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title: '手把手带你刷二叉搜索树（第二期）'
tags: ['数据结构', '二叉搜索树', '二叉树', '分解问题的思路']
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</p>

![](https://labuladong.github.io/pictures/souyisou1.png)

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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [450. Delete Node in a BST](https://leetcode.com/problems/delete-node-in-a-bst/) | [450. 删除二叉搜索树中的节点](https://leetcode.cn/problems/delete-node-in-a-bst/) | 🟠
| [700. Search in a Binary Search Tree](https://leetcode.com/problems/search-in-a-binary-search-tree/) | [700. 二叉搜索树中的搜索](https://leetcode.cn/problems/search-in-a-binary-search-tree/) | 🟢
| [701. Insert into a Binary Search Tree](https://leetcode.com/problems/insert-into-a-binary-search-tree/) | [701. 二叉搜索树中的插入操作](https://leetcode.cn/problems/insert-into-a-binary-search-tree/) | 🟠
| [98. Validate Binary Search Tree](https://leetcode.com/problems/validate-binary-search-tree/) | [98. 验证二叉搜索树](https://leetcode.cn/problems/validate-binary-search-tree/) | 🟠

**-----------**

在开头先打个广告，我的 [手把手刷二叉树课程](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3) 按照公式和套路讲解了 150 道二叉树题目，只需一顿饭钱，就能手把手带你刷完二叉树分类的题目，迅速掌握递归思维，让你豁然开朗。我绝对有这个信心，信不信，可以等你看完我的二叉树算法系列文章再做评判。

我们前文 [东哥带你刷二叉搜索树（特性篇）](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=BST1) 介绍了 BST 的基本特性，还利用二叉搜索树「中序遍历有序」的特性来解决了几道题目，本文来实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中「删」和「判断合法性」略微复杂。

BST 的基础操作主要依赖「左小右大」的特性，可以在二叉树中做类似二分搜索的操作，寻找一个元素的效率很高。比如下面这就是一棵合法的二叉树：

![](https://labuladong.github.io/pictures/BST/0.png)

对于 BST 相关的问题，你可能会经常看到类似下面这样的代码逻辑：

<!-- muliti_language -->
```java
void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}
```

这个代码框架其实和二叉树的遍历框架差不多，无非就是利用了 BST 左小右大的特性而已。接下来看下 BST 这种结构的基础操作是如何实现的。

### 一、判断 BST 的合法性

力扣第 98 题「验证二叉搜索树」就是让你判断输入的 BST 是否合法。注意，这里是有坑的哦，按照 BST 左小右大的特性，每个节点想要判断自己是否是合法的 BST 节点，要做的事不就是比较自己和左右孩子吗？感觉应该这样写代码：

<!-- muliti_language -->
```java
boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    // root 的左边应该更小
    if (root.left != null && root.left.val >= root.val)
        return false;
    // root 的右边应该更大
    if (root.right != null && root.right.val <= root.val)
        return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}
```

但是这个算法出现了错误，BST 的每个节点应该要小于右边子树的**所有**节点，下面这个二叉树显然不是 BST，因为节点 10 的右子树中有一个节点 6，但是我们的算法会把它判定为合法 BST：

![](https://labuladong.github.io/pictures/BST/假BST.png)

**出现问题的原因在于，对于每一个节点 `root`，代码值检查了它的左右孩子节点是否符合左小右大的原则；但是根据 BST 的定义，`root` 的整个左子树都要小于 `root.val`，整个右子树都要大于 `root.val`**。

问题是，对于某一个节点 `root`，他只能管得了自己的左右子节点，怎么把 `root` 的约束传递给左右子树呢？请看正确的代码：

<!-- muliti_language -->
```java
boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return isValidBST(root, null, null);
}

/* 限定以 root 为根的子树节点必须满足 max.val > root.val > min.val */
boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
    // base case
    if (root == null) return true;
    // 若 root.val 不符合 max 和 min 的限制，说明不是合法 BST
    if (min != null && root.val <= min.val) return false;
    if (max != null && root.val >= max.val) return false;
    // 限定左子树的最大值是 root.val，右子树的最小值是 root.val
    return isValidBST(root.left, min, root) 
        && isValidBST(root.right, root, max);
}
```

我们通过使用辅助函数，增加函数参数列表，在参数中携带额外信息，将这种约束传递给子树的所有节点，这也是二叉树算法的一个小技巧吧。

### 在 BST 中搜索元素

力扣第 700 题「二叉搜索树中的搜索」就是让你在 BST 中搜索值为 `target` 的节点，函数签名如下：

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode searchBST(TreeNode root, int target);
```

如果是在一棵普通的二叉树中寻找，可以这样写代码：

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode searchBST(TreeNode root, int target);
    if (root == null) return null;
    if (root.val == target) return root;
    // 当前节点没找到就递归地去左右子树寻找
    TreeNode left = searchBST(root.left, target);
    TreeNode right = searchBST(root.right, target);

    return left != null ? left : right;
}
```

这样写完全正确，但这段代码相当于穷举了所有节点，适用于所有二叉树。那么应该如何充分利用 BST 的特殊性，把「左小右大」的特性用上？

很简单，其实不需要递归地搜索两边，类似二分查找思想，根据 `target` 和 `root.val` 的大小比较，就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动：

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode searchBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 去左子树搜索
    if (root.val > target) {
        return searchBST(root.left, target);
    }
    // 去右子树搜索
    if (root.val < target) {
        return searchBST(root.right, target);
    }
    return root;
}
```

### 在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。

上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。**一旦涉及「改」，就类似二叉树的构造问题，函数要返回 `TreeNode` 类型，并且要对递归调用的返回值进行接收**。

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    // 找到空位置插入新节点
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    //     BST 中一般不会插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}
```

### 三、在 BST 中删除一个数

这个问题稍微复杂，跟插入操作类似，先「找」再「改」，先把框架写出来再说：

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root.val == key) {
        // 找到啦，进行删除
    } else if (root.val > key) {
        // 去左子树找
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        // 去右子树找
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}
```

找到目标节点了，比方说是节点 `A`，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况，用图片来说明。

**情况 1**：`A` 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世了。

![](https://labuladong.github.io/pictures/BST/bst_deletion_case_1.png)

```java
if (root.left == null && root.right == null)
    return null;
```

**情况 2**：`A` 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。

![](https://labuladong.github.io/pictures/BST/bst_deletion_case_2.png)

```java
// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;
```

**情况 3**：`A` 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，`A` 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

![](https://labuladong.github.io/pictures/BST/bst_deletion_case_3.png)

```java
if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}
```

三种情况分析完毕，填入框架，简化一下代码：

<!-- muliti_language -->
```java
TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
        // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 处理情况 3
        // 获得右子树最小的节点
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        // 删除右子树最小的节点
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
        // 用右子树最小的节点替换 root 节点
        minNode.left = root.left;
        minNode.right = root.right;
        root = minNode;
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}
```

这样，删除操作就完成了。注意一下，上述代码在处理情况 3 时通过一系列略微复杂的链表操作交换 `root` 和 `minNode` 两个节点：

```java
// 处理情况 3
// 获得右子树最小的节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 删除右子树最小的节点
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
// 用右子树最小的节点替换 root 节点
minNode.left = root.left;
minNode.right = root.right;
root = minNode;
```

有的读者可能会疑惑，替换 `root` 节点为什么这么麻烦，直接改 `val` 字段不就行了？看起来还更简洁易懂：

```java
// 处理情况 3
// 获得右子树最小的节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 删除右子树最小的节点
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
// 用右子树最小的节点替换 root 节点
root.val = minNode.val;
```

仅对于这道算法题来说是可以的，但这样操作并不完美，我们一般不会通过修改节点内部的值来交换节点。因为在实际应用中，BST 节点内部的数据域是用户自定义的，可以非常复杂，而 BST 作为数据结构（一个工具人），其操作应该和内部存储的数据域解耦，所以我们更倾向于使用指针操作来交换节点，根本没必要关心内部数据。

最后总结一下吧，通过这篇文章，我们总结出了如下几个技巧：

1、如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。

2、在二叉树递归框架之上，扩展出一套 BST 代码框架：

```java
void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}
```

3、根据代码框架掌握了 BST 的增删查改操作。

本文就到这里，更多经典的二叉树习题以及递归思维的训练，请参见 [手把手带你刷通二叉树](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3)。



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<details>
<summary><strong>引用本文的文章</strong></summary>

 - [东哥带你刷二叉搜索树（构造篇）](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=BST3)
 - [二叉树的递归转迭代的代码框架](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=迭代遍历二叉树)
 - [前缀树算法模板秒杀五道算法题](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=trie)
 - [后序遍历的妙用](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=后序遍历)

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<summary><strong>引用本文的题目</strong></summary>

<strong>安装 [我的 Chrome 刷题插件](https://mp.weixin.qq.com/s/X-fE9sR4BLi6T9pn7xP4pg) 点开下列题目可直接查看解题思路：</strong>

| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| - | [剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列](https://leetcode.cn/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof/?show=1) |

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