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title: '动态规划算法通关魔塔'
tags: ['动态规划']
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [174. Dungeon Game](https://leetcode.com/problems/dungeon-game/) | [174. 地下城游戏](https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/) | 🔴
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「魔塔」是一款经典的地牢类游戏，碰怪物要掉血，吃血瓶能加血，你要收集钥匙，一层一层上楼，最后救出美丽的公主。
现在手机上仍然可以玩这个游戏：
嗯，相信这款游戏承包了不少人的童年回忆，记得小时候，一个人拿着游戏机玩，两三个人围在左右指手画脚，这导致玩游戏的人体验极差，而左右的人异常快乐 😂
力扣第 174 题「地下城游戏」是一道类似的题目，我简单描述一下：
输入一个存储着整数的二维数组 `grid`，如果 `grid[i][j] > 0`，说明这个格子装着血瓶，经过它可以增加对应的生命值；如果 `grid[i][j] == 0`，则这是一个空格子，经过它不会发生任何事情；如果 `grid[i][j] < 0`，说明这个格子有怪物，经过它会损失对应的生命值。
现在你是一名骑士，将会出现在最左上角，公主被困在最右下角，你只能向右和向下移动，请问你初始至少需要多少生命值才能成功救出公主？
**换句话说，就是问你至少需要多少初始生命值，能够让骑士从最左上角移动到最右下角，且任何时候生命值都要大于 0**。
函数签名如下：
```java
int calculateMinimumHP(int[][] grid);
```
比如题目给我们举的例子，输入如下一个二维数组 `grid`，用 `K` 表示骑士，用 `P` 表示公主：
算法应该返回 7，也就是说骑士的初始生命值**至少**为 7 时才能成功救出公主，行进路线如图中的箭头所示。
上篇文章 [最小路径和](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最小路径和) 写过类似的问题，问你从左上角到右下角的最小路径和是多少。
我们做算法题一定要尝试举一反三，感觉今天这道题和最小路径和有点关系对吧？
想要最小化骑士的初始生命值，是不是意味着要最大化骑士行进路线上的血瓶？是不是相当于求「最大路径和」？是不是可以直接套用计算「最小路径和」的思路？
但是稍加思考，发现这个推论并不成立，吃到最多的血瓶，并不一定就能获得最小的初始生命值。
比如如下这种情况，如果想要吃到最多的血瓶获得「最大路径和」，应该按照下图箭头所示的路径，初始生命值需要 11：
但也很容易看到，正确的答案应该是下图箭头所示的路径，初始生命值只需要 1：
**所以，关键不在于吃最多的血瓶，而是在于如何损失最少的生命值**。
这类求最值的问题，肯定要借助动态规划技巧，要合理设计 `dp` 数组/函数的定义。类比前文 [最小路径和问题](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最小路径和)，`dp` 函数签名肯定长这样：
```java
int dp(int[][] grid, int i, int j);
```
但是这道题对 `dp` 函数的定义比较有意思，按照常理，这个 `dp` 函数的定义应该是：
**从左上角（`grid[0][0]`）走到 `grid[i][j]` 至少需要 `dp(grid, i, j)` 的生命值**。
这样定义的话，base case 就是 `i, j` 都等于 0 的时候，我们可以这样写代码：
```java
int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// 我们想计算左上角到右下角所需的最小生命值
return dp(grid, m - 1, n - 1);
}
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
// base case
if (i == 0 && j == 0) {
// 保证骑士落地不死就行了
return gird[i][j] > 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
...
}
```
> note：**为了简洁，之后 `dp(grid, i, j)` 就简写为 `dp(i, j)`，大家理解就好**。
接下来我们需要找状态转移了，还记得如何找状态转移方程吗？我们这样定义 `dp` 函数能否正确进行状态转移呢？
我们希望 `dp(i, j)` 能够通过 `dp(i-1, j)` 和 `dp(i, j-1)` 推导出来，这样就能不断逼近 base case，也就能够正确进行状态转移。
具体来说，「到达 `A` 的最小生命值」应该能够由「到达 `B` 的最小生命值」和「到达 `C` 的最小生命值」推导出来：
**但问题是，能推出来么？实际上是不能的**。
因为按照 `dp` 函数的定义，你只知道「能够从左上角到达 `B` 的最小生命值」，但并不知道「到达 `B` 时的生命值」。
「到达 `B` 时的生命值」是进行状态转移的必要参考，我给你举个例子你就明白了，假设下图这种情况：
你说这种情况下，骑士救公主的最优路线是什么？
显然是按照图中蓝色的线走到 `B`，最后走到 `A` 对吧，这样初始血量只需要 1 就可以；如果走黄色箭头这条路，先走到 `C` 然后走到 `A`，初始血量至少需要 6。
为什么会这样呢？骑士走到 `B` 和 `C` 的最少初始血量都是 1，为什么最后是从 `B` 走到 `A`，而不是从 `C` 走到 `A` 呢？
因为骑士走到 `B` 的时候生命值为 11，而走到 `C` 的时候生命值依然是 1。
如果骑士执意要通过 `C` 走到 `A`，那么初始血量必须加到 6 点才行；而如果通过 `B` 走到 `A`，初始血量为 1 就够了，因为路上吃到血瓶了，生命值足够抗 `A` 上面怪物的伤害。
这下应该说的很清楚了，再回顾我们对 `dp` 函数的定义，上图的情况，算法只知道 `dp(1, 2) = dp(2, 1) = 1`，都是一样的，怎么做出正确的决策，计算出 `dp(2, 2)` 呢？
**所以说，我们之前对 `dp` 数组的定义是错误的，信息量不足，算法无法做出正确的状态转移**。
正确的做法需要反向思考，依然是如下的 `dp` 函数：
```java
int dp(int[][] grid, int i, int j);
```
但是我们要修改 `dp` 函数的定义：
**从 `grid[i][j]` 到达终点（右下角）所需的最少生命值是 `dp(grid, i, j)`**。
那么可以这样写代码：
```java
int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
// 我们想计算左上角到右下角所需的最小生命值
return dp(grid, 0, 0);
}
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// base case
if (i == m - 1 && j == n - 1) {
return grid[i][j] >= 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
...
}
```
根据新的 `dp` 函数定义和 base case，我们想求 `dp(0, 0)`，那就应该试图通过 `dp(i, j+1)` 和 `dp(i+1, j)` 推导出 `dp(i, j)`，这样才能不断逼近 base case，正确进行状态转移。
具体来说，「从 `A` 到达右下角的最少生命值」应该由「从 `B` 到达右下角的最少生命值」和「从 `C` 到达右下角的最少生命值」推导出来：
能不能推导出来呢？这次是可以的，假设 `dp(0, 1) = 5, dp(1, 0) = 4`，那么可以肯定要从 `A` 走向 `C`，因为 4 小于 5 嘛。
那么怎么推出 `dp(0, 0)` 是多少呢？
假设 `A` 的值为 1，既然知道下一步要往 `C` 走，且 `dp(1, 0) = 4` 意味着走到 `grid[1][0]` 的时候至少要有 4 点生命值，那么就可以确定骑士出现在 `A` 点时需要 4 - 1 = 3 点初始生命值，对吧。
那如果 `A` 的值为 10，落地就能捡到一个大血瓶，超出了后续需求，4 - 10 = -6 意味着骑士的初始生命值为负数，这显然不可以，骑士的生命值小于 1 就挂了，所以这种情况下骑士的初始生命值应该是 1。
综上，状态转移方程已经推出来了：
```java
int res = min(
dp(i + 1, j),
dp(i, j + 1)
) - grid[i][j];
dp(i, j) = res <= 0 ? 1 : res;
```
根据这个核心逻辑，加一个备忘录消除重叠子问题，就可以直接写出最终的代码了：
```java
class Solution {
/* 主函数 */
public int calculateMinimumHP(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// 备忘录中都初始化为 -1
memo = new int[m][n];
for (int[] row : memo) {
Arrays.fill(row, -1);
}
return dp(grid, 0, 0);
}
// 备忘录，消除重叠子问题
int[][] memo;
/* 定义：从 (i, j) 到达右下角，需要的初始血量至少是多少 */
int dp(int[][] grid, int i, int j) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
// base case
if (i == m - 1 && j == n - 1) {
return grid[i][j] >= 0 ? 1 : -grid[i][j] + 1;
}
if (i == m || j == n) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 避免重复计算
if (memo[i][j] != -1) {
return memo[i][j];
}
// 状态转移逻辑
int res = Math.min(
dp(grid, i, j + 1),
dp(grid, i + 1, j)
) - grid[i][j];
// 骑士的生命值至少为 1
memo[i][j] = res <= 0 ? 1 : res;
return memo[i][j];
}
}
```
这就是自顶向下带备忘录的动态规划解法，参考前文 [动态规划套路详解](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=动态规划详解进阶) 很容易就可以改写成 `dp` 数组的迭代解法，这里就不写了，读者可以尝试自己写一写。
这道题的核心是定义 `dp` 函数，找到正确的状态转移方程，从而计算出正确的答案。
引用本文的文章
- [base case 和备忘录的初始值怎么定？](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=备忘录等基础)
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