# 贪心算法之区间调度问题
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目：
[435. 无重叠区间](https://leetcode-cn.com/problems/non-overlapping-intervals/)
[452.用最少数量的箭引爆气球](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-number-of-arrows-to-burst-balloons)
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什么是贪心算法呢？贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例，相比动态规划，使用贪心算法需要满足更多的条件（贪心选择性质），但是效率比动态规划要高。
比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间，如果能使用动态规划消除重叠子问题，就可以降到多项式级别的时间，如果满足贪心选择性质，那么可以进一步降低时间复杂度，达到线性级别的。
什么是贪心选择性质呢，简单说就是：每一步都做出一个局部最优的选择，最终的结果就是全局最优。注意哦，这是一种特殊性质，其实只有一部分问题拥有这个性质。
比如你面前放着 100 张人民币，你只能拿十张，怎么才能拿最多的面额？显然每次选择剩下钞票中面值最大的一张，最后你的选择一定是最优的。
然而，大部分问题明显不具有贪心选择性质。比如打斗地主，对手出对儿三，按照贪心策略，你应该出尽可能小的牌刚好压制住对方，但现实情况我们甚至可能会出王炸。这种情况就不能用贪心算法，而得使用动态规划解决，参见前文「动态规划解决博弈问题」。
### 一、问题概述
言归正传，本文解决一个很经典的贪心算法问题 Interval Scheduling（区间调度问题）。给你很多形如 `[start, end]` 的闭区间，请你设计一个算法，**算出这些区间中最多有几个互不相交的区间**。
```java
int intervalSchedule(int[][] intvs) {}
```
举个例子，`intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]]`，这些区间最多有 2 个区间互不相交，即 `[[1,3], [3,6]]`，你的算法应该返回 2。注意边界相同并不算相交。
这个问题在生活中的应用广泛，比如你今天有好几个活动，每个活动都可以用区间 `[start, end]` 表示开始和结束的时间，请问你今天**最多能参加几个活动呢？**显然你一个人不能同时参加两个活动，所以说这个问题就是求这些时间区间的最大不相交子集。
### 二、贪心解法
这个问题有许多看起来不错的贪心思路，却都不能得到正确答案。比如说：
也许我们可以每次选择可选区间中开始最早的那个？但是可能存在某些区间开始很早，但是很长，使得我们错误地错过了一些短的区间。或者我们每次选择可选区间中最短的那个？或者选择出现冲突最少的那个区间？这些方案都能很容易举出反例，不是正确的方案。
正确的思路其实很简单，可以分为以下三步：
1. 从区间集合 intvs 中选择一个区间 x，这个 x 是在当前所有区间中**结束最早的**（end 最小）。
2. 把所有与 x 区间相交的区间从区间集合 intvs 中删除。
3. 重复步骤 1 和 2，直到 intvs 为空为止。之前选出的那些 x 就是最大不相交子集。
把这个思路实现成算法的话，可以按每个区间的 `end` 数值升序排序，因为这样处理之后实现步骤 1 和步骤 2 都方便很多:
现在来实现算法，对于步骤 1，由于我们预先按照 `end` 排了序，所以选择 x 是很容易的。关键在于，如何去除与 x 相交的区间，选择下一轮循环的 x 呢？
**由于我们事先排了序**，不难发现所有与 x 相交的区间必然会与 x 的 `end` 相交；如果一个区间不想与 x 的 `end` 相交，它的 `start` 必须要大于（或等于）x 的 `end`：
看下代码：
```java
public int intervalSchedule(int[][] intvs) {
if (intvs.length == 0) return 0;
// 按 end 升序排序
Arrays.sort(intvs, new Comparator() {
@Override
public int compare(int[] a, int[] b) {
// 这里不能使用 a[1] - b[1]，要注意溢出问题
if (a[1] < b[1])
return -1;
else if (a[1] > b[1])
return 1;
else return 0;
}
});
// 至少有一个区间不相交
int count = 1;
// 排序后，第一个区间就是 x
int x_end = intvs[0][1];
for (int[] interval : intvs) {
int start = interval[0];
if (start >= x_end) {
// 找到下一个选择的区间了
count++;
x_end = interval[1];
}
}
return count;
}
```
### 三、应用举例
下面举例几道 LeetCode 题目应用一下区间调度算法。
第 435 题，无重叠区间：
我们已经会求最多有几个区间不会重叠了，那么剩下的不就是至少需要去除的区间吗？
```java
int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {
int n = intervals.length;
return n - intervalSchedule(intervals);
}
```
第 452 题，用最少的箭头射爆气球：
其实稍微思考一下，这个问题和区间调度算法一模一样！如果最多有 `n` 个不重叠的区间，那么就至少需要 `n` 个箭头穿透所有区间：
只是有一点不一样，在 `intervalSchedule` 算法中，如果两个区间的边界触碰，不算重叠；而按照这道题目的描述，箭头如果碰到气球的边界气球也会爆炸，所以说相当于区间的边界触碰也算重叠：
所以只要将之前的算法稍作修改，就是这道题目的答案：
```java
int findMinArrowShots(int[][] intvs) {
// ...
for (int[] interval : intvs) {
int start = interval[0];
// 把 >= 改成 > 就行了
if (start > x_end) {
count++;
x_end = interval[1];
}
}
return count;
}
```
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