From 58dd8dfd209621c1f543558003df18947836dd0c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: wizardforcel <562826179@qq.com> Date: Fri, 4 Jan 2019 21:19:55 +0800 Subject: [PATCH] 9.10-9.11 --- docs/9.10.md | 291 ++++++++++++++++++++++++++++++++ docs/9.11.md | 205 ++++++++++++++++++++++ img/{10_32_0.png => 9-10-1.png} | Bin img/{10_46_0.png => 9-10-2.png} | Bin 4 files changed, 496 insertions(+) create mode 100644 docs/9.10.md create mode 100644 docs/9.11.md rename img/{10_32_0.png => 9-10-1.png} (100%) rename img/{10_46_0.png => 9-10-2.png} (100%) diff --git a/docs/9.10.md b/docs/9.10.md new file mode 100644 index 0000000..350f784 --- /dev/null +++ b/docs/9.10.md @@ -0,0 +1,291 @@ +## 9.10 数组排序 + +> 本节是[《Python 数据科学手册》](https://github.com/jakevdp/PythonDataScienceHandbook)（Python Data Science Handbook）的摘录。 +> +> 译者：[飞龙](https://github.com/wizardforcel) +> +> 协议：[CC BY-NC-SA 4.0](http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) + +到目前为止，我们主要关注使用 NumPy 访问和操作数组数据的工具。本节介绍与 NumPy 数组中的值的排序相关的算法。 + +这些算法是计算机科学入门课程中最受欢迎的主题：如果你曾经上过这些课，你可能对插入排序，选择排序，归并排序，快速排序，冒泡排序，甚至更多的东西，有一些回忆（或者是噩梦，取决于你的性格）。 + +所有这些都是完成类似任务的方法：对列表或数组中的值排序。 + +例如，简单的选择排序重复查找列表中的最小值，并进行交换直到列表是有序的。我们可以在几行 Python 中编写代码： + +```py +import numpy as np + +def selection_sort(x): + for i in range(len(x)): + swap = i + np.argmin(x[i:]) + (x[i], x[swap]) = (x[swap], x[i]) + return x + +x = np.array([2, 1, 4, 3, 5]) +selection_sort(x) + +# array([1, 2, 3, 4, 5]) +``` + +正如任何计算机科学专业的一年级学生都会告诉你的那样，出于它的简单性，选择排序很有用，但是对于较大的数组来说太慢了。对于`N`个元素的列表，它需要`N`个循环，每个循环都执行大约`N`个比较，来查找要交换的值。 + +就通常用于表示这些算法的“大 O”记号而言（参见“大 O 记号”），选择排序平均是`O(n^2)`的：如果你将列表中的项目数加倍，执行时间将增加大约四倍。 + +尽管选择排序比我最喜欢的排序算法，`bogosort`要好得多： + +```py +def bogosort(x): + while np.any(x[:-1] > x[1:]): + np.random.shuffle(x) + return x + +x = np.array([2, 1, 4, 3, 5]) +bogosort(x) + +# array([1, 2, 3, 4, 5]) +``` + +这种愚蠢的排序方法纯粹依赖于机会：它反复应用数组的随机打乱，直到结果是有序的。平均规模为`O(n * n!)`，这显然应该永远不会用于任何实际计算。 + +幸运的是，Python包含内置的排序算法，这些算法比刚刚展示的任何简单算法都高效得多。 我们将首先查看 Python 内置函数，然后查看 NumPy 中包含的，并针对 NumPy 数组优化的例程。 + +### NumPy 中的快速排序：``np.sort``和``np.argsort`` + +尽管 Python 内置了``sort``和``sorted``函数来处理列表，但我们不会在这里讨论它们，因为 NumPy 的``np.sort``函数效率更高，对于我们的目的更有用。 + +默认情况下，``np.sort``使用`O(nlogn)`的快速排序算法，但归并排序和堆排序也可用。 对于大多数应用程序，默认的快速排序绰绰有余。 + +```py +x = np.array([2, 1, 4, 3, 5]) +np.sort(x) + +# array([1, 2, 3, 4, 5]) +``` + +如果你希望对数组原地排序，则可以使用数组的``sort``方法： + +```py +x.sort() +print(x) + +# [1 2 3 4 5] +``` + +相关函数是``argsort``，它返回已排序元素的下标： + +```py +x = np.array([2, 1, 4, 3, 5]) +i = np.argsort(x) +print(i) + +# [1 0 3 2 4] +``` + +此结果的第一个元素给出最小元素的索引，第二个值给出第二小元素的索引，依此类推。然后，如果需要，可以使用这些索引（通过花式索引）构造有序数组： + +```py +x[i] + +# array([1, 2, 3, 4, 5]) +``` + +#### 沿行或列的排序 + +NumPy 排序算法的一个有用特性是，能够使用``axis``参数来排序多维数组的特定行或列。例如： + +```py +rand = np.random.RandomState(42) +X = rand.randint(0, 10, (4, 6)) +print(X) + +''' +[[6 3 7 4 6 9] + [2 6 7 4 3 7] + [7 2 5 4 1 7] + [5 1 4 0 9 5]] +''' + +# 排序 X 的每一列 +np.sort(X, axis=0) + +''' +array([[2, 1, 4, 0, 1, 5], + [5, 2, 5, 4, 3, 7], + [6, 3, 7, 4, 6, 7], + [7, 6, 7, 4, 9, 9]]) +''' + +# 排序 X 的每一行 +np.sort(X, axis=1) + +''' +array([[3, 4, 6, 6, 7, 9], + [2, 3, 4, 6, 7, 7], + [1, 2, 4, 5, 7, 7], + [0, 1, 4, 5, 5, 9]]) +''' +``` + +请记住，这会将每个行或列视为一个独立的数组，并且行或列值之间的任何关系都将丢失！ + +### 部分排序：分区 + +有时我们对排序整个数组不感兴趣，但只想在数组中找到`k`个最小值。 NumPy 在``np.partition``函数中提供了它。``np.partition``接受一个数组和一个数字`K`；结果是一个新数组，最小的`K`个值在分区左边，任意顺序的剩下的值在右边： + +```py +x = np.array([7, 2, 3, 1, 6, 5, 4]) +np.partition(x, 3) + +# array([2, 1, 3, 4, 6, 5, 7]) +``` + +请注意，结果数组中的前三个值是数组中的三个最小值，其余数组位置包含其余值。在这两个分区中，元素具有任意顺序。 + +与排序类似，我们可以沿多维数组的任意轴进行分区： + +```py +np.partition(X, 2, axis=1) + +''' +array([[3, 4, 6, 7, 6, 9], + [2, 3, 4, 7, 6, 7], + [1, 2, 4, 5, 7, 7], + [0, 1, 4, 5, 9, 5]]) +''' +``` + +结果是一个数组，其中每行中的前两个槽包含该行中的最小值，其余值填充剩余的槽。 + +最后，就像计算有序索引的``np.argsort``一样，``np.argpartition``来计算分区的索引。我们将在下一节中看到它。 + +### 示例：K 最近邻 + +让我们快速了解如何沿着多个轴使用这个``argsort``函数，来查找集合中每个点的最近邻居。我们首先在二维平面上创建一组 10 个随机点。使用标准惯例，我们将在`10x2`数组中存放它们： + +```py +X = rand.rand(10, 2) +``` + +为了了解这些点的外观，让我们快速绘制散点图： + +```py +%matplotlib inline +import matplotlib.pyplot as plt +import seaborn; seaborn.set() # 绘图风格 +plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100); +``` + +![png](../img/9-10-1.png) + +现在我们将计算每对点之间的距离。回想一下，两点之间的平方距离是每个维度的平方差的总和；使用由 NumPy 提供的，高效广播（“数组计算：广播”）和聚合（“聚合：最小值，最大值和之间的一切”）的例程，我们可以在一行代码中计算平方距离矩阵： + +```py +dist_sq = np.sum((X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]) ** 2, axis=-1) +``` + +这个操作有很多内容，如果你不熟悉 NumPy 的广播规则，可能会有点混乱。 当你遇到这样的代码时，将其分解为子步骤会很有用： + +```py +# 对于每一对点 +# 计算坐标的差 +differences = X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :] +differences.shape + +# (10, 10, 2) + +# 计算坐标的差 +sq_differences = differences ** 2 +sq_differences.shape + +# (10, 10, 2) + +# 对坐标差求和来获取距离平方 +dist_sq = sq_differences.sum(-1) +dist_sq.shape + +# (10, 10) +``` + +为了仔细检查我们正在做什么，我们应该看到这个矩阵的对角线（即每个点和它自身之间的距离）都是零： + +```py +dist_sq.diagonal() + +# array([ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.]) +``` + +就是这样！使用转换的成对的平方距离，我们现在可以使用``np.argsort``对每行排序。 最左边的列将给出最近邻居的索引： + +```py +nearest = np.argsort(dist_sq, axis=1) +print(nearest) + +''' +[[0 3 9 7 1 4 2 5 6 8] + [1 4 7 9 3 6 8 5 0 2] + [2 1 4 6 3 0 8 9 7 5] + [3 9 7 0 1 4 5 8 6 2] + [4 1 8 5 6 7 9 3 0 2] + [5 8 6 4 1 7 9 3 2 0] + [6 8 5 4 1 7 9 3 2 0] + [7 9 3 1 4 0 5 8 6 2] + [8 5 6 4 1 7 9 3 2 0] + [9 7 3 0 1 4 5 8 6 2]] +''' +``` + +请注意，第一列按顺序给出数字 0 到 9：这是因为每个点的最近邻居就是它自己，这就是我们所期望的。 + +通过在这里使用完整的排序，在这种情况下，我们实际上完成的工作比我们需要的更多。 如果我们只是对最近的`k`个邻居感兴趣，我们所需要的就是对每一行进行分区，以便最小的`k + 1`个平方距离首先出现，更大的距离填充数组的剩余位置。 我们可以使用``np.argpartition``函数执行此操作： + +```py +K = 2 +nearest_partition = np.argpartition(dist_sq, K + 1, axis=1) +``` + +为了可视化这个邻居网络，让我们快速绘制点和线，它表示从每个点到其两个最近邻居的连接： + +```py +plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100) + +# 绘制每个点到它的两个最近邻的直线 +K = 2 + +for i in range(X.shape[0]): + for j in nearest_partition[i, :K+1]: + # 绘制 X[i] 到 X[j] 的直线 + # 使用一些 zip 魔法来实现 + plt.plot(*zip(X[j], X[i]), color='black') +``` + +![png](../img/9-10-2.png) + + +图中的每个点都有到两个最近邻居的绘制的线。看一眼，有些点有两条以上的线可能看起来很奇怪：这是因为如果 A 是 B 的两个最近邻之一，这并不一定意味着 B 是 A 的两个最近邻点之一。 + +虽然这种方法的广播和逐行排序，可能看起来不像编写循环那么简单，但事实证明，这是在 Python 中对这些数据进行操作的一种非常有效的方法。 + +你可能会尝试通过手动循环数据，并单独对每组邻居进行排序，来执行相同类型的操作，但这几乎肯定会产生比我们使用的向量化版本更慢的算法。 这种方法的优点在于，它的编写方式与输入数据的大小无关：我们可以在任意数量的维度中轻松计算 100 或 1,000,000 个点的邻居，并且代码看起来相同。 + +最后，我会注意到，在进行非常大的最近邻搜索时，有基于树的算法和/或近似算法，可以变为`O(nlogn)`或更好，而不是`O(n^2)`的暴力算法。 其中一个例子是 KD-Tree，[在 Scikit-learn 中实现](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.neighbors.KDTree.html)。 + +### 注：大 O 记号 + +大 O 记号是一种方法，描述算法所需操作数量随输入大小增长的变化。为了正确使用它，需要深入研究计算机科学理论的领域，并仔细区分它与相关的小 o 符号，大 $\theta$ 符号，大 $\Omega$ 符号，以及可能的许多变体。 + +虽然这些区别使算法规模，外部计算机科学理论考试和迂腐的博客评论者的评论更加精确，但你很少会在实践中看到这种区别。 + +在数据科学领域更常见的是使用不太严格的大 O 记号：作为算法规模的一般（如果不精确）描述。向理论家和学生道歉，这是我们将在本书中使用的解释。 + + +在这种宽松的意义上，大 O 记号会告诉你，在增加数据量时算法将花费多少时间。如果你有一个`O(N)`（读取`N`阶）的算法，它在长度为`N = 1,000`的列表上运行需要 1 秒，那么对于长度`N = 5,000`，你应该预计大约需要 5 秒。如果你有一个`O(N^2)`（读取`N`方阶）的算法，对于`N = 1000`它需要 1 秒，那么对于`N = 5000`，你应该预计它需要大约 25 秒。 + +出于我们的目的，`N`通常表示数据集大小的某些方面（点数，维数等）。 当试图分析数十亿或数万亿的样本时，`O(N)`和`O(N^2)`之间的差异可能并不是微不足道！ + +请注意，大 O 记号本身不会告诉你计算的实际时钟时间，而只会告诉你在更改`N`时的规模。通常，例如，`O(N)`算法被认为具有比`O(N^2)`算法更好的规模，并且有充分的理由。 但是对于小型数据集，规模更好的算法可能不会更快。 + +例如，在给定问题中，`O(N^2)`算法可能需要 0.01 秒，而“更好的”`O(N)`算法可能需要 1 秒。然而，将`N`按比例放大 1000 倍，`O(N)`算法将胜出。 + +在比较算法的性能时，即使是这个松散版本的大 O 记号也非常有用，在讨论算法如何扩展时，我们将在整本书中使用这种记号。 diff --git a/docs/9.11.md b/docs/9.11.md new file mode 100644 index 0000000..1699412 --- /dev/null +++ b/docs/9.11.md @@ -0,0 +1,205 @@ +## 9.11 结构化数据：NumPy 的结构化数组 + +> 本节是[《Python 数据科学手册》](https://github.com/jakevdp/PythonDataScienceHandbook)（Python Data Science Handbook）的摘录。 + +虽然我们的数据通常可以通过同构数组来很好地表示，但有时并非如此。 本节演示了 NumPy 结构化数组和记录数组的用法，它们为复合异构数据提供了有效的存储。 虽然这里展示的模式对于简单操作很有用，但像这样的场景通常适合使用 Pandas `Dataframe`，我们将在第三章中探索。 + +```py +import numpy as np +``` + +想象一下，我们有很多人的多个数据类别（比如姓名，年龄和体重），我们希望存储这些值以便在 Python 程序中使用。可以将它们存储在三个独立的数组中： + +```py +name = ['Alice', 'Bob', 'Cathy', 'Doug'] +age = [25, 45, 37, 19] +weight = [55.0, 85.5, 68.0, 61.5] +``` + +但这有点笨拙。 这里没有任何东西告诉我们三个数组是相关的；如果我们可以使用单一结构来存储所有这些数据，那将更自然。NumPy 可以使用结构化数组处理这个问题，结构化数组是具有复合数据类型的数组。 + +回想一下，之前我们使用这样的表达式创建了一个简单的数组： + +```py +x = np.zeros(4, dtype=int) +``` + +我们可以使用复合数据类型规范，以相似方式创建结构化数组： + +```py +# 使用结构化数组的复合数据类型 +data = np.zeros(4, dtype={'names':('name', 'age', 'weight'), + 'formats':('U10', 'i4', 'f8')}) +print(data.dtype) + +# [('name', '``，分别表示“小端”或“大端”，并规定了有效位的顺序约定。下一个字符指定数据类型：字符，字节，整数，浮点等（参见下表）。最后一个或多个字符表示对象的大小（以字节为单位）。 + +| 字符 | 描述 | 示例 | +| --------- | ----------- | ------- | +| ``'b'`` | 字节 | ``np.dtype('b')`` | +| ``'i'`` | 符号整数 | ``np.dtype('i4') == np.int32`` | +| ``'u'`` | 无符号整数 | ``np.dtype('u1') == np.uint8`` | +| ``'f'`` | 浮点 | ``np.dtype('f8') == np.int64`` | +| ``'c'`` | 复数浮点 | ``np.dtype('c16') == np.complex128``| +| ``'S'``, ``'a'`` | 字符串 | ``np.dtype('S5')`` | +| ``'U'`` | Unicode 字符串 | ``np.dtype('U') == np.str_`` | +| ``'V'`` | 原始数据（void） | ``np.dtype('V') == np.void`` | + +### 更高级的复合类型 + +可以定义更高级的复合类型。例如，你可以创建一个类型，其中每个元素包含一个数组或矩阵。在这里，我们将创建一个带有``mat``成分的数据类型，该成分由`3x3`浮点矩阵组成： + +```py +tp = np.dtype([('id', 'i8'), ('mat', 'f8', (3, 3))]) +X = np.zeros(1, dtype=tp) +print(X[0]) +print(X['mat'][0]) + +''' +(0, [[0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0]]) +[[ 0. 0. 0.] + [ 0. 0. 0.] + [ 0. 0. 0.]] +''' +``` + +现在``X``数组中的每个元素都包含一个``id``和一个`3x3`矩阵。为什么要使用它而不是简单的多维数组，或者 Python 字典呢？原因是这个 NumPy ``dtype``直接映射到 C 结构定义，因此包含数组内容的缓冲区，可以在适当编写的 C 程序中直接访问。 + +如果你发现自己为处理结构化数据的遗留 C 或 Fortran 库编写 Python 接口，你可能会发现结构化数组非常有用！ + +### 记录数组：具有扭曲的结构化阵列 + +NumPy 还提供了``np.recarray``类，它与刚刚描述的结构化数组几乎相同，但有一个附加功能：字段可以作为属性而不是字典的键来访问。 + +回想一下，我们以前写过： + +```py +data['age'] + +# array([25, 45, 37, 19], dtype=int32) +``` + +如果我们将数据视为记录数组，我们可以通过更少的敲键盘来访问它： + +```py +data_rec = data.view(np.recarray) +data_rec.age + +# array([25, 45, 37, 19], dtype=int32) +``` + +缺点是对于记录数组，即使使用相同的语法，访问字段会有一些额外的开销。 我们在这里可以看到： + +```py +%timeit data['age'] +%timeit data_rec['age'] +%timeit data_rec.age + +''' +1000000 loops, best of 3: 241 ns per loop +100000 loops, best of 3: 4.61 µs per loop +100000 loops, best of 3: 7.27 µs per loop +''' +``` + +更方便的记号是否值得额外开销，取决于你自己的应用。 + +### 转向 Pandas + +关于结构化和记录数组的这一部分，有意放在本章的最后部分，因为它很好地介绍了我们将要介绍的下一个包：Pandas。 + +在某些情况下，最好了解这里讨论的结构化数组，特别是在你使用 NumPy 数组来映射到 C，Fortran 或其他语言的二进制数据格式的情况下。 + +对于结构化数据的日常使用，Pandas 包是一个更好的选择，我们将在下一章中深入讨论它。 diff --git a/img/10_32_0.png b/img/9-10-1.png similarity index 100% rename from img/10_32_0.png rename to img/9-10-1.png diff --git a/img/10_46_0.png b/img/9-10-2.png similarity index 100% rename from img/10_46_0.png rename to img/9-10-2.png -- GitLab