# 滑动窗口算法框架
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
| :----: | :----: | :----: |
| [3. Longest Substring Without Repeating Characters](https://leetcode.com/problems/longest-substring-without-repeating-characters/) | [3. 无重复字符的最长子串](https://leetcode.cn/problems/longest-substring-without-repeating-characters/) | 🟠
| [438. Find All Anagrams in a String](https://leetcode.com/problems/find-all-anagrams-in-a-string/) | [438. 找到字符串中所有字母异位词](https://leetcode.cn/problems/find-all-anagrams-in-a-string/) | 🟠
| [567. Permutation in String](https://leetcode.com/problems/permutation-in-string/) | [567. 字符串的排列](https://leetcode.cn/problems/permutation-in-string/) | 🟠
| [76. Minimum Window Substring](https://leetcode.com/problems/minimum-window-substring/) | [76. 最小覆盖子串](https://leetcode.cn/problems/minimum-window-substring/) | 🔴
| - | [剑指 Offer 48. 最长不含重复字符的子字符串](https://leetcode.cn/problems/zui-chang-bu-han-zhong-fu-zi-fu-de-zi-zi-fu-chuan-lcof/) | 🟠
| - | [剑指 Offer II 014. 字符串中的变位词](https://leetcode.cn/problems/MPnaiL/) | 🟠
| - | [剑指 Offer II 015. 字符串中的所有变位词](https://leetcode.cn/problems/VabMRr/) | 🟠
| - | [剑指 Offer II 016. 不含重复字符的最长子字符串](https://leetcode.cn/problems/wtcaE1/) | 🟠
| - | [剑指 Offer II 017. 含有所有字符的最短字符串](https://leetcode.cn/problems/M1oyTv/) | 🔴
**-----------**
> 本文有视频版：[滑动窗口算法核心模板框架](https://www.bilibili.com/video/BV1AV4y1n7Zt/)
鉴于前文 [二分搜索框架详解](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=二分查找详解) 的那首《二分搜索升天词》很受好评，并在民间广为流传，成为安睡助眠的一剂良方，今天在滑动窗口算法框架中，我再次编写一首小诗来歌颂滑动窗口算法的伟大（手动狗头）：
哈哈，我自己快把自己夸上天了，大家乐一乐就好，不要当真：）
关于双指针的快慢指针和左右指针的用法，可以参见前文 [双指针技巧汇总](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=双指针技巧)，本文就解决一类最难掌握的双指针技巧：滑动窗口技巧。总结出一套框架，可以保你闭着眼睛都能写出正确的解法。
说起滑动窗口算法，很多读者都会头疼。这个算法技巧的思路非常简单，就是维护一个窗口，不断滑动，然后更新答案么。LeetCode 上有起码 10 道运用滑动窗口算法的题目，难度都是中等和困难。该算法的大致逻辑如下：
```cpp
int left = 0, right = 0;
while (right < s.size()) {
// 增大窗口
window.add(s[right]);
right++;
while (window needs shrink) {
// 缩小窗口
window.remove(s[left]);
left++;
}
}
```
这个算法技巧的时间复杂度是 O(N)，比字符串暴力算法要高效得多。
其实困扰大家的，不是算法的思路，而是各种细节问题。比如说如何向窗口中添加新元素，如何缩小窗口，在窗口滑动的哪个阶段更新结果。即便你明白了这些细节，也容易出 bug，找 bug 还不知道怎么找，真的挺让人心烦的。
**所以今天我就写一套滑动窗口算法的代码框架，我连再哪里做输出 debug 都给你写好了，以后遇到相关的问题，你就默写出来如下框架然后改三个地方就行，还不会出 bug**：
```cpp
/* 滑动窗口算法框架 */
void slidingWindow(string s) {
unordered_map window;
int left = 0, right = 0;
while (right < s.size()) {
// c 是将移入窗口的字符
char c = s[right];
// 增大窗口
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
...
/*** debug 输出的位置 ***/
// 注意在最终的解法代码中不要 print
// 因为 IO 操作很耗时，可能导致超时
printf("window: [%d, %d)\n", left, right);
/********************/
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (window needs shrink) {
// d 是将移出窗口的字符
char d = s[left];
// 缩小窗口
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
...
}
}
}
```
**其中两处 `...` 表示的更新窗口数据的地方，到时候你直接往里面填就行了**。
而且，这两个 `...` 处的操作分别是扩大和缩小窗口的更新操作，等会你会发现它们操作是完全对称的。
另外，虽然滑动窗口代码框架中有一个嵌套的 while 循环，但算法的时间复杂度依然是 `O(N)`，其中 `N` 是输入字符串/数组的长度。
为什么呢？简单说，字符串/数组中的每个元素都只会进入窗口一次，然后被移出窗口一次，不会说有某些元素多次进入和离开窗口，所以算法的时间复杂度就和字符串/数组的长度成正比。前文 [算法时空复杂度分析实用指南](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=时间复杂度) 有具体讲时间复杂度的估算，这里就不展开了。
说句题外话，我发现很多人喜欢执着于表象，不喜欢探求问题的本质。比如说有很多人评论我这个框架，说什么散列表速度慢，不如用数组代替散列表；还有很多人喜欢把代码写得特别短小，说我这样代码太多余，影响编译速度，LeetCode 上速度不够快。
我的意见是，算法主要看时间复杂度，你能确保自己的时间复杂度最优就行了。至于 LeetCode 所谓的运行速度，那个都是玄学，只要不是慢的离谱就没啥问题，根本不值得你从编译层面优化，不要舍本逐末……
我的公众号重点在于算法思想，你把框架思维了然于心，然后随你魔改代码好吧，你高兴就好。
言归正传，下面就直接上**四道**力扣原题来套这个框架，其中第一道题会详细说明其原理，后面四道就直接闭眼睛秒杀了。
因为滑动窗口很多时候都是在处理字符串相关的问题，而 Java 处理字符串不方便，所以本文代码为 C++ 实现。不会用到什么编程语言层面的奇技淫巧，但是还是简单介绍一下一些用到的数据结构，以免有的读者因为语言的细节问题阻碍对算法思想的理解：
`unordered_map` 就是哈希表（字典），相当于 Java 的 `HashMap`，它的一个方法 `count(key)` 相当于 Java 的 `containsKey(key)` 可以判断键 key 是否存在。
可以使用方括号访问键对应的值 `map[key]`。需要注意的是，如果该 `key` 不存在，C++ 会自动创建这个 key，并把 `map[key]` 赋值为 0。所以代码中多次出现的 `map[key]++` 相当于 Java 的 `map.put(key, map.getOrDefault(key, 0) + 1)`。
另外，Java 中的 Integer 和 String 这种包装类不能直接用 `==` 进行相等判断，而应该使用类的 `equals` 方法，这个语言特性坑了不少读者，在代码部分我会给出具体提示。
### 一、最小覆盖子串
先来看看力扣第 76 题「最小覆盖子串」难度 Hard：
就是说要在 `S`(source) 中找到包含 `T`(target) 中全部字母的一个子串，且这个子串一定是所有可能子串中最短的。
如果我们使用暴力解法，代码大概是这样的：
```java
for (int i = 0; i < s.size(); i++)
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++)
if s[i:j] 包含 t 的所有字母:
更新答案
```
思路很直接，但是显然，这个算法的复杂度肯定大于 O(N^2) 了，不好。
**滑动窗口算法的思路是这样**：
1、我们在字符串 `S` 中使用双指针中的左右指针技巧，初始化 `left = right = 0`，把索引**左闭右开**区间 `[left, right)` 称为一个「窗口」。
> PS：理论上你可以设计两端都开或者两端都闭的区间，但设计为左闭右开区间是最方便处理的。因为这样初始化 `left = right = 0` 时区间 `[0, 0)` 中没有元素，但只要让 `right` 向右移动（扩大）一位，区间 `[0, 1)` 就包含一个元素 `0` 了。如果你设置为两端都开的区间，那么让 `right` 向右移动一位后开区间 `(0, 1)` 仍然没有元素；如果你设置为两端都闭的区间，那么初始区间 `[0, 0]` 就包含了一个元素。这两种情况都会给边界处理带来不必要的麻烦。
2、我们先不断地增加 `right` 指针扩大窗口 `[left, right)`，直到窗口中的字符串符合要求（包含了 `T` 中的所有字符）。
3、此时，我们停止增加 `right`，转而不断增加 `left` 指针缩小窗口 `[left, right)`，直到窗口中的字符串不再符合要求（不包含 `T` 中的所有字符了）。同时，每次增加 `left`，我们都要更新一轮结果。
4、重复第 2 和第 3 步，直到 `right` 到达字符串 `S` 的尽头。
这个思路其实也不难，**第 2 步相当于在寻找一个「可行解」，然后第 3 步在优化这个「可行解」，最终找到最优解**，也就是最短的覆盖子串。左右指针轮流前进，窗口大小增增减减，窗口不断向右滑动，这就是「滑动窗口」这个名字的来历。
下面画图理解一下，`needs` 和 `window` 相当于计数器，分别记录 `T` 中字符出现次数和「窗口」中的相应字符的出现次数。
初始状态：
增加 `right`，直到窗口 `[left, right)` 包含了 `T` 中所有字符：
现在开始增加 `left`，缩小窗口 `[left, right)`：
直到窗口中的字符串不再符合要求，`left` 不再继续移动：
之后重复上述过程，先移动 `right`，再移动 `left`…… 直到 `right` 指针到达字符串 `S` 的末端，算法结束。
如果你能够理解上述过程，恭喜，你已经完全掌握了滑动窗口算法思想。**现在我们来看看这个滑动窗口代码框架怎么用**：
首先，初始化 `window` 和 `need` 两个哈希表，记录窗口中的字符和需要凑齐的字符：
```cpp
unordered_map need, window;
for (char c : t) need[c]++;
```
然后，使用 `left` 和 `right` 变量初始化窗口的两端，不要忘了，区间 `[left, right)` 是左闭右开的，所以初始情况下窗口没有包含任何元素：
```cpp
int left = 0, right = 0;
int valid = 0;
while (right < s.size()) {
// 开始滑动
}
```
**其中 `valid` 变量表示窗口中满足 `need` 条件的字符个数**，如果 `valid` 和 `need.size` 的大小相同，则说明窗口已满足条件，已经完全覆盖了串 `T`。
**现在开始套模板，只需要思考以下几个问题**：
1、什么时候应该移动 `right` 扩大窗口？窗口加入字符时，应该更新哪些数据？
2、什么时候窗口应该暂停扩大，开始移动 `left` 缩小窗口？从窗口移出字符时，应该更新哪些数据？
3、我们要的结果应该在扩大窗口时还是缩小窗口时进行更新？
如果一个字符进入窗口，应该增加 `window` 计数器；如果一个字符将移出窗口的时候，应该减少 `window` 计数器；当 `valid` 满足 `need` 时应该收缩窗口；应该在收缩窗口的时候更新最终结果。
下面是完整代码：
```cpp
string minWindow(string s, string t) {
unordered_map need, window;
for (char c : t) need[c]++;
int left = 0, right = 0;
int valid = 0;
// 记录最小覆盖子串的起始索引及长度
int start = 0, len = INT_MAX;
while (right < s.size()) {
// c 是将移入窗口的字符
char c = s[right];
// 扩大窗口
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(c)) {
window[c]++;
if (window[c] == need[c])
valid++;
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (valid == need.size()) {
// 在这里更新最小覆盖子串
if (right - left < len) {
start = left;
len = right - left;
}
// d 是将移出窗口的字符
char d = s[left];
// 缩小窗口
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(d)) {
if (window[d] == need[d])
valid--;
window[d]--;
}
}
}
// 返回最小覆盖子串
return len == INT_MAX ?
"" : s.substr(start, len);
}
```
> PS：使用 Java 的读者要尤其警惕语言特性的陷阱。Java 的 Integer，String 等类型判定相等应该用 `equals` 方法而不能直接用等号 `==`，这是 Java 包装类的一个隐晦细节。所以在缩小窗口更新数据的时候，不能直接改写为 `window.get(d) == need.get(d)`，而要用 `window.get(d).equals(need.get(d))`，之后的题目代码同理。
需要注意的是，当我们发现某个字符在 `window` 的数量满足了 `need` 的需要，就要更新 `valid`，表示有一个字符已经满足要求。而且，你能发现，两次对窗口内数据的更新操作是完全对称的。
当 `valid == need.size()` 时，说明 `T` 中所有字符已经被覆盖，已经得到一个可行的覆盖子串，现在应该开始收缩窗口了，以便得到「最小覆盖子串」。
移动 `left` 收缩窗口时，窗口内的字符都是可行解，所以应该在收缩窗口的阶段进行最小覆盖子串的更新，以便从可行解中找到长度最短的最终结果。
至此，应该可以完全理解这套框架了，滑动窗口算法又不难，就是细节问题让人烦得很。**以后遇到滑动窗口算法，你就按照这框架写代码，保准没有 bug，还省事儿**。
下面就直接利用这套框架秒杀几道题吧，你基本上一眼就能看出思路了。
### 二、字符串排列
这是力扣第 567 题「字符串的排列」，难度中等：
注意哦，输入的 `s1` 是可以包含重复字符的，所以这个题难度不小。
这种题目，是明显的滑动窗口算法，**相当给你一个 `S` 和一个 `T`，请问你 `S` 中是否存在一个子串，包含 `T` 中所有字符且不包含其他字符**？
首先，先复制粘贴之前的算法框架代码，然后明确刚才提出的几个问题，即可写出这道题的答案：
```cpp
// 判断 s 中是否存在 t 的排列
bool checkInclusion(string t, string s) {
unordered_map need, window;
for (char c : t) need[c]++;
int left = 0, right = 0;
int valid = 0;
while (right < s.size()) {
char c = s[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(c)) {
window[c]++;
if (window[c] == need[c])
valid++;
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (right - left >= t.size()) {
// 在这里判断是否找到了合法的子串
if (valid == need.size())
return true;
char d = s[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(d)) {
if (window[d] == need[d])
valid--;
window[d]--;
}
}
}
// 未找到符合条件的子串
return false;
}
```
对于这道题的解法代码，基本上和最小覆盖子串一模一样，只需要改变几个地方：
1、本题移动 `left` 缩小窗口的时机是窗口大小大于 `t.size()` 时，因为排列嘛，显然长度应该是一样的。
2、当发现 `valid == need.size()` 时，就说明窗口中就是一个合法的排列，所以立即返回 `true`。
至于如何处理窗口的扩大和缩小，和最小覆盖子串完全相同。
> PS：由于这道题中 `[left, right)` 其实维护的是一个**定长**的窗口，窗口大小为 `t.size()`。因为定长窗口每次向前滑动时只会移出一个字符，所以可以把内层的 while 改成 if，效果是一样的。
### 三、找所有字母异位词
这是力扣第 438 题「找到字符串中所有字母异位词」，难度中等：
呵呵，这个所谓的字母异位词，不就是排列吗，搞个高端的说法就能糊弄人了吗？**相当于，输入一个串 `S`，一个串 `T`，找到 `S` 中所有 `T` 的排列，返回它们的起始索引**。
直接默写一下框架，明确刚才讲的 4 个问题，即可秒杀这道题：
```cpp
vector findAnagrams(string s, string t) {
unordered_map need, window;
for (char c : t) need[c]++;
int left = 0, right = 0;
int valid = 0;
vector res; // 记录结果
while (right < s.size()) {
char c = s[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(c)) {
window[c]++;
if (window[c] == need[c])
valid++;
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (right - left >= t.size()) {
// 当窗口符合条件时，把起始索引加入 res
if (valid == need.size())
res.push_back(left);
char d = s[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need.count(d)) {
if (window[d] == need[d])
valid--;
window[d]--;
}
}
}
return res;
}
```
跟寻找字符串的排列一样，只是找到一个合法异位词（排列）之后将起始索引加入 `res` 即可。
### 四、最长无重复子串
这是力扣第 3 题「无重复字符的最长子串」，难度中等：
这个题终于有了点新意，不是一套框架就出答案，不过反而更简单了，稍微改一改框架就行了：
```cpp
int lengthOfLongestSubstring(string s) {
unordered_map window;
int left = 0, right = 0;
int res = 0; // 记录结果
while (right < s.size()) {
char c = s[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
window[c]++;
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (window[c] > 1) {
char d = s[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
window[d]--;
}
// 在这里更新答案
res = max(res, right - left);
}
return res;
}
```
这就是变简单了，连 `need` 和 `valid` 都不需要，而且更新窗口内数据也只需要简单的更新计数器 `window` 即可。
当 `window[c]` 值大于 1 时，说明窗口中存在重复字符，不符合条件，就该移动 `left` 缩小窗口了嘛。
唯一需要注意的是，在哪里更新结果 `res` 呢？我们要的是最长无重复子串，哪一个阶段可以保证窗口中的字符串是没有重复的呢？
这里和之前不一样，要在收缩窗口完成后更新 `res`，因为窗口收缩的 while 条件是存在重复元素，换句话说收缩完成后一定保证窗口中没有重复嘛。
好了，滑动窗口算法模板就讲到这里，希望大家能理解其中的思想，记住算法模板并融会贯通。回顾一下，遇到子数组/子串相关的问题，你只要能回答出来以下几个问题，就能运用滑动窗口算法：
1、什么时候应该扩大窗口？
2、什么时候应该缩小窗口？
3、什么时候应该更新答案？
我在 [滑动窗口经典习题](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_62b57985e4b00a4f371dd705/1) 中使用这套思维模式列举了更多经典的习题，旨在强化你对算法的理解和记忆，以后就再也不怕子串、子数组问题了。
引用本文的文章
- [分治算法详解：运算优先级](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=分治算法)
- [动态规划设计：最大子数组](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最大子数组)
- [单调队列的通用实现及经典习题](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_62a692efe4b01a48520b9b9b/1)
- [单调队列结构解决滑动窗口问题](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=单调队列)
- [双指针技巧秒杀七道数组题目](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=双指针技巧)
- [归并排序详解及应用](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=归并排序)
- [我的刷题心得](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=算法心得)
- [滑动窗口算法延伸：Rabin Karp 字符匹配算法](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=rabinkarp)
- [滑动窗口算法经典习题](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_62b57985e4b00a4f371dd705/1)
- [算法时空复杂度分析实用指南](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=时间复杂度)
引用本文的题目
安装 [我的 Chrome 刷题插件](https://mp.weixin.qq.com/s/X-fE9sR4BLi6T9pn7xP4pg) 点开下列题目可直接查看解题思路：
| LeetCode | 力扣 |
| :----: | :----: |
| [1004. Max Consecutive Ones III](https://leetcode.com/problems/max-consecutive-ones-iii/?show=1) | [1004. 最大连续1的个数 III](https://leetcode.cn/problems/max-consecutive-ones-iii/?show=1) |
| [1438. Longest Continuous Subarray With Absolute Diff Less Than or Equal to Limit](https://leetcode.com/problems/longest-continuous-subarray-with-absolute-diff-less-than-or-equal-to-limit/?show=1) | [1438. 绝对差不超过限制的最长连续子数组](https://leetcode.cn/problems/longest-continuous-subarray-with-absolute-diff-less-than-or-equal-to-limit/?show=1) |
| [1658. Minimum Operations to Reduce X to Zero](https://leetcode.com/problems/minimum-operations-to-reduce-x-to-zero/?show=1) | [1658. 将 x 减到 0 的最小操作数](https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-reduce-x-to-zero/?show=1) |
| [209. Minimum Size Subarray Sum](https://leetcode.com/problems/minimum-size-subarray-sum/?show=1) | [209. 长度最小的子数组](https://leetcode.cn/problems/minimum-size-subarray-sum/?show=1) |
| [219. Contains Duplicate II](https://leetcode.com/problems/contains-duplicate-ii/?show=1) | [219. 存在重复元素 II](https://leetcode.cn/problems/contains-duplicate-ii/?show=1) |
| [220. Contains Duplicate III](https://leetcode.com/problems/contains-duplicate-iii/?show=1) | [220. 存在重复元素 III](https://leetcode.cn/problems/contains-duplicate-iii/?show=1) |
| [395. Longest Substring with At Least K Repeating Characters](https://leetcode.com/problems/longest-substring-with-at-least-k-repeating-characters/?show=1) | [395. 至少有 K 个重复字符的最长子串](https://leetcode.cn/problems/longest-substring-with-at-least-k-repeating-characters/?show=1) |
| [424. Longest Repeating Character Replacement](https://leetcode.com/problems/longest-repeating-character-replacement/?show=1) | [424. 替换后的最长重复字符](https://leetcode.cn/problems/longest-repeating-character-replacement/?show=1) |
| [713. Subarray Product Less Than K](https://leetcode.com/problems/subarray-product-less-than-k/?show=1) | [713. 乘积小于K的子数组](https://leetcode.cn/problems/subarray-product-less-than-k/?show=1) |
| [862. Shortest Subarray with Sum at Least K](https://leetcode.com/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/?show=1) | [862. 和至少为 K 的最短子数组](https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/?show=1) |
| - | [剑指 Offer 48. 最长不含重复字符的子字符串](https://leetcode.cn/problems/zui-chang-bu-han-zhong-fu-zi-fu-de-zi-zi-fu-chuan-lcof/?show=1) |
| - | [剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列](https://leetcode.cn/problems/he-wei-sde-lian-xu-zheng-shu-xu-lie-lcof/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 009. 乘积小于 K 的子数组](https://leetcode.cn/problems/ZVAVXX/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 014. 字符串中的变位词](https://leetcode.cn/problems/MPnaiL/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 015. 字符串中的所有变位词](https://leetcode.cn/problems/VabMRr/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 016. 不含重复字符的最长子字符串](https://leetcode.cn/problems/wtcaE1/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 017. 含有所有字符的最短字符串](https://leetcode.cn/problems/M1oyTv/?show=1) |
| - | [剑指 Offer II 057. 值和下标之差都在给定的范围内](https://leetcode.cn/problems/7WqeDu/?show=1) |
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