# 矩阵分解

矩阵分解（Matrix Factorization，MF）是推荐系统文献中公认的一种算法。最初版本的矩阵分解模型由Simon Funk发表在一篇非常知名的[博文](https://sifter.org/~simon/journal/20061211.html)中，他在这篇博文描述了分解矩阵的想法。随后，由于2006年举办的Netflix竞赛，该模型变得广为人知。那时，流媒体和视频租赁公司Netflix为了增进其推荐系统的性能而举办了一项比赛。如果最佳团队（例如Cinematch）能够将Netflix的基线提高10%，那么他们将赢得100万美元的奖励。这一比赛在推荐系统领域引起了广泛的关注。随后，BellKor's Pragmatic Chaos团队（一个由BellKor、Pragmatic Theory和BigChaos混合组成的团队）赢得了这一大奖。尽管他们的最终评分来自一个集成解决方案，矩阵分解算法仍在其中起到了关键作用。Netflix Grand Prize的技术报告:cite:`Toscher.Jahrer.Bell.2009`详细解释了该方案所采用的模型。在本节中，我们将深入研究矩阵分解模型的细节和实现过程。

## 矩阵分解模型

矩阵分解是一种协同过滤模型。具体来说，该模型将用户-物品交互矩阵（例如评分矩阵）分解为两个低秩矩阵的乘积，从而得到用户和物品的低秩架构。

使用$\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{m \times n}$表示具有$m$个用户和$n$个物品的交互矩阵，矩阵$\mathbf{R}$的数值表示显式评分。用户-物品交互矩阵将被分解成用户潜矩阵$\mathbf{P} \in \mathbb{R}^{m \times k}$和物品潜矩阵$\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{n \times k}$。其中，表示潜因子尺寸的$k \ll m, n$。使用$\mathbf{p}_u$表示矩阵$\mathbf{P}$的第$u$行，同时使用$\mathbf{q}_i$表示矩阵$\mathbf{Q}$的第$i$行。对于某一物品$i$，$\mathbf{q}_i$中的数值衡量了特征（例如电影风格和语言等）的大小。对于某一用户$u$，$\mathbf{p}_u$中的数值衡量他对物品相应特征的感兴趣程度。这些潜因子可能代表了之前提到的一些维度，但同时它们也可能是完全无法理解的。 用户对物品的预测评分可以通过下式计算：

$$\hat{\mathbf{R}} = \mathbf{PQ}^\top$$

上式中的$\hat{\mathbf{R}}\in \mathbb{R}^{m \times n}$表示预测评分矩阵，它的形状和真实评分矩阵$\mathbf{R}$是一致的。这种预测方式的主要问题是无法建模表示用户和物品的偏置。例如，有一些用户倾向于给出较高的评分，而有一些物品由于质量较差得到的评分普遍较低。这类偏置在实际应用中很常见。为了表示这种偏置，我们在此处引入了用户偏置和物品偏置。具体来说，用户$u$对物品$i$的评分由下式计算得到。

$$
\hat{\mathbf{R}}_{ui} = \mathbf{p}_u\mathbf{q}^\top_i + b_u + b_i
$$

然后，我们通过减少预测评分和实际评分的均方误差来训练矩阵分解模型。目标函数如下所示：

$$
\underset{\mathbf{P}, \mathbf{Q}, b}{\mathrm{argmin}} \sum_{(u, i) \in \mathcal{K}} \| \mathbf{R}_{ui} -
\hat{\mathbf{R}}_{ui} \|^2 + \lambda (\| \mathbf{P} \|^2_F + \| \mathbf{Q}
\|^2_F + b_u^2 + b_i^2 )
$$

上式中的$\lambda$表示正则化率。通过惩罚参数大小，正则化公式$\lambda (\| \mathbf{P} \|^2_F + \| \mathbf{Q}
\|^2_F + b_u^2 + b_i^2 )$被用来规避过拟合问题。已知$\mathbf{R}_{ui}$的$(u, i)$对储存在集合$\mathcal{K}=\{(u, i) \mid \mathbf{R}_{ui} \text{ is known}\}$当中。模型参数可以通过优化算法（例如随机梯度下降法和Adam）学习得到。

矩阵分解模型的直观示意图如下所示：

![矩阵分解模型的图示](../img/rec-mf.svg)

在本节的最后，我们将解释矩阵分解模型的实现过程，并使用MovieLens数据集训练模型。

```python
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import autograd, gluon, np, npx
from mxnet.gluon import nn
import mxnet as mx
npx.set_np()
```

## 模型实现

首先，我们按照上述描述实现矩阵分解模型。用户和物品的潜因子可以通过`nn.Embedding`构造。`input_dim`为用户和物品的数量，而`output_dim`为潜因子$k$的维度。将`output_dim`设置为1后，我们也可以使用`nn.Embedding`构造用户和物品的偏置量。在`forward`函数中，用户和物品的id被用于索引嵌入向量。

```python
class MF(nn.Block):
    def __init__(self, num_factors, num_users, num_items, **kwargs):
        super(MF, self).__init__(**kwargs)
        self.P = nn.Embedding(input_dim=num_users, output_dim=num_factors)
        self.Q = nn.Embedding(input_dim=num_items, output_dim=num_factors)
        self.user_bias = nn.Embedding(num_users, 1)
        self.item_bias = nn.Embedding(num_items, 1)

    def forward(self, user_id, item_id):
        P_u = self.P(user_id)
        Q_i = self.Q(item_id)
        b_u = self.user_bias(user_id)
        b_i = self.item_bias(item_id)
        outputs = (P_u * Q_i).sum(axis=1) + np.squeeze(b_u) + np.squeeze(b_i)
        return outputs.flatten()
```

## 评估方法

接下来，我们使用均方根误差（root-mean-square error，RMSE）作为度量。该度量方式常用于测量模型的预测评分和实际评分（真值）之间的差异:cite:`Gunawardana.Shani.2015`。RMSE定义如下：

$$
\mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{|\mathcal{T}|}\sum_{(u, i) \in \mathcal{T}}(\mathbf{R}_{ui} -\hat{\mathbf{R}}_{ui})^2}
$$

其中，$\mathcal{T}$为包含了用户-物品对的待评估集合，$|\mathcal{T}|$为集合的大小。我们可以使用`mx.metric`提供的RMSE函数。

```python
def evaluator(net, test_iter, ctx):
    rmse = mx.metric.RMSE()  # Get the RMSE
    rmse_list = []
    for idx, (users, items, ratings) in enumerate(test_iter):
        u = gluon.utils.split_and_load(users, ctx, even_split=False)
        i = gluon.utils.split_and_load(items, ctx, even_split=False)
        r_ui = gluon.utils.split_and_load(ratings, ctx, even_split=False)
        r_hat = [net(u, i) for u, i in zip(u, i)]
        rmse.update(labels=r_ui, preds=r_hat)
        rmse_list.append(rmse.get()[1])
    return float(np.mean(np.array(rmse_list)))
```

## 训练和评估模型

在训练函数中，我们采用了$L_2$损失作为权重衰减函数。该权重衰减机制和$L_2$正则化具有相同的效果。

```python
#@save
def train_recsys_rating(net, train_iter, test_iter, loss, trainer, num_epochs,
                        ctx_list=d2l.try_all_gpus(), evaluator=None,
                        **kwargs):
    timer = d2l.Timer()
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0, 2],
                            legend=['train loss', 'test RMSE'])
    for epoch in range(num_epochs):
        metric, l = d2l.Accumulator(3), 0.
        for i, values in enumerate(train_iter):
            timer.start()
            input_data = []
            values = values if isinstance(values, list) else [values]
            for v in values:
                input_data.append(gluon.utils.split_and_load(v, ctx_list))
            train_feat = input_data[0:-1] if len(values) > 1 else input_data
            train_label = input_data[-1]
            with autograd.record():
                preds = [net(*t) for t in zip(*train_feat)]
                ls = [loss(p, s) for p, s in zip(preds, train_label)]
            [l.backward() for l in ls]
            l += sum([l.asnumpy() for l in ls]).mean() / len(ctx_list)
            trainer.step(values[0].shape[0])
            metric.add(l, values[0].shape[0], values[0].size)
            timer.stop()
        if len(kwargs) > 0:  # It will be used in section AutoRec
            test_rmse = evaluator(net, test_iter, kwargs['inter_mat'],
                                  ctx_list)
        else:
            test_rmse = evaluator(net, test_iter, ctx_list)
        train_l = l / (i + 1)
        animator.add(epoch + 1, (train_l, test_rmse))
    print(f'train loss {metric[0] / metric[1]:.3f}, '
          f'test RMSE {test_rmse:.3f}')
    print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
          f'on {str(ctx_list)}')
```

最后，把所有的东西全都结合起来然后开始训练模型。此处，我们将潜因子的维度设置为30。

```python
ctx = d2l.try_all_gpus()
num_users, num_items, train_iter, test_iter = d2l.split_and_load_ml100k(
    test_ratio=0.1, batch_size=512)
net = MF(30, num_users, num_items)
net.initialize(ctx=ctx, force_reinit=True, init=mx.init.Normal(0.01))
lr, num_epochs, wd, optimizer = 0.002, 20, 1e-5, 'adam'
loss = gluon.loss.L2Loss()
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), optimizer,
                        {"learning_rate": lr, 'wd': wd})
train_recsys_rating(net, train_iter, test_iter, loss, trainer, num_epochs,
                    ctx, evaluator)
```

下面，我们使用训练过的模型来预测ID为20的用户对ID为30的物品的评分。

```python
scores = net(np.array([20], dtype='int', ctx=d2l.try_gpu()),
             np.array([30], dtype='int', ctx=d2l.try_gpu()))
scores
```

## 小结

* 矩阵分解模型在推荐系统中有着广泛的应用。它可以用于预测用户对物品的评分。
* 我们可以为推荐系统实现和训练一个矩阵分解模型。

## 练习

* 修改潜因子的维度。潜因子的维度将怎样影响模型的性能呢？
* 尝试不同的优化器、学习率和权重衰减率。
* 检查其他用户对某一电影的评分。

[Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/)

