# 第14章 利用SVD简化数据
## SVD 概述
```
奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）:
提取信息的一种方法，可以把 SVD 看成是从噪声数据中抽取相关特征。从生物信息学到金融学，SVD 是提取信息的强大工具。
```
## SVD 场景
> 信息检索-隐性语义检索（Latent Semantic Indexing, LSI）或 隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）
隐性语义索引: 矩阵 = 文档 + 词语
* 是最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。
> 推荐系统
1. 利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
2. 再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)
* 上图右边标注的为一组共同特征，表示美式 BBQ 空间；另一组在上图右边未标注的为日式食品 空间。
> 图像压缩
例如: `32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130`(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。
## SVD 原理
### SVD 工作原理
> 矩阵分解
* 矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。
* 矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）
* 举例: 如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。
> SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术
* SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、$$\sum$$、V
* 举例: 如果原始矩阵 $$Data_{m \ast n}$$ 是m行n列，
* $$U_{m \ast k}$$ 表示m行k列
* $$\sum_{k \ast k}$$ 表示k行k列
* $$V_{k \ast n}$$ 表示k行n列。
$$Data_{m \ast n} = U_{m \ast k} \sum_{k \ast k} V_{k \ast n}$$
具体的案例: （大家可以试着推导一下: https://wenku.baidu.com/view/b7641217866fb84ae45c8d17.html ）
* 上述分解中会构建出一个矩阵 $$\sum$$ ，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，$$\sum$$ 的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。
* 奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 $$Data \ast Data^T$$ 特征值的平方根。
* 普遍的事实: 在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。
### SVD 算法特点
```
优点: 简化数据，去除噪声，优化算法的结果
缺点: 数据的转换可能难以理解
使用的数据类型: 数值型数据
```
## 推荐系统
### 推荐系统 概述
`推荐系统是利用电子商务网站向客户提供商品信息和建议，帮助用户决定应该购买什么产品，模拟销售人员帮助客户完成购买过程。`
### 推荐系统 场景
1. Amazon 会根据顾客的购买历史向他们推荐物品
2. Netflix 会向其用户推荐电影
3. 新闻网站会对用户推荐新闻频道
### 推荐系统 要点
> 基于协同过滤(collaborative filtering) 的推荐引擎
* 利用Python 实现 SVD(Numpy 有一个称为 linalg 的线性代数工具箱)
* 协同过滤: 是通过将用户和其他用户的数据进行对比来实现推荐的。
* 当知道了两个用户或两个物品之间的相似度，我们就可以利用已有的数据来预测未知用户的喜好。
> 基于物品的相似度和基于用户的相似度: 物品比较少则选择物品相似度，用户比较少则选择用户相似度。【矩阵还是小一点好计算】
* 基于物品的相似度: 计算物品之间的距离。【耗时会随物品数量的增加而增加】
* 由于物品A和物品C 相似度(相关度)很高，所以给买A的人推荐C。
* 基于用户的相似度: 计算用户之间的距离。【耗时会随用户数量的增加而增加】
* 由于用户A和用户C 相似度(相关度)很高，所以A和C是兴趣相投的人，对于C买的物品就会推荐给A。
> 相似度计算
* inA, inB 对应的是 列向量
1. 欧氏距离: 指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。二维或三维中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
* 相似度= 1/(1+欧式距离)
* `相似度= 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))`
* 物品对越相似，它们的相似度值就越大。
2. 皮尔逊相关系数: 度量的是两个向量之间的相似度。
* 相似度= 0.5 + 0.5*corrcoef() 【皮尔逊相关系数的取值范围从 -1 到 +1，通过函数0.5 + 0.5\*corrcoef()这个函数计算，把值归一化到0到1之间】
* `相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]`
* 相对欧氏距离的优势: 它对用户评级的量级并不敏感。
3. 余弦相似度: 计算的是两个向量夹角的余弦值。
* 余弦值 = (A·B)/(||A||·||B||) 【余弦值的取值范围也在-1到+1之间】
* 相似度= 0.5 + 0.5*余弦值
* `相似度= 0.5 + 0.5*( float(inA.T*inB) / la.norm(inA)*la.norm(inB))`
* 如果夹角为90度，则相似度为0；如果两个向量的方向相同，则相似度为1.0。
> 推荐系统的评价
* 采用交叉测试的方法。【拆分数据为训练集和测试集】
* 推荐引擎评价的指标: 最小均方根误差(Root mean squared error, RMSE)，也称标准误差(Standard error)，就是计算均方误差的平均值然后取其平方根。
* 如果RMSE=1, 表示相差1个星级；如果RMSE=2.5, 表示相差2.5个星级。
### 推荐系统 原理
* 推荐系统的工作过程: 给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。
* 实现流程大致如下:
1. 寻找用户没有评级的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。
2. 在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说: 我们认为用户可能会对物品的打分（这就是相似度计算的初衷）。
3. 对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。
### 项目案例: 餐馆菜肴推荐系统
#### 项目概述
`假如一个人在家决定外出吃饭，但是他并不知道该到哪儿去吃饭，该点什么菜。推荐系统可以帮他做到这两点。`
#### 开发流程
> 收集 并 准备数据
```python
def loadExData3():
# 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
"""
行: 代表人
列: 代表菜肴名词
值: 代表人对菜肴的评分，0表示未评分
"""
return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
[3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
[5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
[4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
[0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
[1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]
```
> 分析数据: 这里不做过多的讨论(当然此处可以对比不同距离之间的差别)
> 训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐
recommend() 会调用 基于物品相似度 或者是 基于SVD，得到推荐的物品评分。
* 1.基于物品相似度
```python
# 基于物品相似度的推荐引擎
def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
"""standEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)
Args:
dataMat 训练数据集
user 用户编号
simMeas 相似度计算方法
item 未评分的物品编号
Returns:
ratSimTotal/simTotal 评分（0～5之间的值）
"""
# 得到数据集中的物品数目
n = shape(dataMat)[1]
# 初始化两个评分值
simTotal = 0.0
ratSimTotal = 0.0
# 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品进行遍历，并将它与其他物品进行比较）
for j in range(n):
userRating = dataMat[user, j]
# 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
if userRating == 0:
continue
# 寻找两个用户都评级的物品
# 变量 overLap 给出的是两个物品当中已经被评分的那个元素的索引ID
# logical_and 计算x1和x2元素的真值。
overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]
# 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
if len(overLap) == 0:
similarity = 0
# 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
else:
similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])
# print 'the %d and %d similarity is : %f'(iten,j,similarity)
# 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
# similarity 用户相似度， userRating 用户评分
simTotal += similarity
ratSimTotal += similarity * userRating
if simTotal == 0:
return 0
# 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
else:
return ratSimTotal/simTotal
```
* 2.基于SVD(参考地址: http://www.codeweblog.com/svd-%E7%AC%94%E8%AE%B0/)
```python
# 基于SVD的评分估计
# 在recommend() 中，这个函数用于替换对standEst()的调用，该函数对给定用户给定物品构建了一个评分估计值
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
"""svdEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)
Args:
dataMat 训练数据集
user 用户编号
simMeas 相似度计算方法
item 未评分的物品编号
Returns:
ratSimTotal/simTotal 评分（0～5之间的值）
"""
# 物品数目
n = shape(dataMat)[1]
# 对数据集进行SVD分解
simTotal = 0.0
ratSimTotal = 0.0
# 奇异值分解
# 在SVD分解之后，我们只利用包含了90%能量值的奇异值，这些奇异值会以NumPy数组的形式得以保存
U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)
# # 分析 Sigma 的长度取值
# analyse_data(Sigma, 20)
# 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
Sig4 = mat(eye(4) * Sigma[: 4])
# 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的“隐形”特征)
# 公式1(目的是: 降维-改变形状，也改变大小) xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I
# 公式2(目的是: 压缩-不改变形状，改变大小) reconMat = U[:, :4] * Sig4.I * VT[:4, :]
# 其中: imgCompress() 是详细的案例
# 最近看到一篇文章描述，感觉挺有道理的，我就顺便补充一下注释: https://blog.csdn.net/qq_36523839/article/details/82347332
xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I
# 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历，
# 这和standEst()函数中的for循环的目的一样，只不过这里的相似度计算时在低维空间下进行的。
for j in range(n):
userRating = dataMat[user, j]
if userRating == 0 or j == item:
continue
# 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
# for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)
# 对相似度不断累加求和
simTotal += similarity
# 对相似度及对应评分值的乘积求和
ratSimTotal += similarity * userRating
if simTotal == 0:
return 0
else:
# 计算估计评分
return ratSimTotal/simTotal
```
排序获取最后的推荐结果
```python
# recommend()函数，就是推荐引擎，它默认调用standEst()函数，产生了最高的N个推荐结果。
# 如果不指定N的大小，则默认值为3。该函数另外的参数还包括相似度计算方法和估计方法
def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
# 寻找未评级的物品
# 对给定的用户建立一个未评分的物品列表
unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]
# 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
if len(unratedItems) == 0:
return 'you rated everything'
# 物品的编号和评分值
itemScores = []
# 在未评分物品上进行循环
for item in unratedItems:
estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
# 寻找前N个未评级物品，调用standEst()来产生该物品的预测得分，该物品的编号和估计值会放在一个元素列表itemScores中
itemScores.append((item, estimatedScore))
# 按照估计得分，对该列表进行排序并返回。列表逆排序，第一个值就是最大值
return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]
```
> 测试 和 项目调用，可直接参考我们的代码
[完整代码地址](https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py):
#### 要点补充
> 基于内容(content-based)的推荐
1. 通过各种标签来标记菜肴
2. 将这些属性作为相似度计算所需要的数据
3. 这就是: 基于内容的推荐。
> 构建推荐引擎面临的挑战
问题
* 1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度
* 2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。
* 3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说: 用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】
建议
* 1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。
* 2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)
* 3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行`基于内容的推荐`。
### 项目案例: 基于 SVD 的图像压缩
> 收集 并 准备数据
将文本数据转化为矩阵
```python
# 加载并转换数据
def imgLoadData(filename):
myl = []
# 打开文本文件，并从文件以数组方式读入字符
for line in open(filename).readlines():
newRow = []
for i in range(32):
newRow.append(int(line[i]))
myl.append(newRow)
# 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
myMat = mat(myl)
return myMat
```
> 分析数据: 分析 Sigma 的长度个数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。
```python
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
"""analyse_data(分析 Sigma 的长度取值)
Args:
Sigma Sigma的值
loopNum 循环次数
"""
# 总方差的集合（总能量值）
Sig2 = Sigma**2
SigmaSum = sum(Sig2)
for i in range(loopNum):
SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
'''
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
print '主成分: %s, 方差占比: %s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '4.2f'))
```
> 使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写
例如: `32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130`(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。
```python
# 打印矩阵
def printMat(inMat, thresh=0.8):
# 由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
for i in range(32):
for k in range(32):
if float(inMat[i, k]) > thresh:
print 1,
else:
print 0,
print ''
# 实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
"""imgCompress( )
Args:
numSV Sigma长度
thresh 判断的阈值
"""
# 构建一个列表
myMat = imgLoadData('data/14.SVD/0_5.txt')
print "****original matrix****"
# 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
printMat(myMat, thresh)
# 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
# Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
# SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
# for k in range(numSV):
# SigRecon[k, k] = Sigma[k]
# 分析插入的 Sigma 长度
analyse_data(Sigma, 20)
SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
print "****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV
printMat(reconMat, thresh)
```
[完整代码地址](https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py):
* * *
* **作者: [片刻](http://cwiki.apachecn.org/display/~jiangzhonglian) [1988](http://cwiki.apachecn.org/display/~lihuisong)**
* [GitHub地址](https://github.com/apachecn/AiLearning):
* **版权声明: 欢迎转载学习 => 请标注信息来源于 [ApacheCN](https://www.apachecn.org/)**