# 最长公共子序列
![](../pictures/souyisou.png) 相关推荐: * [回溯算法解题套路框架](https://labuladong.gitbook.io/algo/) * [经典动态规划:高楼扔鸡蛋(进阶)](https://labuladong.gitbook.io/algo/) 读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目: [1143.最长公共子序列](https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence) **-----------** 最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是一道非常经典的面试题目,因为它的解法是典型的二维动态规划,大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路,比如说编辑距离。而且,这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题,所以说 LCS 算法是值得掌握的。 题目就是让我们求两个字符串的 LCS 长度: ``` 输入: str1 = "abcde", str2 = "ace" 输出: 3 解释: 最长公共子序列是 "ace",它的长度是 3 ``` 肯定有读者会问,为啥这个问题就是动态规划来解决呢?因为子序列类型的问题,穷举出所有可能的结果都不容易,而动态规划算法做的就是穷举 + 剪枝,它俩天生一对儿。所以可以说只要涉及子序列问题,十有八九都需要动态规划来解决,往这方面考虑就对了。 下面就来手把手分析一下,这道题目如何用动态规划技巧解决。 ### 一、动态规划思路 **第一步,一定要明确 `dp` 数组的含义**。对于两个字符串的动态规划问题,套路是通用的。 比如说对于字符串 `s1` 和 `s2`,一般来说都要构造一个这样的 DP table: ![](../pictures/LCS/dp.png) 为了方便理解此表,我们暂时认为索引是从 1 开始的,待会的代码中只要稍作调整即可。其中,`dp[i][j]` 的含义是:对于 `s1[1..i]` 和 `s2[1..j]`,它们的 LCS 长度是 `dp[i][j]`。 比如上图的例子,d[2][4] 的含义就是:对于 `"ac"` 和 `"babc"`,它们的 LCS 长度是 2。我们最终想得到的答案应该是 `dp[3][6]`。 **第二步,定义 base case。** 我们专门让索引为 0 的行和列表示空串,`dp[0][..]` 和 `dp[..][0]` 都应该初始化为 0,这就是 base case。 比如说,按照刚才 dp 数组的定义,`dp[0][3]=0` 的含义是:对于字符串 `""` 和 `"bab"`,其 LCS 的长度为 0。因为有一个字符串是空串,它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。 **第三步,找状态转移方程。** 这是动态规划最难的一步,不过好在这种字符串问题的套路都差不多,权且借这道题来聊聊处理这类问题的思路。 状态转移说简单些就是做选择,比如说这个问题,是求 `s1` 和 `s2` 的最长公共子序列,不妨称这个子序列为 `lcs`。那么对于 `s1` 和 `s2` 中的每个字符,有什么选择?很简单,两种选择,要么在 `lcs` 中,要么不在。 ![](../pictures/LCS/lcs.png) 这个「在」和「不在」就是选择,关键是,应该如何选择呢?这个需要动点脑筋:如果某个字符应该在 `lcs` 中,那么这个字符肯定同时存在于 `s1` 和 `s2` 中,因为 `lcs` 是最长**公共**子序列嘛。所以本题的思路是这样: 用两个指针 `i` 和 `j` 从后往前遍历 `s1` 和 `s2`,如果 `s1[i]==s2[j]`,那么这个字符**一定在 `lcs` 中**;否则的话,`s1[i]` 和 `s2[j]` 这两个字符**至少有一个不在 `lcs` 中**,需要丢弃一个。先看一下递归解法,比较容易理解: ```python def longestCommonSubsequence(str1, str2) -> int: def dp(i, j): # 空串的 base case if i == -1 or j == -1: return 0 if str1[i] == str2[j]: # 这边找到一个 lcs 的元素,继续往前找 return dp(i - 1, j - 1) + 1 else: # 谁能让 lcs 最长,就听谁的 return max(dp(i-1, j), dp(i, j-1)) # i 和 j 初始化为最后一个索引 return dp(len(str1)-1, len(str2)-1) ``` 对于第一种情况,找到一个 `lcs` 中的字符,同时将 `i` `j` 向前移动一位,并给 `lcs` 的长度加一;对于后者,则尝试两种情况,取更大的结果。 其实这段代码就是暴力解法,我们可以通过备忘录或者 DP table 来优化时间复杂度,比如通过前文描述的 DP table 来解决: ```python def longestCommonSubsequence(str1, str2) -> int: m, n = len(str1), len(str2) # 构建 DP table 和 base case dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 进行状态转移 for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if str1[i - 1] == str2[j - 1]: # 找到一个 lcs 中的字符 dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j-1] else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) return dp[-1][-1] ``` ### 二、疑难解答 对于 `s1[i]` 和 `s2[j]` 不相等的情况,**至少有一个**字符不在 `lcs` 中,会不会两个字符都不在呢?比如下面这种情况: ![](../pictures/LCS/1.png) 所以代码是不是应该考虑这种情况,改成这样: ```python if str1[i - 1] == str2[j - 1]: # ... else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) ``` 我一开始也有这种怀疑,其实可以这样改,也能得到正确答案,但是多此一举,因为 `dp[i-1][j-1]` 永远是三者中最小的,max 根本不可能取到它。 原因在于我们对 dp 数组的定义:对于 `s1[1..i]` 和 `s2[1..j]`,它们的 LCS 长度是 `dp[i][j]`。 ![](../pictures/LCS/2.png) 这样一看,显然 `dp[i-1][j-1]` 对应的 `lcs` 长度不可能比前两种情况大,所以没有必要参与比较。 ### 三、总结 对于两个字符串的动态规划问题,一般来说都是像本文一样定义 DP table,因为这样定义有一个好处,就是容易写出状态转移方程,`dp[i][j]` 的状态可以通过之前的状态推导出来: ![](../pictures/LCS/3.png) 找状态转移方程的方法是,思考每个状态有哪些「选择」,只要我们能用正确的逻辑做出正确的选择,算法就能够正确运行。 **_____________** **刷算法,学套路,认准 labuladong,公众号和 [在线电子书](https://labuladong.gitbook.io/algo/) 持续更新最新文章**。 **本小抄即将出版,微信扫码关注公众号,后台回复「小抄」限时免费获取,回复「进群」可进刷题群一起刷题,带你搞定 LeetCode**。