# Union-Find 算法详解
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [130. Surrounded Regions](https://leetcode.com/problems/surrounded-regions/) | [130. 被围绕的区域](https://leetcode.cn/problems/surrounded-regions/) | 🟠
| [323. Number of Connected Components in an Undirected Graph](https://leetcode.com/problems/number-of-connected-components-in-an-undirected-graph/)🔒 | [323. 无向图中连通分量的数目](https://leetcode.cn/problems/number-of-connected-components-in-an-undirected-graph/)🔒 | 🟠
| [990. Satisfiability of Equality Equations](https://leetcode.com/problems/satisfiability-of-equality-equations/) | [990. 等式方程的可满足性](https://leetcode.cn/problems/satisfiability-of-equality-equations/) | 🟠
**-----------**
今天讲讲 Union-Find 算法，也就是常说的并查集（Disjoint Set）结构，主要是解决图论中「动态连通性」问题的。名词很高端，其实特别好理解，等会解释，另外这个算法的应用都非常有趣。
说起这个 Union-Find，应该算是我的「启蒙算法」了，因为《算法4》的开头就介绍了这款算法，可是把我秀翻了，感觉好精妙啊！
后来刷了 LeetCode，并查集相关的算法题目都非常有意思，而且《算法4》给的解法竟然还可以进一步优化，只要加一个微小的修改就可以把时间复杂度降到 O(1)。
废话不多说，直接上干货，先解释一下什么叫动态连通性吧。
### 一、问题介绍
简单说，动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：
现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API：
```java
class UF {
/* 将 p 和 q 连接 */
public void union(int p, int q);
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
public boolean connected(int p, int q);
/* 返回图中有多少个连通分量 */
public int count();
}
```
这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：
1、自反性：节点 `p` 和 `p` 是连通的。
2、对称性：如果节点 `p` 和 `q` 连通，那么 `q` 和 `p` 也连通。
3、传递性：如果节点 `p` 和 `q` 连通，`q` 和 `r` 连通，那么 `p` 和 `r` 也连通。
比如说之前那幅图，0～9 任意两个**不同**的点都不连通，调用 `connected` 都会返回 false，连通分量为 10 个。
如果现在调用 `union(0, 1)`，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。
再调用 `union(1, 2)`，这时 0,1,2 都被连通，调用 `connected(0, 2)` 也会返回 true，连通分量变为 8 个。
判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。
这样，你应该大概明白什么是动态连通性了，Union-Find 算法的关键就在于 `union` 和 `connected` 函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢？用什么数据结构来实现代码呢？
### 二、基本思路
注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说，这么做是有原因的。因为我们使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。
怎么用森林来表示连通性呢？我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点，如果是根节点的话，这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图，一开始的时候没有相互连通，就是这样：
```java
class UF {
// 记录连通分量
private int count;
// 节点 x 的父节点是 parent[x]
private int[] parent;
/* 构造函数，n 为图的节点总数 */
public UF(int n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
// 父节点指针初始指向自己
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
parent[i] = i;
}
/* 其他函数 */
}
```
**如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上**：
```java
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
count--; // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (parent[x] != x)
x = parent[x];
return x;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() {
return count;
}
```
**这样，如果节点 `p` 和 `q` 连通的话，它们一定拥有相同的根节点**：
```java
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
```
至此，Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇？竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林，如此巧妙的解决这个比较复杂的问题！
那么这个算法的复杂度是多少呢？我们发现，主要 API `connected` 和 `union` 中的复杂度都是 `find` 函数造成的，所以说它们的复杂度和 `find` 一样。
`find` 主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是 `logN`，但这并不一定。`logN` 的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成 `N`。
所以说上面这种解法，`find` , `union` , `connected` 的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于 `union` 和 `connected` 的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。
**问题的关键在于，如何想办法避免树的不平衡呢**？只需要略施小计即可。
### 三、平衡性优化
我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于 `union` 过程：
```java
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也可以
count--;
```
我们一开始就是简单粗暴的把 `p` 所在的树接到 `q` 所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：
长此以往，树可能生长得很不平衡。**我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些**。解决方法是额外使用一个 `size` 数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：
```java
class UF {
private int count;
private int[] parent;
// 新增一个数组记录树的“重量”
private int[] size;
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
// 最初每棵树只有一个节点
// 重量应该初始化 1
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
/* 其他函数 */
}
```
比如说 `size[3] = 5` 表示，以节点 `3` 为根的那棵树，总共有 `5` 个节点。这样我们可以修改一下 `union` 方法：
```java
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面，较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
```
这样，通过比较树的重量，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在 `logN` 这个数量级，极大提升执行效率。
此时，`find` , `union` , `connected` 的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。
### 四、路径压缩
这步优化虽然代码很简单，但原理非常巧妙。
**其实我们并不在乎每棵树的结构长什么样，只在乎根节点**。
因为无论树长啥样，树上的每个节点的根节点都是相同的，所以能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？
这样每个节点的父节点就是整棵树的根节点，`find` 就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，`connected` 和 `union` 复杂度都下降为 O(1)。
要做到这一点主要是修改 `find` 函数逻辑，非常简单，但你可能会看到两种不同的写法。
第一种是在 `find` 中加一行代码：
```java
private int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 这行代码进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
```
这个操作有点匪夷所思，看个 GIF 就明白它的作用了（为清晰起见，这棵树比较极端）：
用语言描述就是，每次 while 循环都会把一对儿父子节点改到同一层，这样每次调用 `find` 函数向树根遍历的同时，顺手就将树高缩短了。
路径压缩的第二种写法是这样：
```java
// 第二种路径压缩的 find 方法
public int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
```
我一度认为这种递归写法和第一种迭代写法做的事情一样，但实际上是我大意了，有读者指出这种写法进行路径压缩的效率是高于上一种解法的。
这个递归过程有点不好理解，你可以自己手画一下递归过程。我把这个函数做的事情翻译成迭代形式，方便你理解它进行路径压缩的原理：
```java
// 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
public int find(int x) {
// 先找到根节点
int root = x;
while (parent[root] != root) {
root = parent[root];
}
// 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
int old_parent = parent[x];
while (x != root) {
parent[x] = root;
x = old_parent;
old_parent = parent[old_parent];
}
return root;
}
```
这种路径压缩的效果如下：
比起第一种路径压缩，显然这种方法压缩得更彻底，直接把一整条树枝压平，一点意外都没有。就算一些极端情况下产生了一棵比较高的树，只要一次路径压缩就能大幅降低树高，从 [摊还分析](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=时间复杂度) 的角度来看，所有操作的平均时间复杂度依然是 O(1)，所以从效率的角度来说，推荐你使用这种路径压缩算法。
**另外，如果使用路径压缩技巧，那么 `size` 数组的平衡优化就不是特别必要了**。所以你一般看到的 Union Find 算法应该是如下实现：
```java
class UF {
// 连通分量个数
private int count;
// 存储每个节点的父节点
private int[] parent;
// n 为图中节点的个数
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
}
}
// 将节点 p 和节点 q 连通
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
parent[rootQ] = rootP;
// 两个连通分量合并成一个连通分量
count--;
}
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
public int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
// 返回图中的连通分量个数
public int count() {
return count;
}
}
```
Union-Find 算法的复杂度可以这样分析：构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度；连通两个节点 `union`、判断两个节点的连通性 `connected`、计算连通分量 `count` 所需的时间复杂度均为 O(1)。
到这里，相信你已经掌握了 Union-Find 算法的核心逻辑，总结一下我们优化算法的过程：
1、用 `parent` 数组记录每个节点的父节点，相当于指向父节点的指针，所以 `parent` 数组内实际存储着一个森林（若干棵多叉树）。
2、用 `size` 数组记录着每棵树的重量，目的是让 `union` 后树依然拥有平衡性，保证各个 API 时间复杂度为 O(logN)，而不会退化成链表影响操作效率。
3、在 `find` 函数中进行路径压缩，保证任意树的高度保持在常数，使得各个 API 时间复杂度为 O(1)。使用了路径压缩之后，可以不使用 `size` 数组的平衡优化。
下面我们看一些具体的并查集题目。
### 题目实践
力扣第 323 题「无向图中连通分量的数目」就是最基本的连通分量题目：
给你输入一个包含 `n` 个节点的图，用一个整数 `n` 和一个数组 `edges` 表示，其中 `edges[i] = [ai, bi]` 表示图中节点 `ai` 和 `bi` 之间有一条边。请你计算这幅图的连通分量个数。
函数签名如下：
```java
int countComponents(int n, int[][] edges)
```
这道题我们可以直接套用 `UF` 类来解决：
```java
public int countComponents(int n, int[][] edges) {
UF uf = new UF(n);
// 将每个节点进行连通
for (int[] e : edges) {
uf.union(e[0], e[1]);
}
// 返回连通分量的个数
return uf.count();
}
class UF {
// 见上文
}
```
**另外，一些使用 DFS 深度优先算法解决的问题，也可以用 Union-Find 算法解决**。
比如力扣第 130 题「被围绕的区域」：
给你一个 M×N 的二维矩阵，其中包含字符 `X` 和 `O`，让你找到矩阵中**四面**被 `X` 围住的 `O`，并且把它们替换成 `X`。
```java
void solve(char[][] board);
```
注意哦，必须是四面被围的 `O` 才能被换成 `X`，也就是说边角上的 `O` 一定不会被围，进一步，与边角上的 `O` 相连的 `O` 也不会被 `X` 围四面，也不会被替换。
> PS：这让我想起小时候玩的棋类游戏「黑白棋」，只要你用两个棋子把对方的棋子夹在中间，对方的子就被替换成你的子。可见，占据四角的棋子是无敌的，与其相连的边棋子也是无敌的（无法被夹掉）。
其实这个问题应该归为 [岛屿系列问题](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=岛屿题目) 使用 DFS 算法解决：
先用 for 循环遍历棋盘的**四边**，用 DFS 算法把那些与边界相连的 `O` 换成一个特殊字符，比如 `#`；然后再遍历整个棋盘，把剩下的 `O` 换成 `X`，把 `#` 恢复成 `O`。这样就能完成题目的要求，时间复杂度 O(MN)。
但这个问题也可以用 Union-Find 算法解决，虽然实现复杂一些，甚至效率也略低，但这是使用 Union-Find 算法的通用思想，值得一学。
**你可以把那些不需要被替换的 `O` 看成一个拥有独门绝技的门派，它们有一个共同「祖师爷」叫 `dummy`，这些 `O` 和 `dummy` 互相连通，而那些需要被替换的 `O` 与 `dummy` 不连通**。
这就是 Union-Find 的核心思路，明白这个图，就很容易看懂代码了。
首先要解决的是，根据我们的实现，Union-Find 底层用的是一维数组，构造函数需要传入这个数组的大小，而题目给的是一个二维棋盘。
这个很简单，二维坐标 `(x,y)` 可以转换成 `x * n + y` 这个数（`m` 是棋盘的行数，`n` 是棋盘的列数），**敲黑板，这是将二维坐标映射到一维的常用技巧**。
其次，我们之前描述的「祖师爷」是虚构的，需要给他老人家留个位置。索引 `[0.. m*n-1]` 都是棋盘内坐标的一维映射，那就让这个虚拟的 `dummy` 节点占据索引 `m * n` 好了。
看解法代码：
```java
void solve(char[][] board) {
if (board.length == 0) return;
int m = board.length;
int n = board[0].length;
// 给 dummy 留一个额外位置
UF uf = new UF(m * n + 1);
int dummy = m * n;
// 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (board[i][0] == 'O')
uf.union(i * n, dummy);
if (board[i][n - 1] == 'O')
uf.union(i * n + n - 1, dummy);
}
// 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (board[0][j] == 'O')
uf.union(j, dummy);
if (board[m - 1][j] == 'O')
uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
}
// 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
int[][] d = new int[][]{{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (board[i][j] == 'O')
// 将此 O 与上下左右的 O 连通
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + d[k][0];
int y = j + d[k][1];
if (board[x][y] == 'O')
uf.union(x * n + y, i * n + j);
}
// 所有不和 dummy 连通的 O，都要被替换
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
board[i][j] = 'X';
}
class UF {
// 见上文
}
```
这段代码很长，其实就是刚才的思路实现，只有和边界 `O` 相连的 `O` 才具有和 `dummy` 的连通性，他们不会被替换。
其实用 Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀，它可以解决更复杂，更具有技巧性的问题，**主要思路是适时增加虚拟节点，想办法让元素「分门别类」，建立动态连通关系**。
力扣第 990 题「等式方程的可满足性」用 Union-Find 算法就显得十分优美了，题目是这样：
给你一个数组 `equations`，装着若干字符串表示的算式。每个算式 `equations[i]` 长度都是 4，而且只有这两种情况：`a==b` 或者 `a!=b`，其中 `a,b` 可以是任意小写字母。你写一个算法，如果 `equations` 中所有算式都不会互相冲突，返回 true，否则返回 false。
比如说，输入 `["a==b","b!=c","c==a"]`，算法返回 false，因为这三个算式不可能同时正确。
再比如，输入 `["c==c","b==d","x!=z"]`，算法返回 true，因为这三个算式并不会造成逻辑冲突。
我们前文说过，动态连通性其实就是一种等价关系，具有「自反性」「传递性」和「对称性」，其实 `==` 关系也是一种等价关系，具有这些性质。所以这个问题用 Union-Find 算法就很自然。
**核心思想是，将 `equations` 中的算式根据 `==` 和 `!=` 分成两部分，先处理 `==` 算式，使得他们通过相等关系各自勾结成门派（连通分量）；然后处理 `!=` 算式，检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性**。
```java
boolean equationsPossible(String[] equations) {
// 26 个英文字母
UF uf = new UF(26);
// 先让相等的字母形成连通分量
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '=') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
uf.union(x - 'a', y - 'a');
}
}
// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '!') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
// 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))
return false;
}
}
return true;
}
class UF {
// 见上文
}
```
至此，这道判断算式合法性的问题就解决了，借助 Union-Find 算法，是不是很简单呢？
最后，Union-Find 算法也会在一些其他经典图论算法中用到，比如判断「图」和「树」，以及最小生成树的计算，详情见 [Kruskal 最小生成树算法](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=kruskal)。
引用本文的文章
- [Dijkstra 算法模板及应用](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=dijkstra算法)
- [Kruskal 最小生成树算法](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=kruskal)
- [Prim 最小生成树算法](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=prim算法)
- [一文秒杀所有岛屿题目](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=岛屿题目)
- [二分图判定算法](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=二分图)
- [我的刷题心得](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=算法心得)
- [用算法打败算法 ](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=PDF中的算法)
引用本文的题目
安装 [我的 Chrome 刷题插件](https://mp.weixin.qq.com/s/X-fE9sR4BLi6T9pn7xP4pg) 点开下列题目可直接查看解题思路：
| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| [1361. Validate Binary Tree Nodes](https://leetcode.com/problems/validate-binary-tree-nodes/?show=1) | [1361. 验证二叉树](https://leetcode.cn/problems/validate-binary-tree-nodes/?show=1) |
| [200. Number of Islands](https://leetcode.com/problems/number-of-islands/?show=1) | [200. 岛屿数量](https://leetcode.cn/problems/number-of-islands/?show=1) |
| [261. Graph Valid Tree](https://leetcode.com/problems/graph-valid-tree/?show=1)🔒 | [261. 以图判树](https://leetcode.cn/problems/graph-valid-tree/?show=1)🔒 |
| [765. Couples Holding Hands](https://leetcode.com/problems/couples-holding-hands/?show=1) | [765. 情侣牵手](https://leetcode.cn/problems/couples-holding-hands/?show=1) |
**＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿**
**《labuladong 的算法小抄》已经出版，关注公众号查看详情；后台回复关键词「**进群**」可加入算法群；回复「**全家桶**」可下载配套 PDF 和刷题全家桶**：
======其他语言代码======
### javascript
```js
class UF {
// 记录连通分量
count;
// 节点 x 的根节点是 parent[x]
parent;
constructor(n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
// 父节点指针初始指向自己
this.parent = new Array(n);
for (let i = 0; i < n; i++)
this.parent[i] = i;
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
find(x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (this.parent[x] !== x)
x = this.parent[x];
return x;
}
/* 将 p 和 q 连接 */
union(p, q) {
// 如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）
// 一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上
let rootP = this.find(p);
let rootQ = this.find(q);
if (rootP === rootQ) return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
count--; // 两个分量合二为一
}
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
connected(p, q) {
let rootP = this.find(p);
let rootQ = this.find(q);
return rootP === rootQ;
};
/* 返回图中有多少个连通分量 */
getCount() {
return this.count;
};
}
```
引入size属性，更好地平衡森林。
```js
class UF {
// 记录连通分量
count;
// 节点 x 的根节点是 parent[x]
parent;
// 记录树的“重量”
size;
constructor(n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
// 父节点指针初始指向自己
this.parent = new Array(n);
this.size = new Array(n);
for (let i = 0; i < n; i++) {
this.parent[i] = i;
this.size[i] = 1;
}
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
find(x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (this.parent[x] !== x) {
// 进行路径压缩
this.parent[x] = this.parent[this.parent[x]];
x = this.parent[x];
}
return x;
}
/* 将 p 和 q 连接 */
union(p, q) {
// 如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）
// 一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上
let rootP = this.find(p);
let rootQ = this.find(q);
if (rootP === rootQ) return;
// 小树接到大树下面，较平衡
if (this.size[rootP] > this.size[rootQ]) {
this.parent[rootQ] = rootP;
this.size[rootP] += this.size[rootQ];
} else {
this.parent[rootP] = rootQ;
this.size[rootQ] += this.size[rootP];
}
this.count--; // 两个分量合二为一
}
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
connected(p, q) {
let rootP = this.find(p);
let rootQ = this.find(q);
return rootP === rootQ;
};
/* 返回图中有多少个连通分量 */
getCount() {
return this.count;
};
}
```
