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title: 'BFS 算法秒杀各种益智游戏'
tags: ['BFS 算法']
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [773. Sliding Puzzle](https://leetcode.com/problems/sliding-puzzle/) | [773. 滑动谜题](https://leetcode.cn/problems/sliding-puzzle/) | 🔴
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滑动拼图游戏大家应该都玩过，下图是一个 4x4 的滑动拼图：
拼图中有一个格子是空的，可以利用这个空着的格子移动其他数字。你需要通过移动这些数字，得到某个特定排列顺序，这样就算赢了。
我小时候还玩过一款叫做「华容道」的益智游戏，也和滑动拼图比较类似：
实际上，滑动拼图游戏也叫数字华容道，你看它俩挺相似的。
那么这种游戏怎么玩呢？我记得是有一些套路的，类似于魔方还原公式。但是我们今天不来研究让人头秃的技巧，**这些益智游戏通通可以用暴力搜索算法解决，所以今天我们就学以致用，用 BFS 算法框架来秒杀这些游戏**。
### 一、题目解析
力扣第 773 题「滑动谜题」就是这个问题，题目的要求如下：
给你一个 2x3 的滑动拼图，用一个 2x3 的数组 `board` 表示。拼图中有数字 0~5 六个数，其中**数字 0 就表示那个空着的格子**，你可以移动其中的数字，当 `board` 变为 `[[1,2,3],[4,5,0]]` 时，赢得游戏。
请你写一个算法，计算赢得游戏需要的最少移动次数，如果不能赢得游戏，返回 -1。
比如说输入的二维数组 `board = [[4,1,2],[5,0,3]]`，算法应该返回 5：
如果输入的是 `board = [[1,2,3],[5,4,0]]`，则算法返回 -1，因为这种局面下无论如何都不能赢得游戏。
### 二、思路分析
对于这种计算最小步数的问题，我们就要敏感地想到 BFS 算法。
这个题目转化成 BFS 问题是有一些技巧的，我们面临如下问题：
1、一般的 BFS 算法，是从一个起点 `start` 开始，向终点 `target` 进行寻路，但是拼图问题不是在寻路，而是在不断交换数字，这应该怎么转化成 BFS 算法问题呢？
2、即便这个问题能够转化成 BFS 问题，如何处理起点 `start` 和终点 `target`？它们都是数组哎，把数组放进队列，套 BFS 框架，想想就比较麻烦且低效。
首先回答第一个问题，**BFS 算法并不只是一个寻路算法，而是一种暴力搜索算法**，只要涉及暴力穷举的问题，BFS 就可以用，而且可以最快地找到答案。
你想想计算机怎么解决问题的？哪有什么特殊技巧，本质上就是把所有可行解暴力穷举出来，然后从中找到一个最优解罢了。
明白了这个道理，我们的问题就转化成了：**如何穷举出 `board` 当前局面下可能衍生出的所有局面**？这就简单了，看数字 0 的位置呗，和上下左右的数字进行交换就行了：
这样其实就是一个 BFS 问题，每次先找到数字 0，然后和周围的数字进行交换，形成新的局面加入队列…… 当第一次到达 `target` 时，就得到了赢得游戏的最少步数。
对于第二个问题，我们这里的 `board` 仅仅是 2x3 的二维数组，所以可以压缩成一个一维字符串。**其中比较有技巧性的点在于，二维数组有「上下左右」的概念，压缩成一维后，如何得到某一个索引上下左右的索引**？
对于这道题，题目说输入的数组大小都是 2 x 3，所以我们可以直接手动写出来这个映射：
```java
// 记录一维字符串的相邻索引
int[][] neighbor = new int[][]{
{1, 3},
{0, 4, 2},
{1, 5},
{0, 4},
{3, 1, 5},
{4, 2}
};
```
**这个含义就是，在一维字符串中，索引 `i` 在二维数组中的的相邻索引为 `neighbor[i]`**：
那么对于一个 `m x n` 的二维数组，手写它的一维索引映射肯定不现实了，如何用代码生成它的一维索引映射呢？
观察上图就能发现，如果二维数组中的某个元素 `e` 在一维数组中的索引为 `i`，那么 `e` 的左右相邻元素在一维数组中的索引就是 `i - 1` 和 `i + 1`，而 `e` 的上下相邻元素在一维数组中的索引就是 `i - n` 和 `i + n`，其中 `n` 为二维数组的列数。
这样，对于 `m x n` 的二维数组，我们可以写一个函数来生成它的 `neighbor` 索引映射，篇幅所限，我这里就不写了。
至此，我们就把这个问题完全转化成标准的 BFS 问题了，借助前文 [BFS 算法框架](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=BFS框架) 的代码框架，直接就可以套出解法代码了：
```java
public int slidingPuzzle(int[][] board) {
int m = 2, n = 3;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
String target = "123450";
// 将 2x3 的数组转化成字符串作为 BFS 的起点
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
sb.append(board[i][j]);
}
}
String start = sb.toString();
// 记录一维字符串的相邻索引
int[][] neighbor = new int[][]{
{1, 3},
{0, 4, 2},
{1, 5},
{0, 4},
{3, 1, 5},
{4, 2}
};
/******* BFS 算法框架开始 *******/
Queue q = new LinkedList<>();
HashSet visited = new HashSet<>();
// 从起点开始 BFS 搜索
q.offer(start);
visited.add(start);
int step = 0;
while (!q.isEmpty()) {
int sz = q.size();
for (int i = 0; i < sz; i++) {
String cur = q.poll();
// 判断是否达到目标局面
if (target.equals(cur)) {
return step;
}
// 找到数字 0 的索引
int idx = 0;
for (; cur.charAt(idx) != '0'; idx++) ;
// 将数字 0 和相邻的数字交换位置
for (int adj : neighbor[idx]) {
String new_board = swap(cur.toCharArray(), adj, idx);
// 防止走回头路
if (!visited.contains(new_board)) {
q.offer(new_board);
visited.add(new_board);
}
}
}
step++;
}
/******* BFS 算法框架结束 *******/
return -1;
}
private String swap(char[] chars, int i, int j) {
char temp = chars[i];
chars[i] = chars[j];
chars[j] = temp;
return new String(chars);
}
```
至此，这道题目就解决了，其实框架完全没有变，套路都是一样的，我们只是花了比较多的时间将滑动拼图游戏转化成 BFS 算法。
很多益智游戏都是这样，虽然看起来特别巧妙，但都架不住暴力穷举，常用的算法就是回溯算法或者 BFS 算法。
引用本文的文章
- [BFS 算法解题套路框架](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=BFS框架)
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