
```java
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
```
至此，整个算法就写完了，完整代码如下：
```java
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
// 搜索区间为 [left, right]
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 检查出界情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
```
这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 `left` 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。
### 三、寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：
类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：
```java
int right_bound(int[] nums, int target) {
......@@ -211,38 +285,38 @@ int right_bound(int[] nums, int target) {
}
```
1、为什么这个算法能够找到右侧边界？
**1、为什么这个算法能够找到右侧边界**？
答：类似地，关键点还是这里：
```java
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
```
当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
当 `nums[mid] == target` 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 `left`，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
**2、为什么最后返回 `left - 1` 而不像左侧边界的函数，返回 `left`？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 `right` 才对**。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
答：首先，while 循环的终止条件是 `left == right`，所以 `left` 和 `right` 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 `right - 1` 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
```java
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
```
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/binarySearch2.png)
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/3.jpg)
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
因为我们对 `left` 的更新必须是 `left = mid + 1`，就是说 while 循环结束时，`nums[left]` 一定不等于 `target` 了，而 `nums[left-1]` 可能是 `target`。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
至于为什么 `left` 的更新必须是 `left = mid + 1`，同左侧边界搜索，就不再赘述。
1、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
**3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 `nums` 中不存在 `target` 这个值，怎么办**？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 `left == right`，就是说 `left` 的取值范围是 `[0, nums.length]`，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
```java
while (left < right) {
......@@ -252,11 +326,42 @@ if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
```
### 四、最后总结
**4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了**。
答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：
```java
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 这里改成收缩左侧边界即可
left = mid + 1;
}
}
// 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
```
当 `target` 比所有元素都小时，`right` 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
![](../pictures/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE/4.jpg)
至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？
### 四、逻辑统一
来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法：
**第一个，最基本的二分查找算法**：
```python
因为我们初始化 right = nums.length - 1
......@@ -268,7 +373,7 @@ return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
```
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
**第二个，寻找左侧边界的二分查找**：
```python
因为我们初始化 right = nums.length
......@@ -281,7 +386,7 @@ return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
```
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
**第三个，寻找右侧边界的二分查找**：
```python
因为我们初始化 right = nums.length
......@@ -297,6 +402,66 @@ return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
```
对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，**我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法**：
```java
int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return -1;
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
```
如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。
通过本文，你学会了：
......@@ -305,8 +470,9 @@ return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
3、如需要搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 `nums[mid] == target` 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 `nums[mid] == target` 条件处的代码和返回的逻辑即可，**推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板**。
呵呵，此文对二分查找的问题无敌好吧！**致力于把算法讲清楚！欢迎关注我的微信公众号 labuladong，查看更多通俗易懂的文章**：
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